Gromovs ojämlikhet för komplext projektivt rum

I Riemannsk geometri är Gromovs optimala stabila 2- systoliska ojämlikhet ojämlikheten

$\mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^ {n})$ ,

giltigt för ett godtyckligt Riemann-mått på det komplexa projektiva utrymmet , där den optimala gränsen uppnås av den symmetriska Fubini-Studie-metriken, vilket ger en naturlig geometrisering av kvantmekaniken . Här $\operatorname {stsys_{2}}$ den stabila 2-systolen, som i det här fallet kan definieras som infimum av areorna av rationella 2-cykler som representerar komplexets klass projektiv linje $\mathbb {CP} ^{1}\subset \mathbb {CP} ^{n}$ i 2-dimensionell homologi.

Ojämlikheten dök först upp i Gromov (1981) som sats 4.36.

Beviset på Gromovs ojämlikhet förlitar sig på Wirtingers ojämlikhet för yttre 2-former .

Projektiva plan över divisionalgebror $\mathbb {R,C,H}$

I specialfallet n=2 blir Gromovs ojämlikhet $\mathrm {stsys} _{2}{}^{2}\leq 2 \mathrm {vol} _{4}(\mathbb {CP} ^{2})$ . Denna olikhet kan ses som en analog av Pu:s olikhet för det verkliga projektiva planet $\mathbb {RP} ^{2}$ . I båda fallen uppnås gränsfallet för jämlikhet genom den symmetriska metriken för det projektiva planet. Samtidigt, i det kvaternioniska fallet, är det symmetriska måttet på $\mathbb {HP} ^{2}$ inte dess systoliskt optimala måttenhet. Med andra ord, det mångfaldiga $\mathbb {HP} ^{2}$ medger Riemannska mått med högre systoliskt förhållande $\mathrm {stsys} _ {4}{}^{2}/\mathrm {vol} _{8}$ än för dess symmetriska mått ( Bangert et al. 2009) .

Se även

• Loewners torus ojämlikhet
• Pus ojämlikhet
• Gromovs ojämlikhet (disambiguation)
• Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör
• Systolisk geometri

•    Bangert, Victor; Katz, Mikhail G.; Shnider, Steve; Weinberger, Shmuel (2009). " E ₇ , Wirtingers ojämlikheter, Cayley 4-form och homotopi". Duke Mathematical Journal . 146 (1): 35–70. arXiv : math.DG/0608006 . doi : 10.1215/00127094-2008-061 . MR 2475399 . S2CID 2575584 .
•    Gromov, Mikhail (1981). J. Lafontaine; P. Pansu. (red.). Structures métriques pour les variétés riemanniennes [ Metriska strukturer för Riemanns grenrör ]. Textes Mathématiques (på franska). Vol. 1. Paris: CEDIC. ISBN 2-7124-0714-8 . MR 0682063 .
•    Katz, Mikhail G. (2007). Systolisk geometri och topologi . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 137. Med en appendix av Jake P. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society . sid. 19. doi : 10.1090/surv/137 . ISBN 978-0-8218-4177-8 . MR 2292367 .