Enhetsgrupp

"U(2)" omdirigerar hit. För andra ämnen, se U2 (disambiguation) .

I matematik är den enhetliga gruppen av grad n , betecknad U( n ), gruppen av n × n enhetsmatriser , med gruppoperationen av matrismultiplikation . Den enhetliga gruppen är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen GL( n , C ) . Hyperortogonal grupp är ett arkaiskt namn för den enhetliga gruppen, särskilt över ändliga fält . För gruppen av enhetsmatriser med determinant 1, se Särskild enhetsgrupp .

I det enkla fallet n = 1 motsvarar gruppen U(1) cirkelgruppen , som består av alla komplexa tal med absolutvärdet 1, under multiplikation. Alla enhetsgrupper innehåller kopior av denna grupp.

Den enhetliga gruppen U( n ) är en verklig Lie-grupp med dimensionen n2 ^. Lie -algebra av U( n ) består av n × n skev-Hermitiska matriser , med Lie-parentesen given av kommutatorn .

Den allmänna enhetsgruppen (även kallad gruppen av enhetsliknelser ) består av alla matriser A så att A ^∗ A är en multipel som inte är noll av identitetsmatrisen och är bara produkten av den enhetliga gruppen med gruppen av alla positiva multiplar av identitetsmatris.

Egenskaper

Eftersom determinanten för en enhetlig matris är ett komplext tal med norm 1 , ger determinanten en grupphomomorfism

$\det \colon \operatörsnamn {U} (n)\till \operatörsnamn {U} (1).$

Kärnan i denna homomorfism är uppsättningen av enhetliga matriser med determinant 1 . Denna undergrupp kallas den speciella enhetsgruppen , betecknad SU( n ) . Vi har sedan en kort exakt sekvens av Lie-grupper:

$1\till \operatörsnamn {SU} (n)\till \operatörsnamn {U} (n)\till \operatörsnamn {U} (1)\till 1.$

Kartan ovan U( n ) till U(1) har ett avsnitt: vi kan se U(1) som undergruppen av U( n ) som är diagonala med e ^iθ i det övre vänstra hörnet och 1 på resten av diagonalen . Därför U( n ) en halvdirekt produkt av U(1) med SU( n ) .

Den enhetliga gruppen U( n ) är inte abelsk för n > 1 . Centrum av U( n ) är mängden skalära matriser λI med λ ∈ U(1 ) ; detta följer av Schurs lemma . Centrum är då isomorft till U(1) . Eftersom centrum av U( n ) är en 1 -dimensionell abelsk normal undergrupp av U( n ) , är den enhetliga gruppen inte halvenkel , men den är reduktiv .

Topologi

Den enhetliga gruppen U( n ) är utrustad med den relativa topologin som en delmängd av M( n , C ) , mängden av alla n × n komplexa matriser, som i sig är homeomorf till ett 2 n ² -dimensionellt euklidiskt utrymme .

Som ett topologiskt utrymme är U( n ) både kompakt och sammankopplad . För att visa att U( n ) är ansluten, kom ihåg att vilken enhetlig matris A som helst kan diagonaliseras av en annan enhetlig matris S . Varje diagonal enhetsmatris måste ha komplexa tal med absolutvärdet 1 på huvuddiagonalen. Vi kan därför skriva

$A=S\,\operatörsnamn {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{ -1}.$

En väg i U( n ) från identiteten till A ges då av

$t\mapsto S\,\operatörsnamn {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta_{n}}\right)\,S^ {-1}.$

Den enhetliga gruppen är inte bara sammankopplad ; grundgruppen av U( n ) är oändlig cyklisk för alla n :

$\pi _{1}(\operatörsnamn {U} (n))\cong \mathbf {Z} .$

För att se detta, notera att ovanstående uppdelning av U( n ) som en halvdirekt produkt av SU( n ) och U(1) inducerar en topologisk produktstruktur på U( n ), så att

$\pi _{1}(\operatörsnamn {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatörsnamn {SU} (n))\ gånger \pi _{1}(\operatörsnamn {U } (1)).$

Nu är den första enhetsgruppen U(1) topologiskt sett en cirkel , som är välkänd för att ha en fundamental grupp isomorf till Z , medan $\operatorname {SU} (n)$ helt enkelt är ansluten.

Determinantkartan det: U( n ) → U(1) inducerar en isomorfism av fundamentala grupper, där splittringen U(1) → U( n ) inducerar inversen.

