Fullständigt fördelande galler

Inom det matematiska området för ordningsteorin är ett fullständigt distributivt gitter ett komplett gitter där godtyckliga sammanfogningar fördelar sig över godtyckliga möten .

_{Formellt sägs j , k} ett komplett gitter L vara fullständigt distributivt om, för någon dubbelindexerad familj { x | j i J , k i K _j } av L , vi har

$\bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K_{ j}}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}$

där F är uppsättningen av valfunktioner f väljer för varje index j av J något index f ( j ) i Kj _.

Fullständig distribution är en självdubbel egenskap, dvs dualisering av ovanstående uttalande ger samma klass av kompletta gitter.

Utan valets axiom kan inget komplett gitter med mer än ett element någonsin uppfylla ovanstående egenskap, eftersom man bara kan låta _{x , k} j vara lika med det översta elementet av L för alla index j och k med alla mängderna K _j som icke-tom men har inget valfunktion.

Alternativa karaktäriseringar

Olika olika karaktäriseringar finns. Till exempel är följande en likvärdig lag som undviker användningen av valfunktioner [ . För varje uppsättning S av uppsättningar, definierar vi uppsättningen S ^# att vara mängden av alla delmängder X av det kompletta gittret som har en icke-tom skärning med alla medlemmar av S . Vi kan sedan definiera fullständig distribution via uttalandet

${\begin{aligned}\bigwedge \{\bigvee Y\mid Y\in S\}=\bigvee \{\ bigwedge Z\mid Z\in S^{\#}\}\end{aligned}}$

Operatören ( ) ^# kan kallas crosscut - operatorn . Denna version av fullständig distribution antyder endast den ursprungliga uppfattningen när man erkänner Axiom of Choice .

Egenskaper

Dessutom är det känt att följande påståenden är likvärdiga för alla kompletta gitter L :

• L är helt distribuerande.
• L kan bäddas in i en direkt produkt av kedjor [0,1] genom en orderinbäddning som bevarar godtyckliga möten och sammanfogningar.
• Både L och dess dubbelordning L ^op är kontinuerliga posetter .

Direktprodukter av [0,1], det vill säga uppsättningar av alla funktioner från någon uppsättning X till [0,1] ordnade punktvis , kallas också kuber .

Gratis helt distribuerande galler

Varje poset C kan slutföras i ett fullständigt distribuerande galler.

Ett fullständigt distributivt gitter L kallas det fria fullständigt distributiva gittret över en poset C om och endast om det finns en ordningsinbäddning $\phi :C\rightarrow L$ : så att för varje fullständigt distributivt gitter M monoton funktion $f:C\rightarrow M$ , det finns en unik fullständig homomorfism $f_{\phi }^{*}:L\rightarrow M$ som uppfyller $f=f_{\phi }^{*}\circ \phi$ . För varje poset C existerar det fria fullständigt distribuerande gittret över en poset C och är unikt upp till isomorfism.

Detta är ett exempel på begreppet fritt objekt . Eftersom en mängd X kan betraktas som en poset med den diskreta ordningen, garanterar ovanstående resultat existensen av det fria fullständigt distribuerande gittret över mängden X .

Exempel

• Enhetsintervallet [0,1], ordnat på det naturliga sättet , är ett fullständigt distributivt gitter.
  • Mer generellt är vilken komplett kedja som helst ett fullständigt distribuerande galler.
• Effektmängden gitter $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ för varje mängd X är ett fullständigt distributivt gitter.
• För varje poset C finns det ett fritt helt distribuerande gitter över C . Se avsnittet om Gratis helt distribuerande galler ovan.

Se även

• Ordlista för ordningsteori
• Fördelningsgaller