Alexandroff förlängning

Inom det matematiska topologiområdet är Alexandroff -förlängningen ett sätt att förlänga ett icke-kompakt topologiskt utrymme genom att angränsa en enda punkt på ett sådant sätt att det resulterande utrymmet är kompakt . Den är uppkallad efter den ryske matematikern Pavel Alexandroff . Mer exakt, låt X vara ett topologiskt rum. Då är Alexandroff-förlängningen av X ett visst kompakt utrymme X * tillsammans med en öppen inbäddning c : X → X * så att komplementet av X i X * består av en enda punkt, typiskt betecknad ∞. Kartan c är en Hausdorff- komprimering om och endast om X är ett lokalt kompakt , icke-kompakt Hausdorff-utrymme . För sådana utrymmen kallas Alexandroff-förlängningen enpunktskomprimering eller Alexandroff-komprimering . Fördelarna med Alexandroff-komprimeringen ligger i dess enkla, ofta geometriskt meningsfulla struktur och det faktum att den i en exakt mening är minimal bland alla kompaktifieringar; nackdelen ligger i det faktum att det bara ger en Hausdorff-komprimering på klassen av lokalt kompakta, icke-kompakta Hausdorff-utrymmen, till skillnad från Stone–Čech-komprimeringen som finns för vilket topologiskt utrymme som helst (men ger en inbäddning exakt för Tychonoff-utrymmen ).

Exempel: omvänd stereografisk projektion

Ett geometriskt tilltalande exempel på enpunktskomprimering ges av den omvända stereografiska projektionen . Kom ihåg att den stereografiska projektionen S ger en explicit homeomorfism från enhetssfären minus nordpolen (0,0,1) till det euklidiska planet. Den inversa stereografiska projektionen $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ är en öppen, tät inbäddning i en kompakt Hausdorff utrymme som erhålls genom att angränsa den extra punkten $\infty =(0,0,1)$ . Under den stereografiska projektionen mappas latitudinella cirklar ${\displaystyle z=c} till plana cirklar$${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/( 1-c)}}}$ . Det följer att den borttagna grannskapsbasen för $(0,0,1)$ som ges av de punkterade sfäriska kapslarna $c\leq z<1$ motsvarar komplementen till slutna plana skivor ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ . Mer kvalitativt, en grannskapsbas vid $\infty$ tillhandahålls av uppsättningarna $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2 }\smallsetminus K)\cup \{\infty \}$ eftersom K sträcker sig genom de kompakta delmängderna av $\mathbb {R} ^{2}$ . Detta exempel innehåller redan nyckelbegreppen i det allmänna fallet.

Motivering

Låt $c:X\hookrightarrow Y$ vara en inbäddning från ett topologiskt utrymme X till ett kompakt Hausdorff-topologiskt utrymme Y , med tät bild och enpunktsrest $\{\infty \}=Y\smallsetminus c(X)$ . Då är c ​​( X ) öppen i ett kompakt Hausdorff-utrymme så är det lokalt kompakt Hausdorff, därför är dess homeomorfa förbild X också lokalt kompakt Hausdorff. Dessutom, om X var kompakt skulle c ( X ) vara stängd i Y och därmed inte tät. Således kan ett utrymme endast tillåta en Hausdorff enpunktskomprimering om det är lokalt kompakt, icke-kompakt och Hausdorff. Dessutom, i en sådan enpunktskomprimering ger bilden av en grannskapsbas för x i X en grannskapsbas för c ( x ) i c ( X ), och - eftersom en delmängd av ett kompakt Hausdorff-utrymme är kompakt om och endast om den är stängd – de öppna områdena för $\infty$ måste vara alla uppsättningar som erhålls genom att gränsa $\infty$ till bilden under c av en delmängd av X med kompakt komplement.

Alexandroff-förlängningen

Sätt ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}} ,$ och topologisera $X^{*}$ genom att ta som öppna sätter alla öppna delmängder U av X tillsammans med alla mängder $V=(X\smallsetminus C)\cup \{\infty \}$ där C är sluten och kompakt i X . Här $X\smallsetminus C$ komplementet till $C$ i $X$ . Observera att $V$ är en öppen grannskap av ${\displaystyle \infty } ,$ och därför kommer alla öppna omslag till $\{\infty \}$ att innehålla alla utom en kompakt delmängd ${ \displaystyle C}$ av $X^{*}$ , vilket antyder att $X^{*}$ är kompakt ( Kelley 1975 , s. 150).

Inklusionskartan $c:X\rightarrow X^{*}$ kallas Alexandroff-förlängningen av X (Willard, 19A).

Egenskaperna nedan följer alla av diskussionen ovan:

• Kartan c är kontinuerlig och öppen: den bäddar in X som en öppen delmängd av $X^{*}$ .
• Mellanrummet $X^{*}$ är kompakt.
• Bilden c ( X ) är tät i $X^{*}$ , om X är icke-kompakt.
• Mellanrummet $X^{*}$ är Hausdorff om och endast om X är Hausdorff och lokalt kompakt .
• Mellanrummet $X^{*}$ är T ₁ om och endast om X är T ₁ .

Enpunktskomprimeringen

I synnerhet är Alexandroff-tillägget $c:X\rightarrow X^{*}$ en Hausdorff-komprimering av X om och endast om X är Hausdorff, icke-kompakt och lokalt kompakt. I detta fall kallas det enpunktskomprimering eller Alexandroff-komprimering av X .

