Komplext projektivt utrymme

Riemann -sfären , det endimensionella komplexa projektiva rummet, dvs den komplexa projektiva linjen .

I matematik är det komplexa projektiva rummet det projektiva rummet med avseende på fältet för komplexa tal . I analogi, medan punkterna i ett verkligt projektivt utrymme betecknar linjerna genom ursprunget till ett verkligt euklidiskt utrymme , betecknar punkterna i ett komplext projektivt utrymme de komplexa linjerna genom ursprunget till ett komplext euklidiskt utrymme (se nedan för en intuitiv redogörelse) . Formellt är ett komplext projektivt utrymme utrymmet för komplexa linjer genom ursprunget till ett ( n +1)-dimensionellt komplext vektorrum . Utrymmet betecknas på olika sätt som ^P ( Cn + ^{Pn 1} ) , ( C ) eller CPn _. När n = 1 är det komplexa projektiva rummet CP ¹ Riemann-sfären och när n = 2 är CP ^{2 det} komplexa projektiva planet (se där för en mer elementär diskussion).

Komplext projektivt utrymme introducerades först av von Staudt (1860) som ett exempel på vad som då var känt som "positionens geometri", en föreställning som ursprungligen berodde på Lazare Carnot , en sorts syntetisk geometri som även inkluderade andra projektiva geometrier. Sedermera, nära 1900-talets början blev det klart för den italienska skolan för algebraisk geometri att de komplexa projektiva utrymmena var de mest naturliga domänerna för att överväga lösningarna av polynomekvationer – algebraiska varianter ( Grattan-Guinness 2005 , s. 445) –446). I modern tid är både topologin och geometrin för komplext projektivt utrymme väl förstått och nära besläktade med sfärens . I viss mening kan (2n + 1)-sfären faktiskt betraktas som en familj av cirklar parametriserad av ^CPn : detta är Hopf-fibrationen . Komplext projektivt utrymme bär en ( Kähler ) metrik , kallad Fubini–Study-metriken , i termer av vilken det är ett hermitiskt symmetriskt utrymme av rang 1.

Komplext projektivt rum har många tillämpningar inom både matematik och kvantfysik . I algebraisk geometri är komplext projektivt utrymme hemmet för projektiva varianter , en väluppfostrad klass av algebraiska varianter . Inom topologi spelar det komplexa projektiva utrymmet en viktig roll som ett klassificeringsutrymme för komplexa linjebuntar : familjer av komplexa linjer parametriserade av ett annat utrymme. I detta sammanhang är den oändliga föreningen av projektiva rum ( direkt gräns ), betecknad CP ^∞ , klassificeringsrummet K(Z,2) . Inom kvantfysiken vågfunktionen associerad med ett rent tillstånd i ett kvantmekaniskt system en sannolikhetsamplitud , vilket betyder att den har enhetsnorm och har en oväsentlig övergripande fas: det vill säga vågfunktionen för ett rent tillstånd är naturligtvis en punkt i statsrummets projektiva Hilbertrum .

Introduktion

Parallella linjer i planet skär varandra vid flyktpunkten i linjen i oändligheten.

Föreställningen om ett projektivt plan uppstår ur idén om perspektiv i geometri och konst: att det ibland är användbart att inkludera i det euklidiska planet en ytterligare "imaginär" linje som representerar den horisont som en konstnär, som målar planet, kan se. Efter varje riktning från origo, finns det en annan punkt vid horisonten, så horisonten kan ses som en uppsättning av alla riktningar från origo. Det euklidiska planet, tillsammans med dess horisont, kallas det verkliga projektiva planet , och horisonten kallas ibland en linje i oändligheten . Genom samma konstruktion kan projektiva utrymmen betraktas i högre dimensioner. Till exempel är det verkliga projektiva 3-rummet ett euklidiskt rum tillsammans med ett plan i oändligheten som representerar den horisont som en konstnär (som nödvändigtvis måste leva i fyra dimensioner) skulle se.

Dessa verkliga projektiva utrymmen kan konstrueras på ett lite mer rigoröst sätt enligt följande. Låt här R ^{n +1} beteckna det verkliga koordinatutrymmet för n +1 dimensioner, och betrakta landskapet som ska målas som ett hyperplan i detta utrymme. Antag att konstnärens öga är ursprunget i R ^{n +1} . Sedan längs varje linje genom hans öga finns det en punkt i landskapet eller en punkt vid dess horisont. linjer genom origo i Rn ^{+1 .} Utan hänvisning till koordinater är detta utrymmet av linjer genom origo i ett ( n +1)-dimensionellt reellt vektorrum .

