Euler-sekvens

Inom matematiken är Eulersekvensen en speciell exakt sekvens av skivor på n -dimensionellt projektivt utrymme över en ring . Det visar att bunten av relativa differentialer är stabilt isomorf till en $(n+1)$ -faldig summa av dualen av Serre- vridningskärven .

Euler-sekvensen generaliserar till den för en projektiv bunt såväl som en Grassmann-bunt (se den senare artikeln för denna generalisering.)

Påstående

Låt $\mathbb {P} _{A}^{n}$ vara det n -dimensionella projektiva utrymmet över en kommutativ ring A . Låt ${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}} vara kärven$ av 1-differentialer på detta utrymme, och så vidare. Euler-sekvensen är följande exakta sekvens av skivor på $\mathbb {P} _{A}^{n}$ :

$$0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus ( n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.$$

Sekvensen kan konstrueras genom att definiera en homomorfism $S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i} \mapsto x_{i}$ med $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ och $e_{ i}=1$ i grad 1, surjektiv i grader $\geq 1$ , och kontrollera att lokalt på $n+1$ standarddiagrammen är kärnan isomorf till den relativa differentialmodulen .

Geometrisk tolkning

Vi antar att A är ett fält k .

Den exakta sekvensen ovan är dubbel med sekvensen

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1) }\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0$ ,

där ${\mathcal {T}}$ är tangenten för $\mathbb {P} ^{n}$ .

Låt oss förklara den koordinatfria versionen av denna sekvens, på $\mathbb {P} V$ för ett $(n+1)$ -dimensionellt vektorrum V över k :

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O} }_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.$

Denna sekvens är lättast att förstå genom att tolka delar av den centrala termen som 1- homogena vektorfält på V. En sådan sektion, Euler-vektorfältet, associerar till varje punkt $v$ av sorten $V$ tangentvektorn $v$ . Detta vektorfält är radiellt i den meningen att det försvinner enhetligt på 0-homogena funktioner, det vill säga de funktioner som är invarianta genom homotetisk omskalning, eller " oberoende av den radiella koordinaten" .

En funktion (definierad på någon öppen uppsättning) på $\mathbb {P} V$ ger upphov genom pull-back till en 0-homogen funktion på V (återigen delvis definierad). Vi får 1-homogena vektorfält genom att multiplicera Euler-vektorfältet med sådana funktioner. Detta är definitionen av den första kartan, och dess injektivitet är omedelbar.

Den andra kartan är relaterad till begreppet härledning, motsvarande begreppet vektorfält. Kom ihåg att ett vektorfält på en öppen mängd U av det projektiva utrymmet $\mathbb {P} V$ kan definieras som en härledning av funktionerna definierade i denna öppna mängd. Tillbakadragen i V motsvarar detta en härledning på förbilden av U som bevarar 0-homogena funktioner. Vilket vektorfält som helst på $\mathbb {P} V$ kan på så sätt erhållas, och injektivitetsdefekten för denna mappning består just av de radiella vektorfälten.

Därför är kärnan i den andra morfismen lika med bilden av den första.

Den kanoniska linjebunten av projektiva utrymmen

Genom att ta den högsta yttre kraften ser man att den kanoniska bunten av ett projektivt utrymme ges av

$$\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-( n+1)).$$

I synnerhet är projektiva utrymmen Fano-varianter , eftersom den kanoniska bunten är anti- ample och denna linjebunt har inga globala sektioner som inte är noll, så det geometriska släktet är 0. Detta kan hittas genom att titta på Euler-sekvensen och koppla in det i determinantformeln

$$\det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\ mathcal {E}}'')$$

för en kort exakt följd av formen $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}' '\till 0$ .

Chern klasser

Euler-sekvensen kan användas för att beräkna Chern-klasserna av projektivt rymd. Kom ihåg att givet en kort exakt sekvens av sammanhängande skivor,

$$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,$$

vi kan beräkna den totala Chern-klassen för ${\mathcal {E}}$ med formeln $c({\mathcal {E} })=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$ . Till exempel, på $\mathbb {P} ^{2}$ hittar vi

$${\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={ \frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H ])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{ 2},\end{aligned}}$$

där $[H]$ representerar hyperplanklassen i Chow-ringen $A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})$ . Använder den exakta sekvensen

$$0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \ Omega ^{1}\till 0,$$

vi kan återigen använda den totala Chern-klassens formel för att hitta

$${\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{ Justerat}}$$

Eftersom vi behöver invertera polynomet i nämnaren är detta ekvivalent med att hitta en potensserie ${ \displaystyle a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots }$ sådana att $a([H])c(\Omega ^{1})=1$ .

Anteckningar

•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•   Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary , Berlin/Boston: Walter De Gruyter , ISBN 978-3-11-031622-3