Postnikov-systemet

Inom homotopiteorin , en gren av algebraisk topologi , är ett Postnikov-system (eller Postnikov-torn ) ett sätt att bryta ner ett topologiskt rums homotopigrupper med hjälp av ett inverst system av topologiska rum vars homotopityp vid graden $k$ överensstämmer med den trunkerade homotopitypen för det ursprungliga utrymmet $X$ . Postnikov-system introducerades av, och är uppkallade efter, Mikhail Postnikov .

Definition

Ett Postnikov-system av ett vägkopplat utrymme $X$ är ett omvänt system av utrymmen

$\cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *$

med en sekvens av kartor $\phi _{n}\colon X\to X_{n}$ kompatibel med det inversa systemet så att

1. Kartan $\phi _{n}\colon X\to X_{n}$ inducerar en isomorfism $\pi _{ i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})$ för varje $i\leq n$ .
2. $\pi _{i}(X_{n})=0$ för $i>n$ .
3. Varje karta $p_{n}\colon X_{n}\to X_{n-1}$ är en fibrering , och så fibern $F_{n }$ är ett Eilenberg–MacLane-rymd , $K(\pi _{n}(X),n)$ .

De två första villkoren innebär att $X_{1}$ också är ett $K(\pi _{1}(X),1)$ -mellanslag. Mer generellt, om $X$ är $(n-1)$ -ansluten, så är $X_{n}$ en $K(\pi _{n}(X),n)$ -mellanslag och alla $X_{i}$ för $i<n$ är sammandragbara . Observera att det tredje villkoret endast ingår valfritt av vissa författare.

Existens

Postnikov-system finns på anslutna CW-komplex , och det finns en svag homotopi-ekvivalens mellan $X$ och dess inversa gräns, så

$X\simeq \varprojlim {}X_{n}$ ,

visar att $X$ är en CW approximation av dess inversa gräns. De kan konstrueras på ett CW-komplex genom att iterativt döda homotopigrupper. Om vi ​​har en karta $f\colon S^{n}\to X$ som representerar en homotopiklass $[f]\in \pi _ {n}(X)$ , vi kan ta utskjutningen längs gränskartan $S^{n}\to e_{n+1}$ , vilket dödar homotopiklassen. För $X_{m}$ kan denna process upprepas för alla $n>m$ , vilket ger ett mellanslag som har försvinnande homotopigrupper $\pi _{ n}(X_{m})$ . Att använda det faktum att $X_{n-1}$ kan konstrueras från $X_{n}$ genom att döda alla homotopikartor $S^{n }\till X_{n}$ får vi en karta $X_{n}\to X_{n-1}$ .

Huvudfastighet

En av huvudegenskaperna hos Postnikov-tornet, som gör det så kraftfullt att studera samtidigt som man beräknar kohomologi, är det faktum att utrymmena $X_{n}$ är homotopiska till ett CW-komplex ${\mathfrak {X}}_{n}$ som skiljer sig från $X$ endast genom celler med dimensionen $\geq n+2$ .

Homotopi klassificering av fibrationer

Sekvensen av fibrationer $p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ har homotopiskt definierade invarianter, vilket betyder homotopiklasserna för kartor ${\ displaystyle p_{n}}$ , ge en väldefinierad homotopityp $[X]\in \operatorname {Ob} (hTop)$ . Homotopiklassen för $p_{n}$ kommer från att titta på homotopiklassen för klassificeringskartan för fibern $K(\pi _{n}( X),n)$ . Den tillhörande klassificeringskartan är

$X_{n-1}\to B(K(\pi _{ n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)$ ,

därför klassificeras homotopiklassen $[p_{n}]$ av en homotopiklass

$[p_{n}] \i [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n} (X))$

kallas den n:te Postnikov-invarianten av $X$ , eftersom homotopiklasserna av kartor till Eilenberg-Maclane-rymden ger kohomologi med koefficienter i den associerade abelska gruppen.

Fibersekvens för utrymmen med två icke-triviala homotopigrupper

Ett av specialfallen av homotopiklassificeringen är homotopiklassen för utrymmen $X$ så att det finns en fibration

$K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)$

ger en homotopityp med två icke-triviala homotopigrupper, ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G} ,$ och $\pi _{ n}(X)=A$ . Sedan, från föregående diskussion, ger fibrationskartan $BG\to K(A,n+1)$ en kohomologiklass i

$H^{n+1}(BG,A)$ ,

som också kan tolkas som en gruppkohomologilektion . Detta utrymme $X$ kan betraktas som ett högre lokalt system .

