Browns representabilitetssats

Inom matematiken ger Browns representabilitetsteorem i homotopiteorin nödvändiga och tillräckliga villkor för att en kontravariant funktor F på homotopikategorin Hotc av spetsiga anslutna CW-komplex , till kategorin uppsättningar Set , ska vara en representativ funktor .

Mer specifikt är vi givna

F : Hotc ^op → Set ,

och det finns vissa uppenbarligen nödvändiga förutsättningar för att F ska vara av typen Hom (—, C ), med C ett spetsigt sammanhängande CW-komplex som kan härledas enbart från kategoriteorin . Påståendet om den materiella delen av satsen är att dessa nödvändiga villkor då är tillräckliga. Av tekniska skäl anges ofta satsen för funktorer till kategorin spetsiga mängder ; med andra ord får uppsättningarna också en baspunkt.

Brown representability theorem för CW-komplex

Representabilitetssatsen för CW-komplex, på grund av Edgar H. Brown , är följande. Anta att:

1. Funktionen F mappar samprodukter (dvs. kilsummor ) i Hotc till produkter i uppsättning : $F(\vee _{\alpha }X_{\alpha } )\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),$
2. Funktionen F mappar homotopi pushouts i Hotc till svaga pullbacks . Detta anges ofta som ett Mayer–Vietoris- axiom: för varje CW-komplex W som täcks av två subkomplex U och V , och alla element u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ) så att u och v begränsar till samma element av F ( U ∩ V ), finns det ett element w ∈ F ( W ) som begränsar till u respektive v .

Då kan F representeras av något CW-komplex C , det vill säga att det finns en isomorfism

F ( Z ) ≅ Hom _Hotc ( Z , C )

för vilket CW-komplex Z som helst , vilket är naturligt i Z genom att för varje morfism från Z till ett annat CW-komplex Y de inducerade kartorna F ( Y ) → F ( Z ) och Hom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C ) ) är kompatibla med dessa isomorfismer.

Det omvända uttalandet gäller också: vilken funktion som helst som representeras av ett CW-komplex uppfyller ovanstående två egenskaper. Denna riktning är en omedelbar konsekvens av grundläggande kategoriteori, så den djupare och mer intressanta delen av ekvivalensen är den andra implikationen.

Det representerande objektet C ovan kan visas vara funktionellt beroende av F : varje naturlig transformation från F till en annan funktion som uppfyller villkoren för satsen inducerar nödvändigtvis en karta över de representerande objekten. Detta är en konsekvens av Yonedas lemma .

Att ta F ( X ) för att vara den singulära kohomologigruppen H i ⁽ X , A ) med koefficienter i en given abelsk grupp A , för fixerad i > 0; då är det representerande utrymmet för F Eilenberg –MacLane utrymmet K ( A , i ). Detta ger ett sätt att visa existensen av Eilenberg-MacLane-utrymmen.

Varianter

Eftersom homotopikategorin av CW-komplex är ekvivalent med lokaliseringen av kategorin för alla topologiska utrymmen vid de svaga homotopiekvivalenserna , kan satsen likvärdigt anges för funktorer på en kategori definierad på detta sätt.

Men satsen är falsk utan begränsningen till anslutna spetsiga utrymmen, och ett analogt påstående för ospetsade utrymmen är också falskt.

Ett liknande uttalande gäller dock för spektra istället för CW-komplex. Brown bevisade också en generell kategorisk version av representabilitetsteoremet, som inkluderar både versionen för spetsiga sammankopplade CW-komplex och versionen för spektra.

En version av representabilitetsteoremet i fallet med triangulerade kategorier beror på Amnon Neeman. Tillsammans med föregående anmärkning ger det ett kriterium för att en (kovariant) funktion F : C → D mellan triangulerade kategorier som uppfyller vissa tekniska villkor ska ha en rätt adjoint funktion . Nämligen, om C och D är triangulerade kategorier med C kompakt genererad och F en triangulerad funktion som pendlar med godtyckliga direkta summor, då är F en vänsteradjoint. Neeman har tillämpat detta för att bevisa Grothendiecks dualitetssats i algebraisk geometri.

Jacob Lurie har bevisat en version av Browns representabilitetssats för homotopikategorin för en spetsig kvasikategori med en kompakt uppsättning generatorer som är samgruppsobjekt i homotopikategorin. Detta gäller till exempel för homotopikategorin av spetsiga sammankopplade CW-komplex, såväl som för den obegränsade härledda kategorin av en Grothendieck abelisk kategori (med tanke på Luries högre kategoriska förfining av den härledda kategorin).