Sierpiński utrymme

Ej att förväxla med Sierpiński set .

I matematik är Sierpiński -utrymmet (eller den anslutna tvåpunktsuppsättningen ) ett ändligt topologiskt utrymme med två punkter, varav endast en är stängd . Det är det minsta exemplet på ett topologiskt utrymme som varken är trivialt eller diskret . Den är uppkallad efter Wacław Sierpiński .

Sierpiński-rummet har viktiga relationer till teorin om beräkning och semantik , eftersom det är klassificeringsutrymmet för öppna mängder i Scott-topologin .

Definition och grundläggande egenskaper

Explicit är Sierpiński-utrymmet ett topologiskt rum S vars underliggande punktmängd är $\{0,1\}$ och vars öppna uppsättningar är

$$\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.$$

De slutna uppsättningarna är

$$\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.$$

Så singeluppsättningen $\{0\}$ är stängd och uppsättningen $\{1\}$ är öppen ( $\displaystyle \varnothing =\{\,\ }}$ är den tomma uppsättningen ).

Stängningsoperatören på S bestäms av

$${\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.$$

Ett ändligt topologiskt utrymme bestäms också unikt av dess specialiseringsförordning . För Sierpiński-utrymmet är denna förbeställning faktiskt en delordning och ges av

$$0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.$$

Topologiska egenskaper

Sierpiński-utrymmet $S$ är ett specialfall av både den ändliga specifika punkttopologin (med särskild punkt 1) och den ändliga exkluderade punkttopologin (med utesluten punkt 0). Därför $S$ många egenskaper gemensamma med en eller båda av dessa familjer.

Separation

• Punkterna 0 och 1 är topologiskt särskiljbara i S eftersom $\{1\}$ är en öppen mängd som bara innehåller en av dessa punkter. Därför är S ett ₀ Kolmogorov (T ) utrymme .
• S är emellertid _inte Ti eftersom punkten 1 inte är stängd. Det följer att S inte är Hausdorff , eller T _n för någon $n\geq 1.$
• ₀ S är inte regelbundet (eller helt regelbundet ) eftersom punkten 1 och den disjunkta slutna uppsättningen { $\displaystyle \{0\}}$ inte kan separeras av grannskap . (Också regelbundenhet i närvaro av T skulle innebära Hausdorff.)
• S är vakuum normalt och helt normalt eftersom det inte finns några icke-tomma separerade uppsättningar .
• S är inte helt normalt eftersom de disjunkta slutna mängderna $\varnothing$ och $\{0\}$ inte kan separeras exakt med en funktion. Faktum är att $\{0\}$ inte kan vara nolluppsättningen för någon kontinuerlig funktion $S\to \mathbb {R}$ eftersom varje sådan funktion är konstant .

Samhörighet

• Sierpiński-utrymmet S är både hyperanslutet (eftersom varje icke-tomt öppet set innehåller 1) och ultraanslutet (eftersom varje icke-tom sluten uppsättning innehåller 0).
• Av detta följer att S är både ansluten och väg ansluten .
• En väg från 0 till 1 i S ges av funktionen: $f(0)=0$ och $f(t)=1$ för $t>0.$ Funktionen $f:I\to S$ är kontinuerlig eftersom $f^{-1}(1 )=(0,1]$ som är öppen i I .
• Liksom alla ändliga topologiska rum är S lokalt vägbunden .
• Sierpiński-utrymmet är sammandragbart , så den grundläggande gruppen av S är trivial (liksom alla högre homotopigrupper ).

Kompakthet

• Liksom alla ändliga topologiska utrymmen är Sierpiński-rymden både kompakt och sekundräknbar .
• ₀ Den kompakta delmängden $\{1\}$ av S är inte stängd, vilket visar att kompakta delmängder av T- mellanslag inte behöver stängas.
• Varje öppet lock till S måste innehålla själva S eftersom S är det enda öppna området av 0. Därför har varje öppet lock till S ett öppet underlock som består av en enda uppsättning: $\{S\}.$
• Av detta följer att S är helt normalt .

Konvergens

• Varje sekvens i S konvergerar till punkten 0. Detta beror på att den enda grannskapet av 0 är S själv.
• En sekvens i S konvergerar till 1 om och bara om sekvensen bara innehåller ändligt många termer lika med 0 (dvs sekvensen är så småningom bara 1:or).
• Punkten 1 är en klusterpunkt för en sekvens i S om och endast om sekvensen innehåller oändligt många ettor.
• Exempel :
  • 1 är inte en klusterpunkt av $(0,0,0,0,\ldots ).$
  • 1 är en klusterpunkt (men inte en gräns) av $(0,1,0,1,0,1,\ldots ).$
  • Sekvensen $(1,1,1,1,\ldots )$ konvergerar till både 0 och 1.

Metriserbarhet

• Sierpiński-utrymmet S är inte mätbart eller ens pseudometriskt eftersom varje pseudometriskt utrymme är helt regelbundet men Sierpiński-utrymmet är inte ens regelbundet .
• S genereras av den hemimetriska (eller pseudo - kvasimetriska ) $d(0,1)=0$ och $d(1,0)=1 .$

Övriga fastigheter

• Det finns bara tre kontinuerliga kartor från S till sig själv: identitetskartan och de konstanta kartorna till 0 och 1.
• Det följer att homeomorfismgruppen av S är trivial .

