T 1 mellanslag

Separationsaxiom i topologiska utrymmen
Kolmogorov- klassificering
T0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
helt T 2	(helt Hausdorff)
T 3	(vanlig Hausdorff)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(normal Hausdorff)
T 5	(helt normal Hausdorff)
T 6	(helt normal Hausdorff)
Historia

₀ Inom topologi och relaterade grenar av matematik är ett T ₁ -utrymme ett topologiskt utrymme där, för varje par av distinkta punkter, var och en har en grannskap som inte innehåller den andra punkten. Ett ₀ R- utrymme är ett där detta gäller för varje par av topologiskt urskiljbara punkter. Egenskaperna T ₁ och R är exempel på separationsaxiom .

Definitioner

Låt X vara ett topologiskt rum och låt x och y vara punkter i X . Vi säger att x och y är separerade om var och en ligger i ett område som inte innehåller den andra punkten.

• X kallas ett T ₁ -mellanslag om två distinkta punkter i X är åtskilda.
• X kallas ett ₀ R- utrymme om två topologiskt urskiljbara punkter i X är separerade.

₀ AT ₁ -rymden kallas också ett tillgängligt utrymme eller ett utrymme med Fréchet-topologi och ett R- utrymme kallas också ett symmetriskt utrymme . (Begreppet Fréchet-rymd har också en helt annan betydelse i funktionsanalys . Av denna anledning är termen T _{1 -} rymd att föredra. Det finns också en föreställning om ett Fréchet–Urysohn-rum som en typ av sekventiellt utrymme . Termen symmetriskt utrymme också har en annan betydelse .)

₀₀ Ett topologiskt utrymme är ett T ₁ -rum om och endast om det är både ett R- rum och ett ₀ Kolmogorov- (eller T ) -rum (dvs ett rum där distinkta punkter är topologiskt särskiljbara). Ett topologiskt rum är ett R- rum om och endast om dess Kolmogorov-kvot är ett T ₁ -rum.

Egenskaper

Om $X$ är ett topologiskt utrymme är följande villkor ekvivalenta:

1. $X$ är ett T ₁ -mellanslag.
2. ₀$X$ är ett ₀ T- mellanslag och ett R- mellanslag.
3. Poäng stängs i $X$ ; det vill säga för varje punkt ${\displaystyle x\in X,} är$ singelmängden $\{x\}$ en sluten delmängd av $X.$
4. Varje delmängd av $X$ är skärningspunkten mellan alla öppna uppsättningar som innehåller den.
5. Varje ändlig uppsättning är stängd.
6. Varje cofinite uppsättning av $X$ är öppen.
7. För varje $x\in X,$ konvergerar det fasta ultrafiltret vid $x$ endast till $x.$
8. För varje delmängd $S$ av $X$ och varje punkt $x\in X,$$x$ en gränspunkt för $S$ om och bara om varje öppet område av $x$ innehåller oändligt många punkter av $S.$
9. Varje karta från Sierpinski-utrymmet till $X$ är trivial.
10. Kartan från Sierpinski-utrymmet till den enda punkten har lyftegenskapen med avseende på kartan från $X$ till den enda punkten.

Om $X$ är ett topologiskt utrymme är följande villkor ekvivalenta: (där $\operatorname {cl} \{x\}$ anger stängningen av $\ {x\}$ )

1. ₀$X$ är ett R- mellanslag.
2. Givet alla $x\in X,} innehåller$ displaystyle stängningen av $\{x\}$ endast de punkter som topologiskt inte går att skilja från $x.$
3. Kolmogorov-kvoten för X $\displaystyle X}$ är T ₁ .
4. För alla $x,y\in X,$$x$ är i slutet av $\{y\}$ om och endast om $y$ är i slutet av $\{x\}.$
5. Specialiseringsförordningen på $X$ är symmetrisk (och därför en ekvivalensrelation ) .
6. Mängderna $\operatorname {cl} \{x\}$ för $x\in X$ bildar en partition av $X$ (det vill säga vilka som helst två sådana set är antingen identiska eller osammanhängande).
7. Om $F$ är en sluten mängd och $x$ är en punkt som inte finns i ${\displaystyle F},$ då är $F\cap \operatörsnamn {cl} \{x\}=\emptyset .$
8. Varje grannskap av en punkt $x\in X$ innehåller $\operatörsnamn {cl} \{x\}.$
9. Varje öppen uppsättning är en förening av slutna uppsättningar .
10. För varje $x\in X,$ konvergerar det fasta ultrafiltret vid ${\displaystyle x} endast till de punkter som topologiskt inte går att skilja från$$x.$

I vilket topologiskt rum som helst har vi, som egenskaper för vilka två punkter som helst, följande implikationer

separerad $\implies$ topologiskt urskiljbar $\implies$ distinkt

₀₀₀ Om den första pilen kan vändas är utrymmet R . Om den andra pilen kan vändas är utrymmet T ₀ . Om den sammansatta pilen kan vändas är utrymmet T ₁ . Ett mellanslag är T ₁ om och endast om det är både R och T .

Ett ändligt T ₁ -utrymme är nödvändigtvis diskret (eftersom varje uppsättning är stängd).

