Hodge teori

Inom matematik är Hodge-teorin , uppkallad efter WVD Hodge , en metod för att studera kohomologigrupperna i ett jämnt grenrör M med hjälp av partiella differentialekvationer . Den viktigaste observationen är att, givet ett riemannsk mått på M , har varje kohomologiklass en kanonisk representant , en differentialform som försvinner under den laplaciska operatören av måttet. Sådana former kallas harmoniska .

Teorin utvecklades av Hodge på 1930-talet för att studera algebraisk geometri , och den byggde på Georges de Rhams arbete om de Rham kohomologi . Den har stora applikationer i två inställningar: Riemannska grenrör och Kähler grenrör . Hodges primära motivation, studiet av komplexa projektiva varianter , omfattas av det senare fallet. Hodge-teori har blivit ett viktigt verktyg i algebraisk geometri, särskilt genom dess koppling till studiet av algebraiska cykler .

Medan Hodge-teorin i sig är beroende av de reella och komplexa talen, kan den tillämpas på frågor inom talteorin . I aritmetiska situationer har verktygen för p -adisk Hodge-teorin gett alternativa bevis på, eller analoga resultat till, klassisk Hodge-teorin.

Historia

Området för algebraisk topologi var fortfarande begynnande på 1920-talet. Det hade ännu inte utvecklat begreppet kohomologi , och samspelet mellan differentialformer och topologi var dåligt förstått. År 1928 Élie Cartan en anteckning med titeln Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos där han föreslog, men inte bevisade, att differentialformer och topologi borde kopplas samman. Efter att ha läst den blev Georges de Rham, då student, omedelbart slagen av inspiration. I sin avhandling från 1931 bevisade han ett spektakulärt resultat som nu kallas de Rhams teorem . Enligt Stokes teorem inducerar integrering av differentialformer längs singulära kedjor, för varje kompakt jämn grenrör M , en bilinjär parning

H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .

Som ursprungligen angavs, hävdar de Rhams sats att detta är en perfekt parning , och att därför var och en av termerna på vänster sida är vektorrumsdualer av varandra. I nutida språk formuleras de Rhams teorem oftare som påståendet att singular kohomologi med verkliga koefficienter är isomorf till de Rham kohomologi:

H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).

De Rhams ursprungliga uttalande är då en konsekvens av Poincarés dualitet .

Separat använde ett papper från 1927 av Solomon Lefschetz topologiska metoder för att motbevisa Riemanns satser . I modernt språk, om ω ₁ och ω ₂ är holomorfa differentialer på en algebraisk kurva C , så är deras kilprodukt nödvändigtvis noll eftersom C bara har en komplex dimension; följaktligen koppprodukten för deras kohomologiklasser noll, och när det gjordes explicit gav detta Lefschetz ett nytt bevis på Riemann-relationerna . Dessutom, om ω är en holomorf differential som inte är noll, så är ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ en positiv volymform , varifrån Lefschetz kunde härleda Riemanns ojämlikheter. 1929 fick WVD Hodge reda på Lefschetz' papper. Han observerade omedelbart att liknande principer tillämpades på algebraiska ytor. Mer exakt, om ω är en holomorf form som inte är noll på en algebraisk yta, då ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ är positiv, så koppprodukten av $\omega$ och ${\bar {\omega }}$ måste vara icke-noll. Det följer att ω själv måste representera en kohomologiklass som inte är noll, så dess perioder kan inte alla vara noll. Detta löste en fråga om Severi.