Weyl -gruppen av U( n ) är den symmetriska gruppen S _n , som verkar på den diagonala torusen genom att permutera ingångarna:

$\operatorname {diag} \left(e^ {i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatörsnamn {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1) }},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)$

Relaterade grupper

2-av-3 fastighet

Den enhetliga gruppen är den trefaldiga skärningspunkten mellan de ortogonala , komplexa och symplektiska grupperna:

$\operatörsnamn {U} (n)=\operatörsnamn {O} (2n)\cap \operatörsnamn {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatörsnamn {Sp} (2n,\mathbf {R } ).$

Således kan en enhetlig struktur ses som en ortogonal struktur, en komplex struktur och en symplektisk struktur, som krävs för att vara kompatibla (vilket betyder att man använder samma J i den komplexa strukturen och den symplektiska formen, och att detta J är ortogonalt ; att skriva alla grupper som matrisgrupper fixar ett J (som är ortogonalt) och säkerställer kompatibilitet).

I själva verket är det skärningspunkten mellan två av dessa tre; sålunda inducerar en kompatibel ortogonal och komplex struktur en symplektisk struktur, och så vidare.

På ekvationsnivå kan detta ses på följande sätt:

${\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T }}JA=J\\\hline {\text{Komplex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Ortogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{- 1}\end{array}}$

Varje två av dessa ekvationer innebär den tredje.

På formnivån kan detta ses genom att sönderdela en hermitisk form i dess verkliga och imaginära delar: den reella delen är symmetrisk (ortogonal) och den imaginära delen är skevsymmetrisk (symplektisk) – och dessa är relaterade till komplexet struktur (vilket är kompatibiliteten). På ett nästan Kähler-grenrör kan man skriva denna sönderdelning som h = g + iω , där h är den hermitiska formen, g är den riemannska metriken , i är den nästan komplexa strukturen och ω är den nästan symplektiska strukturen .

Lie-gruppers synvinkel kan detta delvis förklaras enligt följande: O(2n ) är den maximala kompakta undergruppen av GL(2n , R ) och U( n ) är den maximala kompakta undergruppen av båda GL( n , C ) och Sp(2n ) . Således är skärningspunkten O(2 n ) ∩ GL( n , C ) eller O(2 n ) ∩ Sp(2 n ) den maximala kompakta undergruppen av båda dessa, så U( n ). Ur detta perspektiv är det oväntade skärningspunkten GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n ) .

Särskilda enhetliga och projektiva enhetsgrupper

Se även: Särskild enhetsgrupp och Projektiv enhetsgrupp

Precis som den ortogonala gruppen O( n ) har den speciella ortogonala gruppen SO( n ) som undergrupp och den projektiva ortogonala gruppen PO( n ) som kvot, och den projektiva speciella ortogonala gruppen PSO( n ) som underkvot , enhetsgruppen U( n ) har associerat den speciella enhetsgruppen SU( n ), den projektiva enhetsgruppen PU( n ) och den projektiva speciella enhetsgruppen PSU( n ). Dessa är relaterade som i det kommutativa diagrammet till höger; noterbart är båda projektiva grupperna lika: PSU( n ) = PU( n ) .

Ovanstående är för den klassiska enhetsgruppen (över de komplexa talen) – för enhetsgrupper över ändliga fält får man på liknande sätt speciella enhetliga och projektiva enhetsgrupper, men i allmänhet $\operatörsnamn {PSU} \left(n,q^{2}\right)\neq \operatörsnamn {PU} \left(n,q^{2}\right)$ .

G-struktur: nästan hermitisk

På språket G-strukturer är ett grenrör med en U( n )-struktur ett nästan hermitiskt grenrör .

Generaliseringar

Lieteorins synvinkel är den klassiska enhetsgruppen en verklig form av Steinberggruppen ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}},$ som är en algebraisk grupp som uppstår från kombination av _diagrammets automorfism av den allmänna linjära gruppen (omvänd Dynkin-diagrammet An , vilket motsvarar transponera invers) och fältautomorfismen för förlängningen C / R (nämligen komplex konjugation ). Båda dessa automorfismer är automorfismer av den algebraiska gruppen, har ordning 2 och pendlar, och den enhetliga gruppen är de fasta punkterna för produktens automorfism, som en algebraisk grupp. Den klassiska enhetsgruppen är en verklig form av denna grupp, motsvarande standardformen Ψ, som är positiv bestämd.

