Kvaternionalgebra

Inom matematiken är en quaternionalgebra över ett fält F en central enkel algebra A över F som har dimension 4 över F. Varje kvartjonalgebra blir en matrisalgebra genom att utöka skalärer (motsvarande tensoring med en fältförlängning ), dvs för en lämplig fältförlängning K av F är $A\otimes _{F}K$ isomorf till 2 × 2 matrisalgebra över K .

Begreppet en quaternion algebra kan ses som en generalisering av Hamiltons quaternions till ett godtyckligt basfält. Hamilton quaternions är en quaternion algebra (i ovanstående mening) över ${\displaystyle F=\mathbb {R} } ,$ och faktiskt den enda över $\mathbb {R}$ förutom 2 × 2 verklig matrisalgebra, upp till isomorfism. När $F=\mathbb {C}$ , då bildar biquaternionerna quaternionalgebra över F .

Strukturera

Kvaternionalgebra betyder här något mer allmänt än algebra för Hamiltons kvaternioner . När koefficientfältet F inte har karakteristik 2, kan varje kvartjonalgebra över F beskrivas som ett 4-dimensionellt F - vektorrum med bas $\{1,i,j, k\}$ , med följande multiplikationsregler:

$i^{2}=a$

$j^{2}=b$

$ij=k$

$ji =-k$

där a och b är vilka som helst givna icke-nollelement i F . Från dessa regler får vi:

$k^{2}=ijij=-iijj=-ab$

De klassiska fallen där $F=\mathbb {R}$ är Hamiltons kvaternioner ( a = b = −1) och delade kvaternioner ( a = −1, b = +1). I split-quaternions, $k^{2}=+1$ och $jk=-i$ , skiljer sig från Hamiltons ekvationer.

Den algebra som definieras på detta sätt betecknas ( a , b ) _F eller helt enkelt ( a , b ). När F har karakteristik 2 är en annan explicit beskrivning i termer av en bas av 4 element också möjlig, men i vilket fall som helst gäller definitionen av en kvartjonalgebra över F som en 4-dimensionell central enkel algebra över F enhetligt i alla egenskaper.

En kvaternionalgebra ( a , b ) _F är antingen en divisionsalgebra eller isomorf till matrisalgebra med 2 × 2 matriser över F ; det senare fallet kallas split . Normformen _

$N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax ^{2}-av^{2}+abz^{2}\$

definierar en struktur av divisionsalgebra om och endast om normen är en anisotropisk kvadratisk form , det vill säga noll endast på nollelementet. Den koniska C ( a , b ) definierad av

$ax^{2}+by^{2}=z^{2}\$

har en punkt ( x , y , z ) med koordinater i F i det delade fallet.

Ansökan

Kvaternionalgebror tillämpas i talteorin , särskilt på kvadratiska former . De är betongkonstruktioner som genererar elementen i ordning två i Brauer-gruppen av F . För vissa fält, inklusive algebraiska nummerfält , representeras varje element av ordning 2 i dess Brauer-grupp av en kvartjonalgebra. Ett teorem av Alexander Merkurjev innebär att varje element av ordning 2 i Brauer-gruppen i vilket fält som helst representeras av en tensorprodukt av kvartjonalgebror. I synnerhet kan konstruktionen av quaternionalgebror över p -adiska fält ses som den kvadratiska Hilbert-symbolen för lokal klassfältteori .

Klassificering

Frobenius ' sats att det bara finns två reella kvartjonalgebror: 2 × 2 matriser över realerna och Hamiltons reella kvartjoner.

På ett liknande sätt, över vilket lokalt fält F som helst , finns det exakt två kvaternionalgebror: 2 × 2-matriserna över F och en divisionsalgebra. Men quaternion division algebra över ett lokalt fält är vanligtvis inte Hamiltons quaternions över fältet. Till exempel, över de p -adiska talen är Hamiltons kvaternioner en divisionsalgebra endast när p är 2. För udda primtal p är Hamiltons p -adiska kvaternioner isomorfa till 2 × 2-matriserna över p -adicerna . För att se att de p -adiska Hamilton-kvaternionerna inte är en divisionsalgebra för udda primtal p , observera att kongruensen x ² + y ² = −1 mod p är lösbar och därför enligt Hensels lemma - här är det där p som är udda behövs - den ekvation

x ² + y ² = −1

är lösbar i de p -adiska talen. Därför quaternion

xi + yj + k

har norm 0 och har därför inte en multiplikativ invers .

