Övre och nedre gränser
I matematik, särskilt i ordningsteori , är en övre gräns eller majorant av en delmängd S av någon förbeställd mängd ( K , ≤) ett element av K som är större än eller lika med varje element i S. Dualt definieras en nedre gräns eller minorant av S som ett element av K som är mindre än eller lika med varje element i S. En mängd med en övre (respektive nedre) gräns sägs vara avgränsad ovanifrån eller majoriserad (respektive begränsad underifrån eller minoriserad ) av den gränsen. Termerna bounded above ( bounded below ) används också i den matematiska litteraturen för mängder som har övre (respektive lägre) gränser.
Exempel
Till exempel är 5 en nedre gräns för mängden S = {5, 8, 42, 34, 13934} (som en delmängd av heltalen eller de reella talen, etc.), och så är 4 . Å andra sidan 6 inte en nedre gräns för S eftersom den inte är mindre än varje element i S .
Mängden S = {42} har 42 som både övre och undre gräns; alla andra tal är antingen en övre gräns eller en nedre gräns för det S .
Varje delmängd av de naturliga talen har en nedre gräns eftersom de naturliga talen har ett minsta element (0 eller 1, beroende på konvention). En oändlig delmängd av de naturliga talen kan inte avgränsas från ovan. En oändlig delmängd av heltal kan vara avgränsad underifrån eller avgränsad ovanifrån, men inte båda. En oändlig delmängd av de rationella talen kan eller kan inte vara avgränsad underifrån, och kan eller inte kan vara avgränsad från ovan.
Varje finit delmängd av en icke-tom totalt ordnad mängd har både övre och nedre gränser.
Gränser för funktioner
Definitionerna kan generaliseras till funktioner och till och med till uppsättningar av funktioner.
Givet en funktion f med domän D och en förordnad mängd ( K , ≤) som codomän , är ett element y av K en övre gräns för f om y ≥ f ( x ) för varje x i D. Den övre gränsen kallas skarp om likheten gäller för minst ett värde på x . Det indikerar att begränsningen är optimal och därför inte kan reduceras ytterligare utan att ojämlikheten ogiltigförklaras.
På liknande sätt är en funktion g definierad på domän D och som har samma koddomän ( K , ≤) en övre gräns för f , om g ( x ) ≥ f ( x ) för varje x i D. Funktionen g sägs vidare vara en övre gräns för en uppsättning funktioner, om den är en övre gräns för varje funktion i den mängden.
Begreppet nedre gräns för (uppsättningar av) funktioner definieras analogt genom att ersätta ≥ med ≤.
Snäva gränser
En övre gräns sägs vara en tight övre gräns , en minsta övre gräns , eller en supremum , om inget mindre värde är en övre gräns. På liknande sätt sägs en nedre gräns vara en snäv nedre gräns , en största nedre gräns , eller ett infimum , om inget större värde är en nedre gräns.
Exakt övre gränser
En övre gräns u av en delmängd S av en förbeställd mängd ( K , ≤) sägs vara en exakt övre gräns för S om varje element av K som är strikt majoriserat av u också majoriseras av något element av S . Exakta övre gränser för reducerade produkter av linjär ordning spelar en viktig roll i PCF-teorin .