Hodge ansåg att dessa tekniker borde kunna tillämpas på högre dimensionella varianter också. Hans kollega Peter Fraser rekommenderade de Rhams avhandling till honom. När han läste de Rhams avhandling insåg Hodge att de verkliga och imaginära delarna av en holomorf 1-form på en Riemann-yta i någon mening var dubbla till varandra. Han misstänkte att det borde finnas en liknande dualitet i högre dimensioner; denna dualitet är nu känd som Hodge-stjärnoperatören . Han antog vidare att varje kohomologiklass borde ha en framstående representant med egenskapen att både den och dess dubbla försvinner under den yttre derivatoperatorn; dessa kallas nu harmoniska former. Hodge ägnade större delen av 1930-talet åt detta problem. Hans tidigaste publicerade försök till bevis dök upp 1933, men han ansåg att det var "ojämnt i det extrema". Hermann Weyl , en av tidens mest briljanta matematiker, fann sig själv oförmögen att avgöra om Hodges bevis var korrekt eller inte. 1936 publicerade Hodge ett nytt bevis. Medan Hodge ansåg att det nya beviset var mycket överlägset, upptäcktes ett allvarligt fel av Bohnenblust. Oberoende av varandra modifierade Hermann Weyl och Kunihiko Kodaira Hodges bevis för att reparera felet. Detta etablerade Hodges eftertraktade isomorfism mellan harmoniska former och kohomologiklasser.

I efterhand står det klart att de tekniska svårigheterna i existenssatsen egentligen inte krävde några betydande nya idéer, utan bara en noggrann utvidgning av klassiska metoder. Den verkliga nyheten, som var Hodges största bidrag, låg i uppfattningen om harmoniska integraler och deras relevans för algebraisk geometri. Denna begreppets triumf över tekniken påminner om en liknande episod i Hodges store föregångare Bernhard Riemanns verk.

— MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 juni 1903 – 7 juli 1975, Biografiska memoarer av Fellows of the Royal Society , vol. 22, 1976, s. 169–192.

Hodge-teori för riktiga grenrör

De Rham kohomologi

Hodge-teorin refererar till de Rham-komplexet . Låt M vara ett jämnt grenrör . För ett icke-negativt heltal k , låt Ω ^k ( M ) vara det reella vektorrummet för jämna differentialformer av graden k på M . De Rham-komplexet är sekvensen av differentialoperatorer

0\to \Omega ^{0}(M)\xhögerpil {d_{ 0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0 ,

där d _k betecknar den yttre derivatan på Ω ^k ( M ). Detta är ett samkedjekomplex i den meningen att d _{k +1} ∘ d _k = 0 (även skrivet d ² = 0 ). De Rhams teorem säger att den singulära kohomologin för M med reella koefficienter beräknas av de Rham-komplexet:

H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatörsnamn {im} d_{k-1}}}.

Operatörer i Hodge-teorin

Välj ett riemannskt mått g på M och kom ihåg att:

\Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).

Måttet ger en inre produkt på varje fiber $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ genom att förlänga (se Gramian matris ) den inre produkten inducerad av g från varje kotangensfiber $T_{p}^{*}(M)$ till dess $k^{th}$ yttre produkt : $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ . Den $\Omega ^{k}(M)$ definieras sedan som integralen av den punktvisa inre produkten av ett givet par k -former över M med avseende på volymformen $\sigma$ associerad med g . Explicit, givet några $\omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)$ har vi

(\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .

Naturligtvis inducerar ovanstående inre produkt en norm, när den normen är ändlig på någon fast k -form:

\langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,

då är integranden en verkligt värderad, kvadratisk integrerbar funktion på M , utvärderad vid en given punkt via dess punktvisa normer,

\|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).

Tänk på den andra operatören av d med avseende på dessa inre produkter:

\delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).

Då definieras Laplacian på former av

\Delta =d\delta +\delta d.

Detta är en linjär differentialoperator av andra ordningen, som generaliserar Laplacian för funktioner på R ⁿ . Per definition är en form på M harmonisk om dess Laplacian är noll:

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Laplacian dök upp först i matematisk fysik . Speciellt Maxwells ekvationer att den elektromagnetiska potentialen i ett vakuum är en 1-form A som har en yttre derivata dA = F , där F är en 2-form som representerar det elektromagnetiska fältet så att Δ A = 0 på rymdtid, sett som Minkowski utrymme med dimension 4.