Exempel på Postnikov-torn

Postnikov-tornet av en K(G,n)

Ett av de begreppsmässigt enklaste fallen av ett Postnikov-torn är det av Eilenberg-Maclane-utrymmet $K(G,n)$ . Detta ger ett torn med

${\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{för }}i<n\\ X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{för }}i\geq n\end{matris}}$

Postnikov-tornet i S ²

Postnikov-tornet för sfären $S^{2}$ är ett specialfall vars första termer kan förstås explicit. Eftersom vi har de första homotopigrupperna från den enkla kopplingen av ${\displaystyle S^{2}} ,$ gradteori för sfärer och Hopf-fibrationen, vilket ger ${ \displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ för $k\geq 3$ , därav

${\begin{matrix}\pi _{1}( S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb { Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matris}}$

Sedan, $X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)$ och $X_{3}$ kommer från en tillbakadragningssekvens

${\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matris}}$

som är ett element i

$[p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} , 2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z}$ .

Om detta var trivialt skulle det innebära $X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\ gånger K(\mathbb {Z } ,3)$ . Men så är inte fallet! I själva verket är detta ansvarigt för varför strikta infinity groupoider inte modellerar homotopityper. Att beräkna denna invariant kräver mer arbete, men kan explicit hittas. Detta är den kvadratiska formen $x\mapsto x^{2}$ på $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ som kommer från Hopf-fibrationen $S^{3}\to S^{2}$ . Observera att varje element i $H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ ger en annan homotopi 3-typ.

Homotopi grupper av sfärer

En tillämpning av Postnikov-tornet är beräkningen av homotopigrupper av sfärer . För en $n$ -dimensionell sfär $S^{n}$ kan vi använda Hurewicz-satsen för att visa att varje $S_{i}^{n}$ är sammandragbar för $i<n$ , eftersom satsen antyder att de lägre homotopigrupperna är triviala. Kom ihåg att det finns en spektralsekvens för alla Serre-fibrationer , såsom fibrationen

$K(\pi _{n+1}( X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)$ .

Vi kan sedan bilda en homologisk spektralsekvens med $E^{2}$ -termer

$E_{p,q}^{2}= H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n +1\right)\right)\right)$ .

Och den första icke-triviala kartan till $\pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$ ,

$d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K (\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\ höger)\right)$ ,

lika skrivet som

$d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_ {n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$ .

Om det är lätt att beräkna $H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)$ och ${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)} ,$ då kan vi få information om hur den här kartan ser ut. I synnerhet, om det är en isomorfism, får vi en beräkning av $\pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$ . För fallet $n=3$ kan detta explicit beräknas med hjälp av vägfibreringen för ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)} ,$ huvudegenskapen för Postnikov-tornet för ${\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{celler med dimension}} \geq 6\}$ (ger $H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0$ , och den universella koefficientsatsen som ger ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}.$ Dessutom, pga. Freudenthal suspensionssatsen ger faktiskt den stabila homotopigruppen $\pi _{1}^{\mathbb {S} }$ eftersom $\pi _{n+ k}\left(S^{n}\right)$ är stabil för $n\geq k+2$ .

Observera att liknande tekniker kan tillämpas med Whitehead-tornet (nedan) för att beräkna $\pi _{4}\left(S^{3}\right)$ och $\pi _{5}\left(S^{3}\right)$ , vilket ger de två första icke-triviala stabila homotopigrupperna av sfärer.

Postnikov-torn av spektra

Förutom det klassiska Postnikov-tornet finns det en föreställning om Postnikov-torn i stabil homotopi-teori konstruerad på spektra ^{sid 85-86} .

Definition

För ett spektrum ${\displaystyle E} är$ ett postnikovtorn av $E$ ett diagram i homotopikategorin spektra, ${\text{Ho}}({\textbf {Spectra} })$ , givet av

$\cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_ {1}} E_{(0)}$ ,

med kartor

$\tau _{n}\colon E\to E_{(n)}$

pendling med $p_{n}$ kartorna. Då är detta torn ett Postnikov-torn om följande två villkor är uppfyllda:

1. $\pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0$ för $i >n$ ,
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}\colon \pi _{i}^ {\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)} är en isomorfism för i ≤$ n $i \leq n}$ ,

där $\pi _{i}^{\mathbb {S} }$ är stabila homotopigrupper i ett spektrum. Det visar sig att varje spektrum har ett Postnikov-torn och detta torn kan konstrueras med en liknande typ av induktiv procedur som den ovan.