Exempel

• ₀₀ Sierpinski-rymden är ett enkelt exempel på en topologi som är T men som inte är T ₁ , och därför inte heller R .
• ₀ Den överlappande intervalltopologin är ett enkelt exempel på en topologi som är T men inte är T ₁ .
• Varje svagt Hausdorff-utrymme är T ₁ men det omvända är inte sant i allmänhet.
• Den kofinita topologin på en oändlig mängd är ett enkelt exempel på en topologi som är T ₁ men inte Hausdorff (T ₂ ). Detta följer eftersom inga två öppna uppsättningar av den kofinita topologin är osammanhängande. Närmare bestämt, låt $X$ vara mängden heltal och definiera de öppna mängderna $\displaystyle O_{A}}$ { att vara de delmängder av $X$ som innehåller alla utom en delmängd ${ \displaystyle A}$ av $X.$ Sedan ges distinkta heltal $x$ och $y$ :

• den öppna uppsättningen $O_{\{x\}}$ innehåller $y$ men inte $x,$ och den öppna uppsättningen $O_{\ {y\}}$ innehåller $x$ och inte $y$ ;
• på motsvarande sätt är varje singeluppsättning $\{x\}$ komplementet till den öppna mängden $O_{\{x\}},$ så det är en sluten mängd;

så det resulterande utrymmet är T ₁ enligt var och en av definitionerna ovan. Detta mellanslag är inte T ₂ , eftersom skärningspunkten mellan två öppna uppsättningar $O_{A}$ och $O_{B}$ är ${\ displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$ som aldrig är tom. Alternativt är uppsättningen av jämna heltal kompakt men inte sluten , vilket skulle vara omöjligt i ett Hausdorff-utrymme.

• ₀ Exemplet ovan kan modifieras något för att skapa den dubbelspetsade kofinita topologin , som är ett exempel på ett R- utrymme som varken är T ₁ eller R ₁ . Låt $X$ vara mängden heltal igen, och använd definitionen av $O_{A}$ från föregående exempel, definiera en av öppna mängder $G_{x}$ för ett heltal $x$ att vara $G_{x}=O_{\{x,x+1\}}$ om $x$ är ett jämnt tal och $G_{x}=O_{\{x-1,x\}}$ om $x$ är udda. Då basen för topologin ges av ändliga skärningspunkter mellan de subbasiska mängderna: givet en finit mängd $A,$ är de öppna mängderna av $X$

$U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.$

₀ Det resulterande utrymmet är inte T (och alltså inte T ₁ ), eftersom punkterna $x$ och $x+1$ (för $x$ jämn) är topologiskt omöjliga att särskilja; men i övrigt är det väsentligen likvärdigt med föregående exempel.

• Zariski -topologin på en algebraisk variant (över ett algebraiskt slutet fält ) är T ₁ . För att se detta, notera att singeltonen som innehåller en punkt med lokala koordinater $\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)$ är nolluppsättningen av polynomen $x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.$ , Således är punkten stängd. Detta exempel är dock välkänt som ett utrymme som inte är Hausdorff (T ₂ ). Zariski-topologin är i huvudsak ett exempel på en kofinit topologi.
• ₀₀ Zariski-topologin på en kommutativ ring (det vill säga primspektrumet för en ring ) är T men inte, i allmänhet, T ₁ . För att se detta, notera att stängningen av en enpunktsmängd är mängden av alla primideal som innehåller punkten (och därmed är topologin T ) . Emellertid är denna stängning ett maximalt ideal , och de enda slutna punkterna är de maximala idealen, och ingår således inte i någon av de öppna uppsättningarna av topologin, och utrymmet uppfyller således inte axiom T ₁ . För att vara tydlig med detta exempel: Zariski-topologin för en kommutativ ring $A$ ges enligt följande: det topologiska rummet är mängden $X$ av alla primideal för $A.$ Topologins bas ges av de öppna uppsättningarna $O_{a}$ av primideal som inte innehåller $a\in A.$ Det är enkelt att verifiera att detta verkligen utgör grunden: så $O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}$ och $O_{0}=\varnothing$ och $O_{1}=X.$ De slutna uppsättningarna av Zariski-topologin är uppsättningarna av prime ideal som innehåller $a.$ Lägg märke till hur det här exemplet på ett subtilt sätt skiljer sig från exemplet med kofinit topologi ovan: punkterna i topologin är i allmänhet inte stängda, medan punkter alltid är stängda i ett T 1- _utrymme .
• Varje totalt frånkopplat utrymme är Ti _, eftersom varje punkt är en ansluten komponent och därför stängd.

Generaliseringar till andra typer av utrymmen

₀₀ Termerna "T ₁ ", "R ", och deras synonymer kan också appliceras på sådana variationer av topologiska utrymmen som enhetliga utrymmen , Cauchy utrymmen och konvergensutrymmen . Det kännetecken som förenar konceptet i alla dessa exempel är att gränserna för fasta ultrafilter (eller konstanta nät ) är unika (för T ₁ -utrymmen) eller unika upp till topologiska omöjligheter att skiljas åt (för R- utrymmen).

₀₀₀ Som det visar sig är enhetliga utrymmen, och mer allmänt Cauchy-mellanrum, alltid R, så T ₁ -villkoret i dessa fall reduceras till T- villkoret. Men enbart R kan vara ett intressant tillstånd på andra typer av konvergensutrymmen, såsom pretopologiska utrymmen .

Se även

• Topologisk egenskap – Matematisk egenskap hos ett rum

Bibliografi

•   AV Arkhangel'skii, LS Pontryagin (Eds.) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 .
•   Folland, Gerald (1999). Verklig analys: moderna tekniker och deras tillämpningar (2:a upplagan). John Wiley & Sons, Inc. sid. 116 . ISBN 0-471-31716-0 .
•    Schechter, Eric (1996). Handbok för analys och dess grunder . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
•   Lynn Arthur Steen och J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, New York, 1978. Omtryckt av Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover-upplagan).
•   Willard, Stephen (1998). Allmän topologi . New York: Dover. s. 86–90. ISBN 0-486-43479-6 .