Varje övertonsform α på ett slutet Riemann-grenrör är sluten , vilket betyder att dα = 0 . Som ett resultat finns det en kanonisk mappning $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M) \till H^{k}(M,\mathbf {R} )$ . Hodge-satsen säger att $\varphi$ är en isomorfism av vektorrum. Med andra ord har varje riktig kohomologiklass på M en unik harmonisk representant. Konkret är den harmoniska representanten den unika slutna formen av minsta L ² -norm som representerar en given kohomologiklass. Hodge-satsen bevisades med hjälp av teorin om elliptiska partiella differentialekvationer, med Hodges initiala argument färdigställda av Kodaira och andra på 1940-talet.

Till exempel antyder Hodge-satsen att kohomologigrupperna med reella koefficienter för ett slutet grenrör är ändliga dimensionella . (Det finns visserligen andra sätt att bevisa detta.) Operatörerna Δ är faktiskt elliptiska, och kärnan i en elliptisk operator på ett slutet grenrör är alltid ett ändligt dimensionellt vektorrum. En annan konsekvens av Hodge-satsen är att en Riemannisk metrik på ett slutet grenrör M bestämmer en verkligt värderad inre produkt på den integrerade kohomologin av M modulo torsion . Det följer till exempel att bilden av isometrigruppen av M i den allmänna linjära gruppen GL( H ^∗ ( M , Z )) är finit (eftersom gruppen av isometrier i ett gitter är finit).

En variant av Hodges sats är Hodges sönderdelning . Detta säger att det finns en unik nedbrytning av vilken differentialform ω som helst på ett slutet Riemann-grenrör som summan av tre delar i formen

\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,

där γ är harmonisk: Δ γ = 0 . När det gäller L ² -metriken på differentialformer ger detta en ortogonal direkt summauppdelning:

\Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_ {\Delta }^{k}(M).

Hodge-nedbrytningen är en generalisering av Helmholtz-nedbrytningen för de Rham-komplexet.

Hodge teori om elliptiska komplex

Atiyah och Bott definierade elliptiska komplex som en generalisering av de Rham-komplexet. Hodge-satsen sträcker sig till denna inställning, enligt följande. Låt $E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}$ vara vektorbuntar , utrustade med metriker, på ett slutet jämnt grenrör M med en volymform dV . Anta att

L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})

är linjära differentialoperatorer som verkar på C ^∞ sektioner av dessa vektorbuntar, och att den inducerade sekvensen

0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\till 0

är ett elliptiskt komplex. Introducera de direkta summorna:

{\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _ {i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^ {\bullet }\end{aligned}}

och låt L ^∗ vara adjunkten till L . Definiera den elliptiska operatorn Δ = LL ^∗ + L ^∗ L . Som i de Rham-fallet ger detta vektorutrymmet för harmoniska sektioner

{\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.

Låt $H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}$ vara den ortogonala projektionen, och låt G vara den grönas operator för Δ. Hodge -satsen hävdar sedan följande:

H och G är väldefinierade.
Id = H + Δ G = H + G Δ
LG = GL , L ^∗ G = GL ^∗
Komplexets kohomologi är kanoniskt isomorf till rymden av harmoniska sektioner, $H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j} )$ , i den meningen att varje kohomologiklass har en unik harmonisk representant.

Det finns också en Hodge-nedbrytning i denna situation, vilket generaliserar uttalandet ovan för de Rham-komplexet.

Hodge-teori för komplexa projektiva varianter

Låt X vara ett jämnt komplext projektivt grenrör, vilket betyder att X är ett slutet komplext undergrenrör av något komplext projektivt utrymme CP ^N . Enligt Chows teorem är komplexa projektiva grenrör automatiskt algebraiska: de definieras av försvinnandet av homogena polynomekvationer på CP ^N . Riemann-standardmåttet på CP N ^inducerar ett Riemann-mått på X som har en stark kompatibilitet med den komplexa strukturen, vilket gör X till en Kähler-manifold .

