Nedre gränstopologi

I matematik är den nedre gränstopologin eller höger halvöppet intervalltopologi en topologi definierad på uppsättningen $\mathbb {R}$ av reella tal ; den skiljer sig från standardtopologin på $\mathbb {R}$ (genererad av de öppna intervallen ) och har ett antal intressanta egenskaper. Det är topologin som genereras av basen av alla halvöppna intervall [ a , b ), där a och b är reella tal.

Det resulterande topologiska rummet kallas Sorgenfrey-linjen efter Robert Sorgenfrey eller pilen och skrivs ibland $\mathbb {R} _{l}$ . Liksom Cantor-uppsättningen och den långa raden , tjänar Sorgenfrey-linjen ofta som ett användbart motexempel till många annars plausibelt klingande gissningar i allmän topologi . Produkten av $_{l}}$ } med sig själv är också ett användbart motexempel, känt som Sorgenfrey-planet .

I fullständig analogi kan man också definiera den övre gränstopologin , eller vänster halvöppen intervalltopologi .

Egenskaper

Den nedre gränstopologin är finare (har fler öppna uppsättningar) än standardtopologin på de reella talen (som genereras av de öppna intervallen). Anledningen är att varje öppet intervall kan skrivas som en (uträkneligt oändlig) förening av halvöppna intervall.
För alla verkliga $a$ och $b$ är intervallet $[a,b)$ clopen i $\mathbb {R} _{l}$ (dvs både öppen och stängd ). Dessutom, för alla verkliga $a$ , mängderna $\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ och $\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ är också clopen. Detta visar att Sorgenfrey-linjen är helt frånkopplad .
Varje kompakt delmängd av $\mathbb {R} _{l}$ måste vara en högst räknebar mängd . För att se detta, överväg en icke-tom kompakt delmängd $C\subseteq \mathbb {R} _{l}$ . Fixa en $x\in C$ , tänk på följande öppna omslag till $C$ :

{\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n} }{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.} Eftersom

C

\displaystyle C}

är kompakt har detta omslag ett ändligt undertäcke, och därför det finns ett reellt tal

a(x)

så att intervallet

(a(x),x]

inte innehåller någon punkt av

C

förutom

x

. Detta gäller för alla

x\in C

. Välj nu ett rationellt tal

q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q}

Eftersom intervallen

(a(x),x]

, parametriserad av

x\in C

, är parvis disjunkta, funktionen

q:C\to \mathbb {Q}

är injektiv, så

C

är som mest Det kunde observeras att en delmängd

C

är kompakt om och endast om den avgränsas underifrån och är välordnad när den är utrustad med ordningen " > {\

>} "

(vilket i synnerhet innebär att den är avgränsad från ovan).

Namnet "nedre gränstopologi" kommer från följande faktum: en sekvens (eller net ) $(x_{\alpha })$ i $\mathbb {R} _{l}$ konvergerar till gränsen $L$ om och bara om den "närmar sig $L$ från höger", vilket betyder att det för varje $\epsilon >0$ finns ett index $\ alfa _{0}$ så att $\forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon$ . Sorgenfrey-linjen kan alltså användas för att studera högersidiga gränser : om $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ är en funktion , då är den vanliga högersidiga gränsen för $f$ vid $x$ (när codomänen bär standardtopologin) är densamma som den vanliga gränsen för $f$ vid $x$ när domänen är utrustad med nedre gränstopologi och kodomänen bär standardtopologin.
När det gäller separationsaxiom är $\mathbb {R} _{l}$ ett helt normalt Hausdorff- utrymme .
När det gäller räknebarhetsaxiom är $\mathbb {R} _{l}$ först-räknebar och separerbar , men inte andra-räknbar .
När det gäller kompakthetsegenskaper är $\mathbb {R} _{l}$ Lindelöf och paracompact , men inte σ-kompakt eller lokalt kompakt .
$\mathbb {R} _{l}$ är inte mätbara eftersom separerbara metriska mellanslag är andra-räknebara. Topologin för en Sorgenfrey-linje genereras dock av en kvasimetrisk .
$\mathbb {R} _{l}$ är ett Baire-mellanslag .
$\mathbb {R} _{l}$ har inga anslutna komprimeringar.

Se även

Lista över topologier

Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446