Klipp ut lokus

Skär platsen C(P) av en punkt P på ytan av en cylinder. En punkt Q i snittlokuset visas med två distinkta kortaste banor

\gamma _{1},\gamma _{2}

som kopplar den till P.

Cut locus är en matematisk struktur definierad för en sluten uppsättning $S$ i ett mellanslag $X$ som stängningen av mängden av alla punkter $p\in X$ som har två eller mer distinkta kortaste vägar i $X$ från $S$ till $p$ .

Definition i ett specialfall

Låt $X$ vara ett metriskt utrymme, utrustat med måtten ${\displaystyle \mathrm {d} _{X}} ,$ och låt $x\in X$ vara en punkt. Det klippta stället för $x$ i $X$ ( $\operatorname {CL} _{X}(x)$ ), är lokuset för alla punkter i $X$ för vilken det finns minst två distinkta kortaste vägar till $x$ i $X$ . Mer formellt, $y\in \operatorname {CL} _{X}(x)$ för en punkt $y$ i $X$ om och endast om det finns två vägar $\gamma ,\gamma ':I\to X$ så att $\gamma (0)=\gamma '(0)=x$ , $\gamma (1)=\gamma '(1)=y$ , ${\displaystyle |\gamma |=|\gamma '|=\mathrm {d} _{X}(x,y)} ,$ och banorna för de två vägarna är distinkta.

Exempel

Låt till exempel S vara gränsen för en enkel polygon och X det inre av polygonen. Då är det skurna läget polygonens mediala axel . Punkterna på den mediala axeln är centra för maximala skivor som vidrör polygongränsen vid två eller flera punkter, motsvarande två eller flera kortaste vägar till skivans centrum.

Som ett andra exempel, låt S vara en punkt x på ytan av en konvex polyeder P och X själva ytan. Då är det avskurna lokuset för x vad som är känt som åsträdet för P med avseende på x . Detta åsträd har egenskapen att skärning av ytan längs dess kanter vecklar ut P till en enkel plan polygon. Denna polygon kan ses som ett nät för polyedern.

Exempel för specialfallet

Låt $X=S^{2}$ , det vill säga den vanliga 2-sfären . Då består snittlokuset för varje punkt på sfären av exakt en punkt, nämligen den antipodala.