Whitehead torn

Med tanke på ett CW-komplex $X$ finns det en dubbel konstruktion till Postnikov-tornet som kallas Whitehead-tornet . Istället för att döda alla högre homotopigrupper, dödar Whitehead-tornet iterativt lägre homotopigrupper. Detta ges av ett torn av CW-komplex,

$\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X$ ,

var

1. De lägre homotopigrupperna är noll, så $\pi _{i}(X_{n})=0$ för $i\leq n$ .
2. Den inducerade kartan $\pi _{i}\colon \pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}( X)$ är en isomorfism för $i>n$ .
3. Kartorna $X_{n}\to X_{n-1}$ är fibrer med fiber $K(\pi _{ n}(X),n-1)$ .

Implikationer

Observera $X_{1}\to X$ är det universella höljet till $X$ eftersom det är ett täckande utrymme med ett enkelt anslutet hölje. Dessutom är varje $X_{n}\to X$ det universella $n$ -anslutna omslaget till $X$ .

Konstruktion

Mellanrummen $X_{n}$ i Whitehead-tornet är konstruerade induktivt. Om vi ​​konstruerar ett $K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)$ genom att döda den högre homotopin grupper i $X_{n}$ , får vi en inbäddning $X_{n}\to K(\pi _{n +1}(X),n+1)$ . Om vi ​​låter

$X_{n+1}=\ left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ och }}f(1)\ i X_{n}\right\}$

för någon fast baspunkt $p$ , då är den inducerade kartan $X_{n+1}\to X_{n}$ ett fiberknippe med fiber som är homeomorf till

$\Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n +1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)$ ,

och så har vi en Serre-fibrering

$K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\ till X_{n-1}$ .

Genom att använda den långa exakta sekvensen i homotopi-teorin har vi att $\pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\ left(X_{n-1}\right)$ för $i\geq n+1$ , $\pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0$ för $i<n-1$ , och slutligen finns det en exakt sekvens

$0 \to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\vänster(\pi _{n+1}(X),n\höger)\till \pi _{n}\vänster(X_{n+1}\höger)\till 0$ ,

där om mellanmorfismen är en isomorfism är de andra två grupperna noll. Detta kan kontrolleras genom att titta på inkluderingen $X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n +1)$ och noterar att Eilenberg-Maclane-utrymmet har en cellulär nedbrytning

$X_{n-1}\cup \{{\text{celler med dimension}}\geq n+2\}$ ; alltså

${\ displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+ 1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$ ,

ger önskat resultat.

Som en homotopifiber

Ett annat sätt att se komponenterna i Whitehead-tornet är som en homotopifiber . Om vi ​​tar

${\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})$

från Postnikov-tornet får vi ett mellanslag $X^{n}$ som har

$\pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X )&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}$

Whitehead torn av spektra

Den dubbla uppfattningen om Whitehead-tornet kan definieras på ett liknande sätt med användning av homotopifibrer i kategorin spektra. Om vi ​​låter

$E\langle n\rangle =\operatörsnamn {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n )}\höger)$

då kan detta organiseras i ett torn som ger sammankopplade täckningar av ett spektrum. Detta är en mycket använd konstruktion inom bordismteorin eftersom täckningarna av det oorienterade kobordismspektrumet $M{\text{O}}$ ger andra bordismteorier

${\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O} }\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O} }\langle 2\rangle \end{aligned}}$

som strängbordism .

Whitehead torn och strängteori

I Spingeometrin är gruppen $\operatorname {Spin} (n)$ konstruerad som det universella täcket för den speciella ortogonala gruppen $\operatorname {SO} (n)$ , så $\mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)$ är en fibrering, vilket ger första terminen i Whitehead-tornet. Det finns fysiskt relevanta tolkningar för de högre delarna i detta torn, som kan läsas som

$\cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n) \till \operatörsnamn {Spin} (n)\till \operatörsnamn {SO} (n)$

där $\operatorname {String} (n)$ är den $3$ -anslutna omslaget till $\operatorname {SO} (n)$ som kallas strängen group , och $\operatorname {Fivebrane} (n)$ är det $7$ -anslutna locket som kallas fivebrane group .

Se även

• Adams spektralsekvens
• Eilenberg–MacLane utrymme
• CW-komplex
• Obstruktionsteori
• Stabil homotopi teori
• Homotopi grupper av sfärer
• Högre grupp

• Postnikov, Mikhail M. (1951). "Bestämning av homologigrupperna i ett utrymme med hjälp av homotopiinvarianterna". Doklady Akademii Nauk SSSR . 76 : 359-362.
• Föreläsningsanteckningar om homotopi teori och tillämpningar
• Bestämning av de andra homologi- och kohomologigrupperna i ett utrymme med hjälp av homotopi-invarianter - ger tillgängliga exempel på postnikov-invarianter
•   Hatcher, Allen (2002). Algebraisk topologi . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1 .
• "Handskrivna anteckningar" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2020-02-13.