För ett komplext mångfald X och ett naturligt tal r , kan varje C ^∞ r -form på X (med komplexa koefficienter) skrivas unikt som en summa av former av typ ( p , q ) med p + q = r , vilket betyder former som kan lokalt skrivas som en ändlig summa av termer, där varje term tar formen

f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_ {1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}

med f a C ^∞ funktion och z _s och w _s holomorfa funktioner . På ett Kähler-grenrör ( p , q ) komponenterna i en harmonisk form återigen harmoniska. Därför, för varje kompakt Kähler-grenrör X , ger Hodge-satsen en nedbrytning av kohomologin av X med komplexa koefficienter som en direkt summa av komplexa vektorrum:

H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).

Denna sönderdelning är i själva verket oberoende av valet av Kähler-metrik (men det finns ingen analog sönderdelning för en allmän kompakt komplex grenrör). Å andra sidan beror Hodge-nedbrytningen verkligen på strukturen av X som ett komplext mångfald, medan gruppen H ^r ( X , C ) endast beror på det underliggande topologiska utrymmet av X .

Att ta kilprodukter av dessa harmoniska representanter motsvarar koppprodukten i kohomologi, så koppprodukten med komplexa koefficienter är kompatibel med Hodge-nedbrytningen:

\smile \colon H^{p,q}(X)\ gånger H^{p',q'}(X)\högerpil H^{p+p',q+q'}(X).

Biten H ^{p , q} ( X ) i Hodge-nedbrytningen kan identifieras med en koherent kärvkohomologigrupp , som endast beror på X som ett komplext grenrör (inte på valet av Kähler-metrik):

H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),

där Ω ^p betecknar bunten av holomorfa p -former på X . Till exempel H ^{p , 0} ( X ) utrymmet för holomorfa p -former på X . (Om X är projektiv, innebär Serres GAGA -sats att en holomorf p -form på hela X faktiskt är algebraisk. )

Å andra sidan kan integralen skrivas som cap-produkten av homologiklassen Z och kohomologiklassen representerad av $\alpha$ . Med Poincaré-dualitet är homologiklassen för Z dubbel till en kohomologiklass som vi kommer att kalla [ Z ], och cap - produkten kan beräknas genom att ta koppprodukten av [ Z ] och α och täcka med den grundläggande klassen av X.

Eftersom [ Z ] är en kohomologiklass har den en Hodge-nedbrytning. Genom beräkningen vi gjorde ovan, om vi kombinerar denna klass med någon typ av typ $(p,q)\neq (k,k)$ , då får vi noll. Eftersom ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)} drar vi slutsatsen$ att [ Z ] måste ligga i $H^{nk,nk}(X)$ .

Hodgetalet h ^{p , q} ( X ) ^{p betyder q} dimensionen av det komplexa vektorrummet H . ( X ). Dessa är viktiga invarianter av en jämn komplex projektiv sort; de förändras inte när den komplexa strukturen hos X varieras kontinuerligt, och ändå är de i allmänhet inte topologiska invarianter. Bland egenskaperna hos Hodge-tal finns Hodgesymmetri h ^{p , q} = h ^{q , p} (eftersom H ^{p , q} ( X ) är det komplexa konjugatet av H ^{q , p} ( X )) och h ^{p , q} = h ^{n − p , n − q} (av Serre dualitet ).

