Komplex multiplikation

Den här artikeln handlar om ett ämne i teorin om elliptiska kurvor . För information om multiplikation av komplexa tal, se komplexa tal .

Inom matematiken är komplex multiplikation ( CM ) teorin om elliptiska kurvor E som har en endomorfismring större än heltalen . Uttryckt på ett annat sätt innehåller den teorin om elliptiska funktioner med extra symmetrier, sådana som är synliga när periodgittret är det Gaussiska heltalsgittret eller Eisensteins heltalsgitter .

Den har en aspekt som hör till teorin om speciella funktioner , eftersom sådana elliptiska funktioner, eller abelska funktioner av flera komplexa variabler , då är "mycket speciella" funktioner som tillfredsställer extra identiteter och tar explicit beräkningsbara specialvärden vid särskilda punkter. Det har också visat sig vara ett centralt tema inom algebraisk talteori , vilket gör att vissa funktioner i teorin om cyklotomiska fält kan överföras till bredare tillämpningsområden. David Hilbert sägs ha påpekat att teorin om komplex multiplikation av elliptiska kurvor inte bara var den vackraste delen av matematiken utan av all vetenskap.

Det finns också den högredimensionella komplexa multiplikationsteorin om att abelska varianter A har tillräckligt med endomorfismer i en viss exakt mening, ungefär att verkan på tangentrymden vid identitetselementet i A är en direkt summa av endimensionella moduler .

Exempel på den imaginära kvadratiska fältförlängningen

En elliptisk kurva över de komplexa talen erhålls som en kvot av det komplexa planet med ett gitter Λ, här spännt av två fundamentala perioder ω ₁ och ω ₂ . Fyrtorsionen visas också, motsvarande gittret 1/4 Λ innehållande Λ. Exemplet på en elliptisk kurva som motsvarar Gaussiska heltal inträffar när ω ₂ = i ω ₁ .

Betrakta ett tänkt kvadratiskt fält ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \ mathbb {Z} ,d>0}$ . En elliptisk funktion $f$ sägs ha komplex multiplikation om det finns en algebraisk relation mellan $f(z)$ och $f(\lambda z)$ för alla $\lambda$ i $K$ .

Omvänt antog Kronecker – i det som blev känt som Kronecker Jugendtraum – att varje abelsk förlängning av $K$ kunde erhållas genom (rötterna av) ekvationen för en lämplig elliptisk kurva med komplex multiplikation. Än idag är detta ett av få fall av Hilberts tolfte problem som faktiskt har lösts.

Ett exempel på en elliptisk kurva med komplex multiplikation är

$\mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])$

där Z [ i ] är den Gaussiska heltalsringen och θ är vilket komplext tal som helst som inte är noll. Varje sådan komplex torus har Gaussiska heltal som endomorfismring. Det är känt att motsvarande kurvor alla kan skrivas som

$Y^{2}=4X^{3}-aX$

för vissa ${\displaystyle a\in \mathbb {C} } ,$ som bevisligen har två konjugerade order-4 automorfismer som skickar

$Y\to \pm iY,\quad X\to -X$

i linje med verkan av i på Weierstrass elliptiska funktioner .

Betrakta mer generellt gittret Λ, en additiv grupp i det komplexa planet, genererad av $\omega _{1},\omega _{2}$ . Sedan definierar vi Weierstrass-funktionen för variabeln $z$ i $\mathbb {C}$ enligt följande:

$\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z ^{2}}}+\summa _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _ {2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},$

och

$g_{2}=60\summa _{(m,n)\neq (0,0) }(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}$

$g_{3}=140\summa _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.$

Låt $\wp '$ vara derivatan av $\wp$ . Då får vi en isomorfism av komplexa Lie-grupper:

$w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P } ^{2}(\mathbb {C} )$

från den komplexa torusgruppen $\mathbb {C} /\Lambda$ till den projektiva elliptiska kurvan definierad i homogena koordinater av

$E=\left\{(x:y:z)\ i \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}$

och där punkten vid oändligheten, nollelementet i grupplagen för den elliptiska kurvan, enligt konventionen anses vara $(0:1:0)$ . Om gittret som definierar den elliptiska kurvan faktiskt bevaras under multiplikation med (möjligen en korrekt subring av) ringen av heltal ${\mathfrak {o}}_{K}$ av $K$ , då ringen av analytiska automorfismer av $E=\mathbb {C} /\Lambda$ visar sig vara isomorf till denna (under)ring.

Om vi ​​skriver om $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ där $\operatorname {Im} \tau >0$ och $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^ {2}$ sedan

$j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .$

Detta betyder att j-invarianten av $E$ är ett algebraiskt tal – som ligger i $K$ – om $E$ har komplex multiplikation.

Abstrakt teori om endomorfismer

Ringen av endomorfismer i en elliptisk kurva kan ha en av tre former: heltal Z ; en ordning i ett tänkt kvadratiskt talfält ; eller en ordning i en bestämd kvaternionalgebra över Q .

När definitionsfältet är ett ändligt fält , finns det alltid icke-triviala endomorfismer av en elliptisk kurva, som kommer från Frobenius-kartan , så varje sådan kurva har komplex multiplikation (och terminologin används inte ofta). Men när basfältet är ett talfält är komplex multiplikation undantaget. Det är känt att i en allmän mening är fallet med komplex multiplikation det svåraste att lösa för Hodge-förmodan .

