Projektiv Hilbert-rymd

Inom matematiken och grunderna för kvantmekaniken är det projektiva Hilbert-utrymmet $P(H)$ för ett komplext Hilbert-rum $H$ uppsättningen av ekvivalensklasser av vektorer som inte är noll ${\ displaystyle v}$ i $H$ , för relationen $\sim$ på $H$ som ges av

$w\sim v$ om och endast om $v=\lambda w$ för något komplext tal som inte är noll $\lambda$ .

Ekvivalensklasserna för $v$ för relationen $\sim$ kallas också strålar eller projektiva strålar .

Detta är den vanliga konstruktionen av projektivisering , applicerad på ett komplext Hilbert-utrymme.

Översikt

Den fysiska betydelsen av det projektiva Hilbert-utrymmet är att i kvantteorin representerar vågfunktionerna $\psi$ och $\lambda \psi$ samma fysiska tillstånd , för alla $displaystyle \lambda \neq 0}$ \ . Det är konventionellt att välja en $\psi$ från strålen så att den har enhetsnorm , $\langle \psi |\psi \rangle =1$ , i vilket fall det kallas en normaliserad vågfunktion . Enhetsnormbegränsningen bestämmer inte helt $\psi$ inom strålen, eftersom $\psi$ skulle kunna multipliceras med vilken ${\displaystyle \lambda } som helst$ med ett absolut värde 1 ( U(1) -åtgärden ) och behåller sin normalisering. En sådan $\lambda$ kan skrivas som $\lambda =e^{i\phi }$ med $\phi$ som kallas den globala fasen .

Strålar som skiljer sig med en sådan $\lambda$ motsvarar samma tillstånd (jfr kvanttillstånd (algebraisk definition) , givet en C*-algebra av observerbara och en representation på $H$ ). Ingen mätning kan återställa fasen av en stråle; det är inte observerbart. Man säger att $U(1)$ är en mätgrupp av det första slaget.

Om $H$ är en irreducerbar representation av algebra av observerbara så inducerar strålarna rena tillstånd. Konvexa linjära kombinationer av strålar ger naturligtvis upphov till densitetsmatris som (fortfarande i fallet med en irreducerbar representation) motsvarar blandade tillstånd.

Samma konstruktion kan även appliceras på riktiga Hilbert-utrymmen.

I fallet $H$ är finitdimensionell, det vill säga $H=H_{n}$ , kan uppsättningen av projektiva strålar behandlas precis som vilket annat projektivt utrymme som helst; det är ett homogent utrymme för en enhetlig grupp $\mathrm {U} (n)$ eller ortogonal grupp $\mathrm {O} (n)$ , i det komplexa och reella fall respektive. För det finitdimensionella komplexet Hilbert-rum, skriver man

$P(H_{n})=\mathbb {C} P^{n-1}$

så att till exempel projektiviseringen av tvådimensionellt komplex Hilbert-rymd (utrymmet som beskriver en qubit ) är den komplexa projektiva linjen $\mathbb {C} P^{1}$ . Detta är känt som Bloch-sfären . Se Hopf-fibrering för detaljer om projektiviseringskonstruktionen i detta fall.

Komplext projektivt Hilbert-rum kan ges ett naturligt mått, Fubini-Study-metriken , härledd från Hilbert-rummets norm.

Produkt

Den kartesiska produkten av projektiva Hilbert-rum är inte ett projektivt rum. Segre- mappningen är en inbäddning av den kartesiska produkten av två projektiva utrymmen i det projektiva utrymmet associerat med tensorprodukten av de två Hilbert-utrymmena, givet av $P(H)\ gånger P(H')\till P(H\otimes H'),([x],[y])\ mapsto [x\otimes y]$ . I kvantteorin beskriver den hur man gör tillstånd i det sammansatta systemet från tillstånd av dess beståndsdelar. Det är bara en inbäddning , inte en överblick; det mesta av tensorproduktutrymmet ligger inte i dess intervall och representerar intrasslade tillstånd .

Se även

• Projektivt utrymme , för konceptet i allmänhet
• Komplext projektivt utrymme
• Projektiv representation

Ashtekar, Abhay ; Schilling, Troy A. (1997). "Geometrisk formulering av kvantmekanik". arXiv : gr-qc/9706069 .