För att beskriva det komplexa projektiva rummet på ett analogt sätt krävs en generalisering av idén om vektor, linje och riktning. Föreställ dig att istället för att stå i ett verkligt euklidiskt rum, står konstnären i ett komplext euklidiskt rum C ^{n +1} (som har verklig dimension 2 n +2) och landskapet är ett komplext hyperplan (av verklig dimension 2 n ). Till skillnad från fallet med det verkliga euklidiska rummet finns det i det komplexa fallet riktningar där konstnären kan titta som inte ser landskapet (eftersom det inte har tillräckligt hög dimension). Men i ett komplext utrymme finns det ytterligare en "fas" förknippad med riktningarna genom en punkt, och genom att justera denna fas kan konstnären garantera att han typiskt sett ser landskapet. "Horizonten" är då riktningarnas rymd, men sådan att två riktningar betraktas som "samma" om de skiljer sig endast med en fas. Det komplexa projektiva rummet är då landskapet ( C ⁿ ) med horisonten fäst "i oändligheten". Precis som det verkliga fallet är det komplexa projektiva rummet riktningsutrymmet genom ursprunget till C ^{n +1} , där två riktningar betraktas som samma om de skiljer sig åt med en fas.

Konstruktion

Komplext projektivt utrymme är ett komplext grenrör som kan beskrivas med n + 1 komplexa koordinater som

$=(Z_ {1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_ {n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)}$

där tuplarna som skiljer sig åt genom en övergripande omskalning identifieras:

$(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

Det vill säga, dessa är homogena koordinater i den traditionella betydelsen av projektiv geometri . Punktuppsättningen CP ⁿ täcks av lapparna $U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}$ . I U _i kan man definiera ett koordinatsystem genom

$z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_ {i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_ {i}.$

Koordinatövergångarna mellan två olika sådana diagram U _i och U _j är holomorfa funktioner (i själva verket är de linjära fraktionerade transformationer) . Sålunda CP ⁿ strukturen av ett komplext grenrör med komplex dimension n , och a fortiori strukturen av ett reellt differentierbart grenrör med reell dimension 2 n .

Man kan också betrakta CP ⁿ som en kvot av enheten 2 n + 1 sfär i C ^{n +1} under verkan av U(1) :

CPn = ^{S2n . + 1} /U(1 )

Detta beror på att varje linje i Cn + ^{. 1} skär enhetssfären i en cirkel Genom att först projicera till enhetssfären och sedan identifiera under den naturliga verkan av U(1) får man CP ⁿ . För n = 1 ger denna konstruktion den klassiska Hopf-bunten $S^{3}\to S^{2}$ . Ur detta perspektiv induceras den differentierbara strukturen på CPn från den för S2n ^{+1 , som} är kvoten av den senare av en kompakt grupp som fungerar korrekt ^.

Topologi

Topologin för ^CPn bestäms induktivt av följande cellnedbrytning . Låt H vara ett fixerat hyperplan genom origo i Cn ^{+ 1} . Under projektionskartan C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ , går H in i ett delrum som är homeomorft till CP ^{n −1} . Komplementet av bilden av H i CP ⁿ är homeomorft till C ⁿ . Sålunda CP ⁿ genom att fästa en 2 n -cell till CP ^{n −1} :

$\mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.$

Alternativt, om 2n - cellen istället betraktas som den öppna enhetskulan i Cn , så ^är den fästande kartan Hopf-fibreringen av gränsen. En analog induktiv cellnedbrytning gäller för alla projektiva utrymmen; se ( Besse 1978 ).