Hodge-numren för en jämn komplex projektiv variant (eller kompakt Kähler-grenrör) kan listas i Hodge-diamanten (visas i fallet med komplex dimension 2):

		h ^2,2
	h ^2,1		h ^1,2
h ^2,0		h ^1,1		h ^0,2
	h ^1,0		h ^0,1
		h ^0,0

Till exempel har varje jämn projektiv kurva av släktet g Hodge-diamant

	1
g		g
	1

Till exempel har varje K3-yta Hodge-diamant

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Betti -talen för X är summan av Hodge-talen i en given rad. En grundläggande tillämpning av Hodge-teorin är då att de udda Betti-talen b _{2 a +1} för en jämn komplex projektiv variant (eller kompakt Kähler-manifold) är jämna, genom Hodgesymmetri. Detta är inte sant för kompakta komplexa grenrör i allmänhet, vilket visas av exemplet med Hopf-ytan , som är diffeomorf till S ¹ × S ³ och därför har b ₁ = 1 .

"Kähler-paketet" är en kraftfull uppsättning begränsningar för kohomologin hos smidiga komplexa projektiva varianter (eller kompakta Kähler-grenrör), som bygger på Hodge-teorin. Resultaten inkluderar Lefschetz hyperplansats , den hårda Lefschetz-satsen och Hodge-Riemanns bilinjära relationer . Många av dessa resultat följer av grundläggande tekniska verktyg som kan bevisas för kompakta Kähler-grenrör med Hodge-teorin, inklusive Kähler- identiteterna och $\partial {\bar {\partial }}$ -lemmat .

Hodge-teori och tillägg som icke-abelsk Hodge-teori ger också starka begränsningar för de möjliga grundläggande grupperna av kompakta Kähler-grenrör.

Algebraiska cykler och Hodge-förmodan

Låt X vara en jämn komplex projektiv variant. En komplex undervarietet Y i X av kodimensionen p definierar ett element i kohomologigruppen $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ . Dessutom har den resulterande klassen en speciell egenskap: dess bild i den komplexa kohomologin $H^{2p}(X,\mathbb {C} )$ ligger i mitten av Hodge sönderdelning, $H^{p,p}(X)$ . Hodge -förmodan förutsäger en motsats: varje element av $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ vars bild i komplex kohomologi ligger i delrummet $H^{p,p}(X)$ ska ha en positiv integralmultipel som är en $\mathbb {Z}$ -linjär kombination av klasser av komplexa undervarieteter av X . (En sådan linjär kombination kallas en algebraisk cykel på X .)

En avgörande punkt är att Hodge-nedbrytningen är en nedbrytning av kohomologi med komplexa koefficienter som vanligtvis inte kommer från en nedbrytning av kohomologi med integrala (eller rationella) koefficienter. Som ett resultat, korsningen

(H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\ text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )

kan vara mycket mindre än hela gruppen $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/$ torsion, även om Hodge-numret $h^{p,p}$ är stor. Kort sagt förutspår Hodge-förmodan att de möjliga "formerna" av komplexa subvarieteter av X (som beskrivs av kohomologi) bestäms av Hodge-strukturen hos X (kombinationen av integrerad kohomologi med Hodge-nedbrytningen av komplex kohomologi).

Lefschetz (1,1)-satsen säger att Hodge-förmodan är sann för p = 1 (även integralt, det vill säga utan behov av en positiv integralmultipel i påståendet).

Hodge-strukturen för en variant X beskriver integralerna av algebraiska differentialformer på X över homologiklasser i X . I denna mening är Hodge-teorin relaterad till en grundläggande fråga i kalkyl : det finns i allmänhet ingen "formel" för integralen av en algebraisk funktion . I synnerhet bestämda integraler av algebraiska funktioner, kända som perioder , kan vara transcendentala tal . Svårigheten med Hodge-förmodan återspeglar bristen på förståelse för sådana integraler i allmänhet.

