Plan i oändligheten

I projektiv geometri är ett plan i oändligheten hyperplanet i oändligheten av ett tredimensionellt projektivt utrymme eller till vilket plan som helst som ingår i hyperplanet i oändligheten av något projektivt utrymme av högre dimension. Den här artikeln kommer endast att handla om det tredimensionella fallet.

Definition

Det finns två tillvägagångssätt för att definiera planet i oändligheten som beror på om man börjar med ett projektivt 3-rum eller ett affint 3-rum .

Om ett projektivt 3-rum ges, är planet i oändligheten vilket som helst distingerat projektivt plan i rummet. Denna synpunkt understryker det faktum att detta plan inte är geometriskt annorlunda än något annat plan. Å andra sidan, givet ett affint 3-rum, planet vid oändligheten ett projektivt plan som läggs till det affina 3-utrymmet för att ge det stängning av infallsegenskaper . Det betyder att punkterna i planet vid oändligheten är de punkter där parallella linjer i det affina 3-rummet kommer att mötas, och linjerna är de linjer där parallella plan i det affina 3-rummet kommer att mötas. Resultatet av tillägget är det projektiva 3-utrymmet, $P^{3}$ . Denna synvinkel betonar planets inre struktur i oändligheten, men får det att se "speciellt" ut i jämförelse med de andra planen i rymden.

Om det affina 3-rummet är reellt, $\mathbb {R} ^{3}$ , så adderas ett reellt projektivt plan $\mathbb {R} P^{2}$ vid oändlighet producerar det verkliga projektiva 3-mellanrummet $\mathbb {R} P^{3}$ .

Analytisk representation

Eftersom vilka två projektiva plan som helst i ett projektivt 3-rum är ekvivalenta, kan vi välja ett homogent koordinatsystem så att vilken punkt som helst på planet i oändligheten representeras som ( X : Y : Z :0). Vilken punkt som helst i det affina 3-rummet kommer då att representeras som ( X : Y : Z :1). Punkterna på planet i oändligheten verkar ha tre frihetsgrader, men homogena koordinater är likvärdiga upp till varje omskalning:

$(X:Y:Z:0)\equiv (aX:aY:aZ:0)$ ,

så att koordinaterna ( X : Y : Z :0) kan normaliseras , vilket reducerar frihetsgraderna till två (alltså en yta, nämligen ett projektivt plan).

Proposition : Vilken linje som helst som går genom origo (0:0:0:1) och genom en punkt ( X : Y : Z :1) kommer att skära planet i oändligheten vid punkten ( X : Y : Z :0).

Bevis : En linje som går genom punkter (0:0:0:1) och ( X : Y : Z :1) kommer att bestå av punkter som är linjära kombinationer av de två givna punkterna:

$a(0:0:0:1)+b(X:Y:Z:1)=(bX:bY:bZ:a+b).$

För att en sådan punkt ska ligga på planet i oändligheten måste vi ha, $a+b=0$ . Så, genom att välja $a=-b$ , får vi punkten $(bX:bY:bZ :0)=(X:Y:Z:0)$ , efter behov. QED

Varje par av parallella linjer i 3-rum kommer att skära varandra vid en punkt på planet i oändlighet. Dessutom skär varje linje i 3-utrymmet planet i oändligheten vid en unik punkt. Denna punkt bestäms av linjens riktning – och endast av riktningen. För att bestämma denna punkt, betrakta en linje parallell med den givna linjen, men som går genom origo, om linjen inte redan passerar genom origo. Välj sedan valfri punkt, annan än origo, på denna andra rad. Om de homogena koordinaterna för denna punkt är ( X : Y : Z :1), så är de homogena koordinaterna för punkten i oändligheten genom vilken den första och andra linjen båda passerar ( X : Y : Z :0).

Exempel : Betrakta en linje som går genom punkterna (0:0:1:1) och (3:0:1:1). En parallell linje går genom punkter (0:0:0:1) och (3:0:0:1). Denna andra linje skär planet i oändligheten vid punkten (3:0:0:0). Men den första raden går också genom denna punkt:

$\lambda (3:0:1:1)+\mu (0:0:1:1)$

$=(3\lambda :0:\lambda +\mu :\lambda +\mu )$

$=(3:0:0 :0)$

när $\lambda +\mu =0$ . ■

Vilket par av parallella plan som helst i affint 3-rum kommer att skära varandra i en projektiv linje (en linje i oändligheten) i planet i oändligheten. Dessutom skär varje plan i det affina 3-utrymmet planet i oändligheten i en unik linje. Denna linje bestäms av riktningen - och endast av riktningen - av planet.

Egenskaper

Eftersom planet i oändligheten är ett projektivt plan är det homeomorft mot ytan av en "sfär modulo antipodes", dvs en sfär där antipodpunkter är ekvivalenta: S ² /{1,-1} där kvoten förstås som en kvot av en gruppåtgärd (se kvotutrymme ).

Anteckningar

• Bumcrot, Robert J. (1969), Modern Projective Geometry , Holt, Rinehart och Winston
•   Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Fundamental Concepts of Geometry , Dover, ISBN 0-486-63415-9
•   Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
•   Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry , UTM Readings in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry , Dover
• Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry , Holden-Day