Ett sätt att klassificera F - algebra -isomorfismklasserna för alla kvaternionalgebror för ett givet fält F är att använda en-till-en-överensstämmelsen mellan isomorfismklasser av kvaternionalgebror över F och isomorfismklasser av deras normformer .

Till varje kvartjonalgebra A kan man associera en kvadratisk form N (kallad normform ) på A så att

$N(xy)=N(x)N(y)$

för alla x och y i A . Det visar sig att de möjliga normformerna för quaternion F -algebror är exakt Pfister 2-formerna .

Kvaternionalgebror över de rationella talen

Kvaternionalgebror över de rationella talen har en aritmetisk teori som liknar, men mer komplicerad än, den för kvadratiska förlängningar av $\mathbb {Q}$ .

Låt $B$ vara en kvaternionalgebra över $\mathbb {Q}$ och låt $\nu$ vara en plats för $\mathbb {Q}$ , med komplettering $\mathbb {Q} _{\nu }$ (så det är antingen de p -adiska talen $\mathbb {Q} _{p}$ för något primtal p eller de reella talen ${\ displaystyle \mathbb {R} }$ ). Definiera ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B} , som är en quaternionalgebra$ över $\mathbb {Q} _{\nu }$ . Så det finns två val för $B_{\nu }$ : 2 × 2-matriserna över $\mathbb {Q} _{\nu }$ eller en divisionsalgebra .

Vi säger att $B$ är delad (eller unramified ) vid $\nu$ om $B_{\nu }$ är isomorf till 2 × 2-matriserna över $\ mathbb {Q} _{\nu }$ . Vi säger att B är odelad (eller förgrenad ) vid $\nu$ om $B_{\nu }$ är quaternion division algebra över $\mathbb {Q} _{ \nu }$ . Till exempel är Hamiltons rationella kvaternioner odelade vid 2 och vid $\infty$ och delas vid alla udda primtal. De rationella 2 × 2-matriserna delas på alla ställen.

En kvaternionalgebra över rationalerna som delas vid $\infty$ är analog med ett verkligt kvadratiskt fält och en som är odelat vid $\infty$ är analog med ett imaginärt kvadratiskt fält . Analogin kommer från ett kvadratiskt fält som har verkliga inbäddningar när det minimala polynomet för en generator delar sig över realerna och annars har icke verkliga inbäddningar. En illustration av styrkan i denna analogi gäller enhetsgrupper i en ordningsföljd av en kvartjonalgebra: den är oändlig om kvartjonalgebra delas vid ${\displaystyle \infty } [$ ] och den är ändlig annars , precis som enhetsgruppen för en ordning i en kvadratisk ring är oändlig i det verkliga kvadratiska fallet och ändlig annars.

Antalet platser där en quaternionalgebra över rationalerna förgrenar sig är alltid jämnt, och detta motsvarar den kvadratiska reciprocitetslagen över rationalerna. Dessutom bestämmer platserna där B förgrenar B upp till isomorfism som en algebra. (Med andra ord, icke-isomorfa kvaternionalgebror över rationalerna delar inte samma uppsättning förgrenade platser.) Produkten av primtal vid vilka B förgrenas kallas diskriminanten av B .

Se även

• Sammansättning algebra
• Cyklisk algebra
• Octonion algebra
• Hurwitz quaternion order
• Hurwitz quaternion

Anteckningar

•    Gille, Philippe; Ssamuely, Tamás (2006). Centrala enkla algebror och Galois-kohomologi . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511607219 . ISBN 0-521-86103-9 . Zbl 1137.12001 .
•     Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduktion till kvadratiska former över fält . Forskarstudier i matematik . Vol. 67. American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1095-2 . MR 2104929 . Zbl 1068.11023 .

Vidare läsning

•     Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Involutionernas bok . Kollokviumpublikationer. Vol. 44. Med ett förord ​​av J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0904-0 . MR 1632779 . Zbl 0955.16001 .
•    Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). Aritmetiken för hyperboliska 3-grenrör . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-6720-9 . ISBN 0-387-98386-4 . MR 1937957 . Se kapitel 2 (Quaternion Algebras I) och kapitel 7 (Quaternion Algebras II).
• Chisholm, Hugh, red. (1911). "Algebra" . Encyclopædia Britannica (11:e upplagan). Cambridge University Press. ( Se avsnittet om quaternions. )
• Quaternion algebra vid Encyclopedia of Mathematics .