Exempel: För en jämn komplex projektiv K3-yta X är gruppen H ² ( X , Z ) isomorf till Z ²² och H ^1,1 ( X ) är isomorf till C ²⁰ . Deras skärningspunkt kan ha rangordning var som helst mellan 1 och 20; denna rankning kallas Picard-talet för X . Modulutrymmet för alla projektiva K3-ytor har en räkningsbar oändlig uppsättning komponenter, var och en av komplex dimension 19. Delrummet av K3-ytor med Picardnummer a har dimensionen 20− a . (För de flesta projektiva K3-ytor är alltså skärningen av H ² ( X , Z ) med H ^1,1 ( X ) isomorf till Z , men för "speciella" K3-ytor kan skärningspunkten vara större.)

Detta exempel antyder flera olika roller som Hodge-teorin spelar i komplex algebraisk geometri. För det första ger Hodge-teorin begränsningar för vilka topologiska rum som kan ha strukturen av en jämn komplex projektiv variation. För det andra ger Hodge-teorin information om modulutrymmet för släta komplexa projektiva varieteter med en given topologisk typ. Det bästa fallet är när Torelli-satsen gäller, vilket betyder att sorten bestäms upp till isomorfism av dess Hodge-struktur. Slutligen ger Hodge-teorin information om Chow-gruppen av algebraiska cykler på en given sort. Hodge-förmodan handlar om bilden av cykelkartan från Chow-grupper till vanlig kohomologi, men Hodge-teorin ger också information om kärnan i cykelkartan, till exempel med hjälp av de mellanliggande Jacobians som är byggda från Hodge-strukturen.

Generaliseringar

Blandad Hodge-teori , utvecklad av Pierre Deligne , utökar Hodge-teorin till alla komplexa algebraiska varianter, inte nödvändigtvis smidiga eller kompakta. Kohomologin för alla komplexa algebraiska varianter har nämligen en mer allmän typ av nedbrytning, en blandad Hodge-struktur .

En annan generalisering av Hodge-teorin till singulära varianter tillhandahålls av intersektionshomologi . Morihiko Saito visade nämligen att intersektionshomologin för vilken komplex projektiv sort som helst (inte nödvändigtvis slät) har en ren Hodge-struktur, precis som i det släta fallet. Faktum är att hela Kähler-paketet sträcker sig till intersektionshomologi.

En grundläggande aspekt av komplex geometri är att det finns kontinuerliga familjer av icke-isomorfa komplexa grenrör (som alla är diffeomorfa som verkliga grenrör). Phillip Griffiths begrepp om en variation av Hodge-strukturen beskriver hur Hodge-strukturen för en jämn komplex projektiv variant X varierar när X varierar. I geometriska termer motsvarar detta att studera den periodkartering som är förknippad med en familj av sorter. Saitos teori om Hodge-moduler är en generalisering. Grovt sett är en blandad Hodge-modul på en sort X en bunt av blandade Hodge-strukturer över X , vilket skulle uppstå från en familj av sorter som inte behöver vara jämna eller kompakta.

Se även

Potentiella teori
Serre dualitet
Helmholtz nedbrytning
Lokal invariant cykelsats
Arakelov teori
Hodge-Arakelov teori
ddbar lemma , en nyckelkonsekvens av Hodge-teorin för kompakta Kähler-grenrör.

Anteckningar

Arapura, Donu, beräkna några hodge-nummer (PDF)
Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principer för algebraisk geometri . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8 . MR 0507725 .
Hodge, WVD (1941), Theory and Applications of Harmonic Integrals , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1 , MR 0003947
Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An Introduction , Springer , ISBN 3-540-21290-6 , MR 2093043
Voisin, Claire (2007) [2002], Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.) , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615344 , ISBN 978-0-521-1918019 , 6MR 19 71801
Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups , Springer , ISBN 0-387-90894-3 , MR 0722297
Wells Jr., Raymond O. (2008) [1973], Differential Analysis on Complex Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, vol. 65 (3:e upplagan), Springer , doi : 10.1007/978-0-387-73892-5 , hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN 978-0-387-73891-8 , MR 4823

Myndighetskontroll
Nationalbibliotek	Frankrike (data) Tyskland Israel Förenta staterna
Övrig	IdRef