Gränsbevarande funktion (ordningsteori)
Inom det matematiska området ordningsteorin talar man ofta om funktioner som bevarar vissa gränser, dvs viss suprema eller infima . Grovt sett mappar dessa funktioner supremum/infimum för en uppsättning till supremum/infimum för bilden av uppsättningen. Beroende på vilken typ av uppsättningar för vilka en funktion uppfyller denna egenskap, kan den bevara ändlig, riktad, icke-tom eller bara godtycklig suprema eller infima. Var och en av dessa krav förekommer naturligt och ofta inom många områden inom ordningsteorin och det finns olika viktiga samband mellan dessa begrepp och andra föreställningar som monotoni . Om implikationen av gränsbevarande inverteras, så att förekomsten av gränser i en funktions intervall antyder existensen av gränser i domänen, får man funktioner som är gränsreflekterande .
Syftet med denna artikel är att förtydliga definitionen av dessa grundläggande begrepp, vilket är nödvändigt eftersom litteraturen inte alltid är konsekvent vid denna punkt, och att ge generella resultat och förklaringar i dessa frågor.
Bakgrund och motivation
Inom många specialiserade områden av ordningsteori begränsar man sig till klasser av partiellt ordnade uppsättningar som är kompletta med avseende på vissa gränskonstruktioner. Till exempel, i gitterteori är man intresserad av ordrar där alla ändliga icke-tomma mängder har både en minsta övre gräns och en största undre gräns. Inom domänteorin fokuserar man å andra sidan på partiellt ordnade uppsättningar där varje riktad delmängd har ett supremum. Kompletta galler och order med minsta element ("det tomma supremum") ger ytterligare exempel.
I alla dessa fall spelar gränser en central roll för teorierna, med stöd av deras tolkningar i praktiska tillämpningar av varje disciplin. Man är också intresserad av att specificera lämpliga mappningar mellan sådana order. Ur en algebraisk synvinkel betyder detta att man vill hitta adekvata föreställningar om homomorfismer för de strukturer som övervägs. Detta uppnås genom att beakta de funktioner som är kompatibla med de konstruktioner som är karakteristiska för respektive order. Till exempel är gitterhomomorfismer de funktioner som bevarar icke-tomma finita suprema och infima, dvs bilden av ett supremum/infimum av två element är bara supremum/infimum av deras bilder. Inom domänteorin sysslar man ofta med så kallade Scott-kontinuerliga funktioner som bevarar all riktad suprema.
Bakgrunden för definitionerna och terminologin som ges nedan finns i kategoriteori , där gränser (och medgränser ) i en mer generell mening beaktas. Det kategoriska konceptet med gränsbevarande och gränsreflekterande funktorer är helt i harmoni med ordningsteorin, eftersom beställningar kan betraktas som små kategorier definierade som posetkategorier med definierad tilläggsstruktur.
Formell definition
Betrakta två partiellt ordnade mängder P och Q , och en funktion f från P till Q . Låt dessutom S vara en delmängd av P som har en minst övre gräns s . Då bevarar f det högsta av S om mängden f ( S ) = { f ( x ) | x i S } har en minsta övre gräns i Q som är lika med f ( s ), dvs
- f (sup S ) = sup f ( S )
Observera att denna definition består av två krav: det högsta av mängden f ( S ) finns och det är lika med f ( s ). Detta motsvarar den ovan nämnda parallellen till kategoriteorin, men krävs inte alltid i litteraturen. Faktum är att man i vissa fall försvagar definitionen för att kräva att endast existerande suprema är lika med f ( s ). Wikipedia fungerar dock med den vanliga föreställningen ovan och anger det andra villkoret uttryckligen om det krävs.
Från den grundläggande definitionen ovan kan man härleda ett brett spektrum av användbara egenskaper. En funktion f mellan poset P och Q sägs bevara finita, icke-tom, riktad eller godtycklig suprema om den bevarar suprema för alla finita, icke-tomma, riktade respektive godtyckliga mängder. Bevarandet av icke-tomt finita suprema kan också definieras av identiteten f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), som gäller för alla element x och y , där vi antar att v är en totalfunktion på båda beställningarna.
På ett dubbelt sätt definierar man egenskaper för bevarandet av infima.
Det "motsatta" villkoret till bevarande av gränser kallas reflektion. Betrakta en funktion f enligt ovan och en delmängd S av P , så att sup f ( S ) finns i Q och är lika med f ( s ) för vissa element s av P. Då speglar f det högsta av S om sup S finns och är lika med s . Som redan visat för bevarande, erhåller man många ytterligare egenskaper genom att beakta vissa klasser av uppsättningar S och genom att dualisera definitionen till infima.
Speciella fall
Vissa specialfall eller egenskaper som härrör från ovanstående schema är kända under andra namn eller är av särskild betydelse för vissa områden av ordningsteorin. Till exempel, funktioner som bevarar det tomma supremumet är de som bevarar det minsta elementet. Dessutom, på grund av den motivering som förklarats tidigare, uppträder många gränsbevarande funktioner som speciella homomorfismer för vissa ordningsstrukturer. Några andra framträdande fall ges nedan.
Bevarande av alla gränser
En intressant situation uppstår om en funktion bevarar alla suprema (eller infima). Mer exakt uttrycks detta genom att säga att en funktion bevarar alla existerande suprema (eller infima), och det kan mycket väl vara så att de posetter som är i fråga inte är kompletta gitter. Till exempel, (monotone) Galois-anslutningar har denna egenskap. Omvänt, genom den ordningsteoretiska Adjoint Functor Theorem, kan mappningar som bevarar alla suprema/infima garanteras vara en del av en unik Galois-koppling så länge som några ytterligare krav uppfylls.
Distributivitet
Ett gitter L är distributivt om vi för alla x , y och z i L hittar
Men detta säger bara att meet -funktionen ^: L -> L bevarar binär suprema . Det är känt inom gitterteorin att detta tillstånd är ekvivalent med dess dubbla, dvs funktionen v: L -> L som bevarar binär infima. På liknande sätt ser man att den oändliga fördelningslagen
av kompletta Heyting-algebror (se även meningslös topologi ) är ekvivalent med meet-funktionen ^ som bevarar godtycklig suprema. Detta villkor innebär dock inte dess dubbla.
Scott-kontinuitet
Funktioner som bevarar riktad suprema kallas Scott-kontinuerlig eller ibland bara kontinuerlig , om detta inte orsakar förväxlingar med det motsvarande begreppet analys och topologi . En liknande användning av termen kontinuerlig för bevarande av gränser finns också i kategoriteorin.
Viktiga egenskaper och resultat
Ovanstående definition av gränsbevarande är ganska stark. I själva verket är varje funktion som bevarar åtminstone suprema eller infima av två-elementkedjor, dvs. uppsättningar av två jämförbara element, nödvändigtvis monoton. Därför inducerar alla de speciella konserveringsegenskaperna som anges ovan monotoni.
Utifrån att vissa gränser kan uttryckas i termer av andra kan man härleda samband mellan bevarandefastigheterna. Till exempel, en funktion f bevarar riktad överlägsenhet om och endast om den bevarar överlägsenhet av alla ideal. Vidare bevarar en mappning f från en poset där varje icke-tom finit supremum existerar (en så kallad sup-semilattice) godtycklig suprema om och bara om den bevarar både riktad och finit (eventuellt tom) suprema.
Det är dock inte sant att en funktion som bevarar all suprema också skulle bevara alla infima eller vice versa.