Kontinuerliga funktioner till Sierpiński-utrymmet

Låt X vara en godtycklig mängd. Uppsättningen av alla funktioner från X till uppsättningen $\{0,1\}$ betecknas vanligtvis $2^{X}.$ Dessa funktioner är precis de karakteristiska funktionerna för X . Varje sådan funktion är av formen

$$\chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\inte \in U\end{cases} }$$

där U är en delmängd av X . Med andra ord är uppsättningen funktioner $X}}$ { \displaystyle 2^ { i bijektiv överensstämmelse med $P(X),$ potensmängden X . Varje delmängd U av X har sin karakteristiska funktion $\chi _{U}$ och varje funktion från X till $\{0,1\}$ denna form.

Antag nu att X är ett topologiskt rum och låt $\{0,1\}$ ha Sierpiński-topologin. Då är en funktion $\chi _{U}:X\to S$ kontinuerlig om och endast om $\chi _{U}^{-1 }(1)$ är öppen i X . Men per definition

$$\chi _{U}^{-1}(1)=U.$$

Så $\chi _{U}$ är kontinuerlig om och endast om U är öppen i X . Låt $C(X,S)$ beteckna mängden av alla kontinuerliga kartor från X till S och låt $T(X)$ beteckna topologin för X (det vill säga , familjen av alla öppna uppsättningar). Sedan har vi en bijektion från $T(X)$ till $C(X,S)$ som skickar den öppna mängden $U$ till $\chi _{U}.$

$$C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)$$

Det vill säga, om vi identifierar $2^{X}$ med $P(X)$ delmängden av kontinuerliga kartor $C(X) ,S)\subseteq 2^{X}$ är exakt topologin för $X:$$T(X)\subseteq P(X).$

Ett särskilt anmärkningsvärt exempel på detta är Scott-topologin för partiellt ordnade uppsättningar , där Sierpiński-utrymmet blir det klassificerande utrymmet för öppna uppsättningar när den karakteristiska funktionen bevarar riktade sammanfogningar.

Kategorisk beskrivning

Ovanstående konstruktion kan beskrivas bra med hjälp av kategoriteorin . Det finns en kontravariant funktion $T:\mathbf {Top} \to \mathbf {Mängd}$ från kategorin topologiska utrymmen till kategorin mängder som tilldelar varje topologiskt utrymme ${ \displaystyle X}$ dess uppsättning öppna uppsättningar $T(X)$ och varje kontinuerlig funktion $f:X\to Y$ förbildskartan

$$f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).$$

Påståendet blir då: funktorn $T$ representeras av $(S,\{1\})$ { där $\displaystyle S}$ är Sierpiński-utrymmet. Det vill säga, $T$ är naturligt isomorf till Hom-funktorn $\operatorname {Hom} (-,S)$ med den naturliga isomorfismen som bestäms av det universella elementet $\{1\}\in T(S).$ Detta generaliseras av begreppet en presheaf .

Den initiala topologin

Varje topologiskt utrymme X har den initiala topologin inducerad av familjen $C(X,S)$ av kontinuerliga funktioner till Sierpiński-rymden. För att förgrova topologin på X måste man faktiskt ta bort öppna uppsättningar. Men att ta bort den öppna mängden U skulle göra $\chi _{U}$ diskontinuerlig. Så X har den grövsta topologin för vilken varje funktion i $C(X,S)$ är kontinuerlig.

Funktionsfamiljen $C(X,S)$ separerar punkter i X om och endast om X är ett ₀ T- mellanslag . Två punkter $x$ och $y$ kommer att separeras av funktionen $\chi _{U}$ om och bara om den öppna mängden U innehåller exakt en av de två punkterna. Detta är exakt vad det betyder att $x$ och $y$ är topologiskt särskiljbara .

₀ Därför, om X är T , kan vi bädda in X som ett delrum av en produkt av Sierpiński-utrymmen, där det finns en kopia av S för varje öppen uppsättning U i X. Inbäddningskartan

$$e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{ \mathcal {T}}(X)}$$

ges av

$$e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,$$

₀₀₀ Eftersom delrum och produkter av T- rum är T , följer det att ett topologiskt rum är T om och endast om det är homeomorft till ett delrum av en potens av S .

I algebraisk geometri

I algebraisk geometri uppstår Sierpiński-rymden som spektrum , $\operatorname {Spec} (S),$ för en diskret värderingsring $R$ såsom $\mathbb {Z} _{p}$ ( lokaliseringen av heltalen vid primidealet genererat av primtalet $p$ ). Den generiska punkten för $\operatorname {Spec} (S),$ som kommer från nollidealet , motsvarar den öppna punkten 1, medan specialpunkten för $\operatorname {Spec} (S),$ som kommer från det unika maximalidealet , motsvarar den stängda punkten 0.

Se även

• Ändligt topologiskt utrymme
• Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum
• Pseudocirkel

Anteckningar

•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446
• Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi : 10.2307/2689505