Övre topologi

I matematik är den övre topologin på en delvis ordnad mängd X den grövre topologin där stängningen av en singelton $\{a\}$ är ordningssektionen $a]=\{x\leq a\}$ för varje $a\in X.$ Om $\leq$ är en partiell ordning, är den övre topologin den minsta ordningens konsekventa topologi där alla öppna uppsättningar är up-set . Alla uppsättningar måste dock inte nödvändigtvis vara öppna uppsättningar. Den lägre topologin som induceras av förbeställningen definieras på liknande sätt i termer av nedsättningar . Förordningen som inducerar den övre topologin är dess specialiseringsförordning , men specialiseringsförordningen för den nedre topologin är motsatt den inducerande förordningen.

Den verkliga övre topologin definieras mest naturligt på den övre utsträckta reella linjen $(-\infty ,+\infty ]=\mathbb {R} \cup \ {+\infty \}$ av systemet $\{(a,+\infty ]:a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}$ av öppna uppsättningar. På liknande sätt är den verkliga lägre topologin $\{[-\infty ,a) :a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}$ definieras naturligt på den nedre reella linjen $[- \infty ,+\infty )=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}.$ En reell funktion på ett topologiskt utrymme är övre halvkontinuerlig om och endast om den är lägre-kontinuerlig, dvs är kontinuerlig med med hänsyn till den nedre topologin på den nedre förlängda linjen ${[-\infty ,+\infty )}.$ På liknande sätt är en funktion i den övre reella linjen nedre halvkontinuerlig om och endast om den är upper-kontinuerlig, dvs. är kontinuerlig med avseende på den övre topologin på ${(-\infty ,+\infty ]}.$

Se även

• Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum

•   Gerhard Gierz; KH Hofmann; K. Keimel; JD Lawson; M. Mislove; DS Scott (2003). Kontinuerliga gitter och domäner . Cambridge University Press. sid. 510 . ISBN 0-521-80338-1 .
• Kelley, John L. (1955). Allmän topologi . Van Nostrand Reinhold. sid. 101 .
•   Knapp, Anthony W. (2005). Grundläggande verklig analys . Birkhhauser. sid. 481. ISBN 0-8176-3250-6 .