CW-nedbrytning

Ett användbart sätt att konstruera de komplexa projektiva utrymmena $\mathbf {CP} ^{n}$ är genom en rekursiv konstruktion med CW-komplex . Kom ihåg att det finns en homeomorfism $\mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}$ till 2-sfären, vilket ger det första utrymmet. Vi kan sedan inducera cellerna för att få en utskjutningskarta

$${\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matris}}$$

där $D^{4}$ är fyra bollar, och $S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}$ representerar generatorn i $\pi _{3}(S^{2})$ (därav är det homotopi ekvivalent med Hopf-kartan ). Vi kan sedan induktivt konstruera utrymmena som pushout-diagram

$${\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\ nedåtpil \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matris}}$$

där $S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}$ representerar ett element i

$${\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf { CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}$$

Isomorfismen av homotopigrupper beskrivs nedan, och isomorfismen för homotopigrupper är en standardberäkning i stabil homotopi-teori (vilket kan göras med Serre-spektralsekvensen , Freudenthal-suspensionssatsen och Postnikov-tornet ). Kartan kommer från fiberknippet

$$S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}$$

ger en icke-kontrakterbar karta, därför representerar den generatorn i $\mathbb {Z} /2$ . Annars skulle det finnas en homotopi-ekvivalens $\mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{ n}$ , men då skulle det vara homotopi ekvivalent med $S^{2}$ , en motsägelse som kan ses genom att titta på homotopigrupperna i rummet.

Point-set topologi

Komplext projektivt utrymme är kompakt och sammankopplat , vilket är en kvot av ett kompakt, sammankopplat utrymme.

Homotopi grupper

Från fiberknippet

$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$

eller mer suggestivt

$U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$

CP ⁿ är helt enkelt ansluten . πk ^Dessutom _CPn ) ≅ _πk , och alla de högre S ^{2 n +1} ) , med den långa exakta homotopisekvensen ^, π ₂ ( CPn ) ≅ Z är den andra homotopigruppen homotopigrupperna överensstämmer med de för S2n ^{( ( +1} : för alla k > 2.

Homologi

I allmänhet är den algebraiska topologin för CPn baserad på att homologigruppernas rangordning är noll i udda dimensioner ^; även H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) är oändlig cyklisk för i = 0 till n . Därför springer Betti-siffrorna

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

Det vill säga 0 i udda dimensioner, 1 i jämna dimensioner upp till 2n. Euler -karaktäristiken för CP ⁿ är därför n + 1. Genom Poincaré-dualitet gäller samma sak för gruppen av kohomologigrupper . När det gäller kohomologi kan man gå längre och identifiera den graderade ringstrukturen för koppprodukt ; generatorn av H ² ( CP ⁿ , Z ) är den klass som är associerad med ett hyperplan , och detta är en ringgenerator, så att ringen är isomorf med

Z [ T ]/( Tn ^{, +1} )

med T en grad två generator. Detta innebär också att Hodge-talet h ^{i , i} = 1, och alla andra är noll. Se ( Besse 1978 ).

K -teori

Bott-periodicitet följer att

$K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n}) =\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.$

Tangentbunten uppfyller _

$T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},$

där $\vartheta ^{1}$ betecknar den triviala linjebunten, från Euler-sekvensen . Från detta Chern-klasserna och karakteristiska siffror explicit beräknas.

Klassificering av utrymme

Det finns ett mellanslag $\mathbf {CP} ^{\infty }$ som på sätt och vis är den induktiva gränsen för $\mathbf {CP} ^{n}$ som $n\to \infty$ . Det är BU(1) , klassificeringsutrymmet för U(1) , cirkelgruppen, i betydelsen homotopi teori , och klassificerar så komplexa linjebuntar . På motsvarande sätt står den för den första Chern-klassen . Detta kan ses heuristiskt genom att titta på fiberbuntskartorna

$$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$$

och $n\to \infty$ . Detta ger ett fiberknippe (kallat det universella cirkelknippet )

$$S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }$$

bygga detta utrymme. Observera att med den långa exakta sekvensen av homotopigrupper har vi $\pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})$ därav $\mathbf {CP} ^{\infty }$ är ett Eilenberg–MacLane-utrymme , ett $K(\ mathbb {Z} ,2)$ . På grund av detta faktum, och Browns representabilitetsteorem , har vi följande isomorfism

$$H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]$$

för alla trevliga CW-komplex $X$ . Dessutom, från teorin om Chern-klasser , kan varje komplex linjebunt $L\to X$ representeras som en tillbakadragning av den universella linjebunten på $\mathbf {CP} ^{\ infty }$ , vilket betyder att det finns en tillbakadragningsruta

$${\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{ \infty }\end{matris}}$$

där ${\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }$ är den associerade vektorbunten för huvud- $U(1)$ - bunt $S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }$ . Se till exempel ( Bott & Tu 1982 ) och ( Milnor & Stasheff 1974 ).