Detta kan generaliseras på flera sätt:

• generalisering till andra hermitiska former ger obestämda enhetliga grupper U( p , q ) ;
• fältförlängningen kan ersättas av vilken grad 2-separerbar algebra som helst, framför allt en grad 2-förlängning av ett ändligt fält;
• generalisering till andra diagram ger andra grupper av Lie-typ , nämligen de andra Steinberg-grupperna ${}^{2}\!D_{n},{}^{2} \!E_{6},{}^{3}\!D_{4},$ (utöver ${}^{2}\!A_{n}$ ) och Suzuki-Ree-grupper

  ${}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1 }\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);$

• om man betraktar en generaliserad enhetlig grupp som en algebraisk grupp, kan man ta dess poäng över olika algebror.

Obestämda former

Analogt med de obestämda ortogonala grupperna , kan man definiera en obestämd enhetlig grupp , genom att överväga omvandlingarna som bevarar en given hermitisk form, inte nödvändigtvis positiv bestämd (men i allmänhet tas för att vara icke-degenererad). Här arbetar man med ett vektorrum över de komplexa talen.

Givet en hermitisk form Ψ på ett komplext vektorrum V , är den enhetliga gruppen U(Ψ) gruppen av transformationer som bevarar formen: transformationen M Ψ( Mv , Mw ) = Ψ( v , w ) så att för alla v , w ∈ V . När det gäller matriser, som representerar formen med en matris betecknad Φ, säger detta att M ^∗ Φ M = Φ .

Precis som för symmetriska former över realerna bestäms hermitiska former av signatur , och är alla enhetligt kongruenta till en diagonal form med p -poster på 1 på diagonalen och q- poster på -1. Det icke-degenererade antagandet är ekvivalent med p + q = n . I en standardbas representeras detta som en kvadratisk form som:

$\lVert z p\rVert 2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots - \lVert z_{n}\rVert ^{2}$

och som en symmetrisk form som:

$\Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar { w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.$

Den resulterande gruppen betecknas U( p , q ) .

Finita fält

Över det finita fältet med q = p ^r element, F _q , finns det ett unikt kvadratiskt förlängningsfält, F _{q ²} , med ordning 2 automorfism $\alpha \colon x\mapsto x^{q }$ (den r :te kraften hos Frobenius automorfism ). Detta gör att man kan definiera en hermitisk form på ett F _{q ²} vektorrum V , som en F _q -bilinjär karta $\Psi \colon V\ gånger V\to K$ så att $\Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)$ och $\Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)$ för c ∈ F _{q ²} . Vidare är alla icke-degenererade hermitiska former på ett vektorrum över ett ändligt fält enhetligt kongruenta med standarden, representerade av identitetsmatrisen; det vill säga vilken hermitisk form som helst är enhetligt likvärdig med

$\Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\summa _{i=1 }^{n}w_{i}^{q}v_{i}$

där $w_{i},v_{i}$ representerar koordinaterna för w , v ∈ V i någon speciell F _{q ²} -bas för det n -dimensionella rummet V ( Grove 2002 , Thm. 10.3 ).

Således kan man definiera en (unik) enhetlig grupp av dimension n för förlängningen F _{q ²} / F _q , betecknad antingen som U( n , q ) eller U( n , q ² ) beroende på författaren. Den enhetliga gruppens undergrupp som består av matriser med determinant 1 kallas den speciella enhetsgruppen och betecknas SU( n , q ) eller SU( n , q ² ) . För enkelhetens skull kommer den här artikeln att använda U( n , q ² ) -konventionen. Mitten av U( n , q ² ) har ordningen q + 1 och består av de skalära matriserna som är enhetliga, det vill säga de matriserna cI _V med $c^{q+1}=1$ . Mitten av den speciella enhetsgruppen har ordningen gcd( n , q + 1) och består av de enhetsskalärer som också har ordningsdelning n . Kvotienten för den enhetliga gruppen av dess centrum kallas den projektiva enhetsgruppen , PU( n , q ² ) , och kvoten för den speciella enhetsgruppen efter dess centrum är den projektiva speciella enhetsgruppen PSU( n , q ² ) . I de flesta fall ( n > 1 och ( n , q ² ) ∉ {(2, 2 ² ), (2, 3 ² ), (3, 2 ² )} ), är SU( n , q ² ) en perfekt grupp och ^. PSU( n , q2 ) är en finit enkel grupp , ( Grove 2002 , Thm 11.22 och 11.26).

