Bott periodicitetssats

Inom matematik beskriver Botts periodicitetssats en periodicitet i klassiska gruppers homotopigrupper , upptäckt av Raoul Bott ( 1957 , 1959 ), som visade sig vara av grundläggande betydelse för mycket vidare forskning, särskilt inom K-teorin om stabil komplex vektor buntar , såväl som de stabila homotopigrupperna av sfärer . Bott-periodicitet kan formuleras på många sätt, där periodiciteten i fråga alltid uppträder som ett period-2-fenomen, med avseende på dimension, för teorin som hör samman med den enhetliga gruppen . Se till exempel topologisk K-teori .

Det finns motsvarande period-8-fenomen för matchningsteorierna, ( verklig ) KO-teori och ( kvaternionisk ) KSp-teori, associerade med den reella ortogonala gruppen respektive den kvartjoniska symplektiska gruppen . J -homomorfismen är en homomorfism från homotopigrupperna av ortogonala grupper till stabila homotopigrupper av sfärer, vilket gör att perioden 8 Bott periodicitet är synlig i de stabila homotopigrupperna av sfärer.

Uttalande av resultat

Bott visade att om $O(\infty )$ definieras som den induktiva gränsen för de ortogonala grupperna , så är dess homotopigrupper periodiska:

$\pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))$

och de första 8 homotopigrupperna är följande:

${\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))& \simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\ infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\ \\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Sammanhang och betydelse

Sammanhanget med Bott periodicitet är att homotopigrupperna av sfärer , som skulle förväntas spela den grundläggande rollen i algebraisk topologi i analogi med homologiteori , har visat sig svårfångade (och teorin är komplicerad). Ämnet stabil homotopi-teori uppfattades som en förenkling, genom att introducera suspensionsoperationen ( krossa produkt med en cirkel ) och se vad (i grova drag) återstod av homotopi-teorin när man väl fick suspendera båda sidor av en ekvation, så många gånger som man önskat. Stallteorin var fortfarande svår att räkna ut i praktiken.

Vad Bott periodicitet erbjöd var en inblick i några mycket icke-triviala utrymmen, med central status i topologi på grund av kopplingen av deras kohomologi med karakteristiska klasser , för vilka alla ( instabila ) homotopigrupper kunde beräknas. Dessa utrymmen är de (oändliga eller stabila ) enhetliga, ortogonala och symplektiska grupperna U , O och Sp. I detta sammanhang stabil till att ta unionen U (även känd som den direkta gränsen ) för sekvensen av inneslutningar

$U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k= 1}^{\infty }U(k)$

och liknande för O och Sp. Notera att Botts användning av ordet stabil i titeln på hans uppsats refererar till dessa stabila klassiska grupper och inte till stabila homotopigrupper .

Den viktiga kopplingen mellan Bott-periodicitet och de stabila homotopigrupperna av sfärer $\pi _{n}^{S}$ kommer via den så kallade stabila J -homomorfismen från de (instabila) homotopigrupperna i ( stabila) klassiska grupper till dessa stabila homotopigrupper $\pi _{n}^{S}$ . Ursprungligen beskrevs av George W. Whitehead , blev det föremål för den berömda Adams gissningen (1963) som slutligen löstes jakande av Daniel Quillen (1971).

Botts ursprungliga resultat kan sammanfattas kortfattat i:

Följd: De (instabila) homotopigrupperna i de (oändliga) klassiska grupperna är periodiska:

${\ start{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatörsnamn {Sp} )\\\pi _{k}(\operatörsnamn {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}$

Notera: Den andra och tredje av dessa isomorfismer flätas samman för att ge resultat med 8-faldig periodicitet:

${\begin{aligned}\pi _{k}(O )&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatörsnamn {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatörsnamn {Sp} ),&&k=0 ,1,\ldots \end{aligned}}$

Slingutrymmen och klassificeringsutrymmen

För teorin associerad med den oändliga enhetsgruppen U , är utrymmet BU klassificeringsutrymmet för stabila komplexa vektorbuntar (en Grassmann i oändliga dimensioner). En formulering av Bott-periodicitet beskriver det tvåfaldiga slingutrymmet, $\Omega ^{2}BU$ av BU . Här är $\Omega$ slingutrymmets funktion, höger angränsande till upphängning och vänster angränsande till klassificeringsutrymmeskonstruktionen . Bott periodicitet anger att detta dubbelslingutrymme i huvudsak är BU igen; mer exakt,

$$\Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU$$

är i huvudsak (det vill säga homotopi ekvivalent med) föreningen av ett räknebart antal kopior av BU . En likvärdig formulering är

$$\Omega ^{2}U\simeq U.$$

Båda dessa har den omedelbara effekten att visa varför (komplex) topologisk K -teori är en 2-faldig periodisk teori.

I motsvarande teori för den oändliga ortogonala gruppen , O , är utrymmet BO klassificeringsutrymmet för stabila reella vektorbuntar . I det här fallet anger Bott periodicitet att för det 8-faldiga slingutrymmet,

$$\Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO;$$

eller motsvarande,

$$\Omega ^{8}O\simeq O,$$

vilket ger konsekvensen att KO -teori är en 8-faldig periodisk teori. Dessutom, för den oändliga symplektiska gruppen , Sp, är utrymmet BSp klassificeringsutrymmet för stabila kvartjoniska vektorbuntar , och Bott-periodiciteten säger att

$$\Omega ^{8}\operatörsnamn {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatörsnamn {BSp} ;$$

eller motsvarande

$$\Omega ^{8}\operatörsnamn {Sp} \simeq \operatörsnamn {Sp} .$$

Sålunda är både topologisk reell K -teori (även känd som KO -teori) och topologisk kvartjonisk K -teori (även känd som KSp-teori) 8-faldiga periodiska teorier.