Differentialgeometri

Det naturliga måttet på CP ⁿ är Fubini–Study-måttet , och dess holomorfa isometrigrupp är den projektiva enhetsgruppen PU( n +1), där stabilisatorn för en punkt är

$\mathrm {P} (1\ gånger \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).$

Det är ett hermitiskt symmetriskt utrymme ( Kobayashi & Nomizu 1996) , representerat som ett coset-utrymme

$U(n+1)/(U(1)\ gånger U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\ gånger U(n)).$

Den geodetiska symmetrin vid en punkt p är den enhetliga transformationen som fixerar p och är den negativa identiteten på det ortogonala komplementet av linjen som representeras av p .

Geodesik

Genom två godtyckliga punkter p , q i komplext projektivt rum passerar en unik komplex linje (a CP ¹ ). En storcirkel av denna komplexa linje som innehåller p och q är en geodetisk för metriken Fubini–Study. Speciellt är alla geodesiker stängda (de är cirklar) och alla har lika långa. (Detta är alltid sant för Riemannska globalt symmetriska utrymmen av rang 1.)

Skärpunkten för någon punkt p är lika med ett hyperplan CP ^{n −1} . Detta är också uppsättningen av fasta punkter för den geodetiska symmetrin vid p (minus p själv). Se ( Besse 1978 ).

Sektionskurvatur klämning

Den har en sektionskrökning som sträcker sig från 1/4 till 1, och är det rundaste grenröret som inte är en sfär (eller täckt av en sfär): enligt 1/4-pinched sfärsatsen , vilket som helst komplett, enkelt kopplat Riemann-grenrör med strikt krökning mellan 1/4 och 1 är diffeomorft till sfären. Komplext projektivt utrymme visar att 1/4 är skarp. Omvänt, om ett fullständigt enkelt anslutet Riemann-grenrör har sektionskurvaturer i det slutna intervallet [1/4,1], så är det antingen diffeomorft till sfären, eller isometriskt till det komplexa projektiva utrymmet, det kvaternioniska projektiva utrymmet eller Cayley . plan F4 /Spin(9) _; se ( Brendle & Schoen 2008 ).

Spin struktur

De udda dimensionella projektiva utrymmena kan ges en spinnstruktur , de jämndimensionella kan inte.

Algebraisk geometri

Komplext projektivt utrymme är ett specialfall av en Grassmannian , och är ett homogent utrymme för olika Lie-grupper . Det är ett Kähler-grenrör som bär Fubini–Study-metriken , som i huvudsak bestäms av symmetriegenskaper. Det spelar också en central roll i algebraisk geometri ; av Chows teorem , är varje kompakt komplex delgren av CP ⁿ nollstället för ett ändligt antal polynom, och är således en projektiv algebraisk variation . Se ( Griffiths & Harris 1994 )

Zariski topologi

Huvudartikel: Zariski-topologi

₀ I algebraisk geometri kan komplext projektivt rum utrustas med en annan topologi som kallas Zariski-topologin ( Hartshorne 1977 , §II.2). Låt ₀ S = C [ Z ,..., Z _n ] beteckna den kommutativa ringen av polynom i ( n +1) variablerna Z ,..., Z _n . Denna ring graderas efter den totala graden av varje polynom:

$S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.$

Definiera en delmängd av CP ⁿ som ska stängas om det är den samtidiga lösningsmängden av en samling homogena polynom. Genom att förklara att komplementen till de slutna uppsättningarna är öppna, definierar detta en topologi (Zariski-topologin) på CP ⁿ .

Struktur som ett schema

En annan konstruktion av CP ⁿ (och dess Zariski-topologi) är möjlig. Låt S ₊ ⊂ S vara idealet som sträcks av de homogena polynomen med positiv grad:

$\bigoplus _{n>0}S_{n}.$

Definiera Proj S som mängden av alla homogena primideal i S som inte innehåller S ₊ . Kalla en delmängd av Proj S stängd om den har formen

$V(I)=\{p\in \operatörsnamn {Proj} S\mid p\supseteq I\}$

för något ideal I i S . Komplementen av dessa slutna uppsättningar definierar en topologi på Proj S. Ringen S bestämmer genom lokalisering till ett prime ideal en bunt av lokala ringar på Proj S. Rymden Proj S , tillsammans med dess topologi och bunt av lokala ringar, är ett schema . Delmängden av slutna punkter i Proj S är homeomorf till CP ⁿ med dess Zariski-topologi. Lokala sektioner av kärven identifieras med de rationella funktionerna av total grad noll på CP ⁿ .