Degree-2 separerbara algebror

Mer generellt, givet ett fält k och en grad-2 separerbar k -algebra K (som kan vara en fältförlängning men inte behöver vara det), kan man definiera enhetliga grupper med avseende på denna förlängning.

För det första finns det en unik k -automorfism av K $a\mapsto {\bar {a}}$ som är en involution och fixar exakt k ( $a={\bar {a}}$ om och endast om a ∈ k ). Detta generaliserar komplex konjugation och konjugering av grad 2 finita fältförlängningar, och tillåter en att definiera hermitiska former och enhetsgrupper enligt ovan.

Algebraiska grupper

Ekvationerna som definierar en enhetlig grupp är polynomekvationer över k (men inte över K ): för standardformen Φ = I , ges ekvationerna i matriser som A ^∗ A = I , där $A ^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}$ är den konjugata transponeringen . Givet en annan form är de A ^∗ Φ A = Φ . Den enhetliga gruppen är alltså en algebraisk grupp , vars punkter över en k -algebra R ges av:

$\operatörsnamn {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatörsnamn {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^ {*}\Phi A=\Phi \right\}.$

För fältförlängningen C / R och standardformen (positiv bestämd) hermitisk form, ger dessa en algebraisk grupp med reella och komplexa punkter som ges av:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatörsnamn {U} (n)\\\operatörsnamn {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatörsnamn {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}$

Faktum är att den enhetliga gruppen är en linjär algebraisk grupp .

Enhetsgrupp av en kvadratisk modul

Den enhetliga gruppen i en kvadratisk modul är en generalisering av den just definierade linjära algebraiska gruppen U, som som specialfall innehåller många olika klassiska algebraiska grupper . Definitionen går tillbaka till Anthony Baks avhandling.

För att definiera det måste man först definiera kvadratiska moduler:

Låt R vara en ring med anti-automorfism J , $\varepsilon \in R^{\times }$ så att $r^{J^{2 }}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}$ för alla r i R och $\varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}$ . Definiera

${\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ rr^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _ {\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}$

Låt Λ ⊆ R vara en additiv undergrupp av R , då kallas Λ formparameter om $\Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text {max}}$ och $r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda$ . Ett par ( R , Λ) så att R är en ring och Λ en formparameter kallas form ring .

Låt M vara en R -modul och f en J -sequilinjär form på M (dvs $f(xr,ys)=r^{ J}f(x,y)s$ för alla $x,y\in M$ och $r,s\in R$ ). Definiera $h(x,y):=f(x,y)+f(y,x) ^{J}\varepsilon \in R$ och $q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda$ , då sägs f definiera den Λ-kvadratiska formen ( h , q ) på M . En kvadratisk modul över ( R , Λ) är en trippel ( M , h , q ) så att M är en R -modul och ( h , q ) är en Λ-kvadratisk form.

Till vilken kvadratisk modul som helst ( M , h , q ) definierad av en J -sequilinjär form f på M över en formring ( R , Λ) kan man associera den enhetliga gruppen

$U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\ text{ och }}q(\sigma x)=q(x)\}.$

Specialfallet där Λ = Λ _max , med J vilken icke-trivial involution som helst (dvs $J\neq id_{R},J^{2}=id_{ R}$ och ε = −1 ger tillbaka den "klassiska" enhetsgruppen (som en algebraisk grupp).

Polynominvarianter

De enhetliga grupperna är automorfismerna av två polynom i verkliga icke-kommutativa variabler:

${\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^ {2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx- xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}$

Dessa kan lätt ses som de verkliga och imaginära delarna av den komplexa formen $Z{\overline {Z}}$ . De två invarianterna var för sig är invarianter av O(2n ) och Sp(2n ) . Tillsammans gör de invarianterna för U( n ) som är en undergrupp till båda dessa grupper. Variablerna måste vara icke-kommutativa i dessa invarianter, annars är det andra polynomet identiskt noll.

Klassificering av utrymme

Klassificeringsutrymmet för U( Klassificeringsutrymme för U( n n ) beskrivs i artikeln ) .

Se även

• Särskild enhetlig grupp
• Projektiv enhetlig grupp
• Ortogonal grupp
• Symplektisk grupp

Anteckningar

•    Grove, Larry C. (2002), Klassiska grupper och geometrisk algebra , Graduate Studies in Mathematics, vol. 39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3 , MR 1859189
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-3319134666