Geometrisk modell av slingutrymmen

En elegant formulering av Bott periodicitet använder sig av observationen att det finns naturliga inbäddningar (som slutna undergrupper) mellan de klassiska grupperna. Slingutrymmena i Bott-periodicitet är då homotopi ekvivalenta med de symmetriska utrymmena för successiva kvotienter, med ytterligare diskreta faktorer av Z .

Över de komplexa talen:

$U\times U\subset U\subset U\times U.$

Över de reella talen och quaternionerna:

$O\times O\subset O\subset U\subset \operatörsnamn {Sp} \subset \operatörsnamn {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatörsnamn {Sp} \subset U\subset O\subset O \ gånger O.$

Dessa sekvenser motsvarar sekvenser i Clifford algebror – se klassificering av Clifford algebror ; över de komplexa talen:

$\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .$

Över de reella talen och quaternionerna:

$\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \math {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb { R} \oplus \mathbb {R} ,$

där divisionsalgebran indikerar "matriser över den algebra".

Eftersom de är 2-periodiska/8-periodiska kan de ordnas i en cirkel, där de kallas Bott- periodicitetsklockan och Clifford-algebra-klockan .

Bott-periodicitetsresultaten förfinas sedan till en sekvens av homotopiekvivalenser :

För komplex K -teori:

${\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\ end{aligned}}$

För verkliga och kvartjoniska KO - och KSp-teorier:

${\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z } \times \operatörsnamn {BSp} )&\simeq \operatörsnamn {Sp} =(\operatörsnamn {Sp} \times \operatörsnamn {Sp} )/\operatörsnamn {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatörsnamn {Sp} &\simeq \operatörsnamn {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatörsnamn {Sp} &\Omega (\operatörsnamn {Sp} /U)&\simeq U /O\\\Omega (U/\operatörsnamn {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatörsnamn {Sp} /(\operatörsnamn {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}$

De resulterande utrymmena är homotopi ekvivalenta med de klassiska reduktiva symmetriska utrymmena , och är de successiva kvoterna av termerna för Bott-periodicitetsklockan. Dessa ekvivalenser ger omedelbart Botts periodicitetssatser.

De specifika utrymmena är (för grupper är det huvudsakliga homogena utrymmet också listat):

Slingutrymme	Kvot	Cartans etikett	Beskrivning
$\Omega ^{0}$	$\mathbb {Z} \times O/(O\times O)$	BDI	Riktig Grassmann
$\Omega ^{1}$	$O=(O\ gånger O)/O$		Ortogonal grupp (riktigt Stiefel-grenrör )
$\Omega ^{2}$	$O/U$	DIII	utrymme av komplexa strukturer som är kompatibla med en given ortogonal struktur
$\Omega ^{3}$	$U/\mathrm {Sp}$	ALLT	utrymme av kvartjoniska strukturer som är kompatibla med en given komplex struktur
$\Omega ^{4}$	$\mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )$	CII	Kvaternionisk gräsman
$\Omega ^{5}$	$\mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp}$		Symplektisk grupp (kvarternionisk Stiefel-grenrör )
$\Omega ^{6}$	$\mathrm {Sp} /U$	CI	komplex lagrangisk gräsman
$\Omega ^{7}$	$U/O$	AI	Lagrangian Grassmannian

Bevis

Botts ursprungliga bevis ( Bott 1959 ) använde Morse-teori , som Bott (1956) hade använt tidigare för att studera homologin hos Lie-grupper. Många olika bevis har givits.

Anteckningar

•    Bott, Raoul (1956), "An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups", Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281, doi : 10.24033/bsmf.1472 , ISSN 00437 , -944 MR 0087035
•      Bott, Raoul (1957), "The stabil homotopy of the classical groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 43 (10): 933–5, Bibcode : 1957PNAS...43..933B , doi : 10.1073/pnas.43.10.933 , JSTOR 89403 , MR 0102802 , PMC 528555 , PMID 16590113
•       Bott, Raoul (1959), "The stabil homotopy of the classical groups", Annals of Mathematics , Second Series, 70 (2): 313–337, doi : 10.2307/1970106 , ISSN 0003-486X , JSTOR 19700 19701 , MR40 1970 PMC 528555 , PMID 16590113
• Bott, Raoul (1970), "The periodicity theorem for the classical groups and some of its applications", Advances in Mathematics , 4 (3): 353–411, doi : 10.1016/0001-8708(70)90030-7 . En redogörelse för satsen och den matematik som omger den.
•    Giffen, CH (1996), "Bott periodicity and the Q-construction" , i Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (red.), Algebraic K-Theory , Contemporary Mathematics, vol. 199, American Mathematical Society, s. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4 , MR 1409620
•   Milnor, J. (1969). Morse teori . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9 .
• Baez, John (21 juni 1997). "Vecka 105" . Veckans fynd i matematisk fysik .