Linjebuntar

Alla linjebuntar på komplext projektivt utrymme kan erhållas genom följande konstruktion. En funktion f : C ^{n +1} \{0} → C kallas homogen av graden k if

$f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)$

för alla λ ∈ C \{0 } och z ∈ C ^{n +1} \{0 }. Mer generellt är denna definition meningsfull i koner i C ^{n +1} \{0 }. En mängd V ⊂ C ^{n +1} \{0 } kallas en kon om, när v ∈ V , då λv ∈ V för alla λ ∈ C \{0 }; det vill säga en delmängd är en kon om den innehåller den komplexa linjen genom var och en av sina punkter. Om U ⊂ CP ⁿ är en öppen mängd (i antingen den analytiska topologin eller Zariski-topologin ), låt V ⊂ C ^{n +1} \{0 } vara konen över U : förbilden av U under projektionen C ^{n +1} \ {0} → CP ⁿ . Slutligen, för varje heltal k , låt O ( k )( U ) vara uppsättningen funktioner som är homogena av grad k i V. Detta definierar en bunt av sektioner av en viss linjebunt, betecknad med O ( k ).

I specialfallet k = −1 kallas bunten O (−1) för den tautologiska linjebunten . Det definieras på samma sätt som produktens delpaket

$\mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}$

vars fiber över L ∈ CP ⁿ är mängden

$\{(x,L)\mid x\in L\}.$

Dessa linjebuntar kan också beskrivas på divisorspråket . Låt H = CP ^{n −1} vara ett givet komplext hyperplan i CP ⁿ . Rymd av meromorfa funktioner på CP ⁿ med högst en enkel pol längs H (och ingen annanstans) är ett endimensionellt utrymme, betecknat med O ( H ), och kallat hyperplanknippet . Den dubbla bunten betecknas O (− H ), och den k: ^te tensorpotentialen för O ( H ) betecknas med O ( kH ). Detta är kärven som genereras av holomorfa multiplar av en meromorf funktion med en pol av ordningen k längs H . Det visar sig att

$O(kH)\cong O(k).$

Faktum är att om L ( z ) = 0 är en linjär definierande funktion för H , så är L ^{− k} en meromorf sektion av O ( k ), och lokalt är de andra sektionerna av O ( k ) multiplar av denna sektion.

Eftersom H ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0 , klassificeras linjebuntarna på CP ^{n upp till isomorfism av sina} Chern-klasser , som är heltal: de ligger i H ² ( CP ⁿ , Z ) = Z . Faktum är att de första Chern-klasserna av komplext projektivt utrymme genereras under Poincaré-dualitet av homologiklassen associerad med ett hyperplan H . Linjepaketet O ( kH ) har Chern klass k . Därför är varje holomorf linjebunt på CP ⁿ en tensorpotens av O ( H ) eller O (− H ). Med andra ord Picardgruppen av CP ⁿ som en abelisk grupp av hyperplanklassen [ H ] ( Hartshorne 1977) .

Se även

• Gromovs ojämlikhet för komplext projektivt rum
• Projektiv Hilbert-rymd
• Kvaternioniskt projektivt utrymme
• Verkligt projektivt utrymme
• Komplext affint utrymme
• K3 yta

•   Besse, Arthur L. (1978), Manifolds vars alla geodesiker är stängda , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], vol. 93, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08158-6 .
•   Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3 .
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2008), "Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures", Acta Mathematica , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , doi : 10.1007/s11501-02087-0208 .
•   Grattan-Guinness, Ivor (2005), Landmärke skrifter i västerländsk matematik 1640–1940 , Elsevier, ISBN 978-0-444-50871-3 .
•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523 .
•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•   Klingenberg, Wilhelm (1982), Riemannsk geometri , Walter de Greuter, ISBN 978-3-11-008673-7 .
•   Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volym II , Wiley Classics Library edition, ISBN 978-0-471-15732-8 .
•   Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes , Princeton University Press , MR 0440554 .
• von Staudt, Karl Georg Christian (1860), Beiträge zur Geometrie der Lage , Nürnberg .