Kronecker och abelian extensions

Kronecker postulerade först att värdena för elliptiska funktioner vid torsionspunkter borde vara tillräckligt för att generera alla abelska förlängningar för imaginära kvadratiska fält, en idé som gick tillbaka till Eisenstein i vissa fall, och till och med till Gauss . Detta blev känt som Kronecker Jugendtrauma ; och det var verkligen det som föranledde Hilberts anmärkning ovan, eftersom den gör explicit klassfältteori på det sätt som enhetens rötter gör för abelska förlängningar av det rationella talfältet , via Shimuras reciprocitetslag .

Låt K vara ett imaginärt kvadratiskt fält med klassfält H . Låt E vara en elliptisk kurva med komplex multiplikation med heltal K , definierade över H . Sedan genereras den maximala abelska förlängningen av K av x -koordinaterna för punkterna i ändlig ordning på någon Weierstrass-modell för E över H .

Många generaliseringar har eftersträvats av Kroneckers idéer; de ligger dock något snett mot huvuddraget i Langlands-filosofin , och det finns inget definitivt uttalande känt för närvarande.

Exempel på konsekvens

Det är ingen tillfällighet det

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999992t$

eller motsvarande,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.9999999990799250 \dots,}\dots$

är så nära ett heltal. Detta anmärkningsvärda faktum förklaras av teorin om komplex multiplikation, tillsammans med viss kunskap om modulära former , och det faktum att

$\mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]$

är en unik faktoriseringsdomän .

Här $(1+{\sqrt {-163}})/2$ uppfyller α ² = α − 41 . I allmänhet S [ α ] mängden av alla polynomuttryck i α med koefficienter i S , som är den minsta ringen som innehåller α och S . Eftersom α uppfyller denna andragradsekvation, kan de erforderliga polynomen begränsas till grad ett.

Alternativt

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{ }+743.99999999999925007\dots \,$

en intern struktur på grund av vissa Eisenstein-serier , och med liknande enkla uttryck för de andra Heegner-talen .

Singular moduli

Punkterna i det övre halvplanet τ som motsvarar periodförhållandena för elliptiska kurvor över de komplexa talen med komplex multiplikation är just de imaginära kvadratiska talen. De motsvarande modulära invarianterna j ( τ ) är singularmodulerna , som kommer från en äldre terminologi där "singular" hänvisade till egenskapen att ha icke-triviala endomorfismer snarare än att hänvisa till en singularkurva .

Den modulära funktionen j ( τ ) är algebraisk på imaginära kvadratiska tal τ : dessa är de enda algebraiska talen i det övre halvplanet för vilka j är algebraiskt.

Om Λ är ett gitter med periodförhållande τ så skriver vi j (Λ) för j ( τ ). Om ytterligare Λ är ett ideal a i ringen av heltal O _K för ett kvadratiskt imaginärt fält K så skriver vi j ( a ) för motsvarande singularmodul. Värdena j ( a ) är då reella algebraiska heltal och genererar Hilbert-klassfältet H av K : fältförlängningsgraden [ H : K ] = h är klassnumret för K och H / K är en Galois-förlängning med Galois grupp isomorf till den ideala klassgruppen av K . Klassgruppen agerar på värdena j ( a ) med [ b ] : j ( a ) → j ( ab ).

I synnerhet, om K har klass nummer ett, så är j ( a ) = j ( O ) ett rationellt heltal: till exempel j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Se även

• Algebraisk Hecke karaktär
• Heegner punkt
• Hilberts tolfte problem
• Lubin–Tate formell grupp , lokala fält
• Drinfeld shtuka , global funktionsfältfodral
• Wiles bevis på Fermats sista sats

Citat

• Borel, A.; Chowla, S.; Herz, CS; Iwasawa, K.; Serre, J.-P. Seminarium om komplex multiplikation . Seminarium hölls vid Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1957–58. Lecture Notes in Mathematics, nr 21 Springer-Verlag, Berlin-New York, 1966
•    Husemöller, Dale H. (1987). Elliptiska kurvor . Examentexter i matematik. Vol. 111. Med bilaga av Ruth Lawrence. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5 . Zbl 0605.14032 .
•    Lang, Serge (1983). Komplex multiplikation . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [grundläggande principer för matematiska vetenskaper]. Vol. 255. New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90786-6 . Zbl 0536.14029 .
• Serre, J.-P. (1967). "XIII. Komplex multiplikation". I Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (red.). Algebraisk talteori . Akademisk press. s. 292–296.
•   Shimura, Goro (1971). Introduktion till aritmetisk teori för automorfa funktioner . Publikationer från Mathematical Society of Japan. Vol. 11. Tokyo: Iwanami Shoten. Zbl 0221.10029 .
•    Shimura, Goro (1998). Abeliska sorter med komplex multiplikation och modulära funktioner . Princeton Mathematical Series. Vol. 46. ​​Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-01656-9 . Zbl 0908.11023 .
•    Silverman, Joseph H. (1986). Aritmetiken för elliptiska kurvor . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 106. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96203-4 . Zbl 0585.14026 .
•   Silverman, Joseph H. (2009). Aritmetiken för elliptiska kurvor . Examentexter i matematik. Vol. 106 (andra upplagan). Springer Science . doi : 10.1007/978-0-387-09494-6 . ISBN 978-0-387-09493-9 .
•    Silverman, Joseph H. (1994). Avancerade ämnen i aritmetiken av elliptiska kurvor . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5 . Zbl 0911.14015 .

externa länkar

• Komplex multiplikation från PlanetMath.org
• Exempel på elliptiska kurvor med komplex multiplikation från PlanetMath.org
•    Ribet, Kenneth A. (oktober 1995). "Galois representationer och modulära former". Bulletin från American Mathematical Society . 32 (4): 375–402. arXiv : math/9503219 . CiteSeerX 10.1.1.125.6114 . doi : 10.1090/s0273-0979-1995-00616-6 . S2CID 16786407 .