Minns från diskussionen ovan att varje Hausdorff-komprimering med en punkts återstod nödvändigtvis är (isomorf till) Alexandroff-komprimeringen. I synnerhet, om $X$ är ett kompakt Hausdorff-utrymme och $p$ är en gränspunkt för $X$ (dvs. inte en isolerad punkt för ${\displaystyle X} )$ , ${ \displaystyle X}$ är Alexandroff-komprimeringen av $X\smallsetminus \{p\}$ .

Låt X vara vilket icke-kompakt Tychonoff-utrymme som helst . Under den naturliga partiella ordningen på mängden ${\mathcal {C}}(X)$ av ekvivalensklasser av kompaktifieringar, är varje minimalt element ekvivalent med Alexandroff-förlängningen (Engelking, sats 3.5.12). Det följer att ett icke-kompakt Tychonoff-utrymme medger en minimal kompaktering om och endast om det är lokalt kompakt.

Icke-Hausdorff enpunktskomprimering

Låt $(X,\tau )$ vara ett godtyckligt icke-kompakt topologiskt rum. Man kanske vill bestämma alla komprimeringarna (inte nödvändigtvis Hausdorff) av $X$ som erhålls genom att lägga till en enda punkt, vilket också skulle kunna kallas enpunktskomprimering i detta sammanhang. Så man vill bestämma alla möjliga sätt att ge $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ en kompakt topologi så att $X$ är tät i den och subrymdtopologin på $X$ inducerad från $X^{*}$ är densamma som den ursprungliga topologin. Det sista kompatibilitetsvillkoret på topologin innebär automatiskt att $X$ är tät i ${\displaystyle X^{*}} ,$ eftersom $X$ inte är kompakt, så den kan inte stängas i en kompakt Plats. Det är också ett faktum att inkluderingskartan $c:X\to X^{*}$ nödvändigtvis är en öppen inbäddning, det vill säga $X$ måste vara öppen i $X^{*}$ och topologin på $X^{*}$ måste innehålla varje medlem av $\tau$ . Så topologin på $X^{*}$ bestäms av kvarteren för $\infty$ . Varje grannskap av $\infty$ är nödvändigtvis komplementet i $X^{*}$ till en sluten kompakt delmängd av $X$ , som tidigare diskuterats.

Topologierna på $X^{*}$ som gör det till en kompaktering av $X$ är följande:

• Alexandroff-förlängningen av $X$ definierad ovan. Här tar vi komplementen till alla slutna kompakta delmängder av $X$ som kvarter av $\infty$ . Detta är den största topologin som gör $X^{*}$ till en enpunktskomprimering av $X$ .
• Den öppna förlängningstopologin . Här lägger vi till en enstaka grannskap av $\infty$ , nämligen hela utrymmet $X^{*}$ . Detta är den minsta topologin som gör $X^{*}$ till en enpunktskomprimering av $X$ .
• Vilken topologi som helst mellan de två topologierna ovan. För stadsdelar med $\infty$ måste man välja en lämplig underfamilj av komplementen till alla slutna kompakta delmängder av $X$ ; till exempel komplementen till alla ändliga slutna kompakta delmängder, eller komplementen till alla räknebara slutna kompakta delmängder.

Ytterligare exempel

Kompakteringar av diskreta utrymmen

• Enpunktskomprimeringen av uppsättningen positiva heltal är homeomorf till utrymmet som består av K = {0} U {1/ n | n är ett positivt heltal} med ordningstopologin.
• En sekvens $\{a_{n}\}$ i ett topologiskt utrymme $X$ konvergerar till en punkt $a$ i $X$ , om och endast om kartan $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ ges av $f(n)=a_{n}$ för $n$ i $\mathbb {N}$ och $f(\infty )=a$ är kontinuerlig. Här har ${\displaystyle \mathbb {N} } den$ diskreta topologin .
• Polyadiska utrymmen definieras som topologiska utrymmen som är den kontinuerliga bilden av kraften i en enpunktskomprimering av ett diskret, lokalt kompakt Hausdorff-utrymme.

Kompakteringar av sammanhängande utrymmen

• Enpunktskomprimeringen av det ⁿ - dimensionella euklidiska rummet Rn är ^homeomorf till n - sfären Sn . Som ovan kan kartan ges explicit som en n -dimensionell invers stereografisk projektion.
• Enpunktskomprimeringen av produkten av $\kappa$ kopior av det halvslutna intervallet [0,1), det vill säga av $[0,1)^{\kappa }$ , är (homeomorf till) $[0,1]^{\kappa }$ .
• Eftersom stängningen av en ansluten delmängd är ansluten, är Alexandroff-förlängningen av ett icke-kompakt anslutet utrymme ansluten. En enpunktskomprimering kan emellertid "ansluta" ett frånkopplat utrymme: till exempel enpunktskomprimeringen av den disjunkta föreningen av ett ändligt antal $n$ av kopior av intervallet (0,1) är en kil av $n$ cirklar .
• Enpunktskomprimeringen av den osammanhängande föreningen av ett räknebart antal kopior av intervallet (0,1) är det hawaiianska örhänget . Detta skiljer sig från kilen med oräkneligt många cirklar, som inte är kompakt.
• Givet $X$ kompakt Hausdorff och $C$ vilken som helst sluten delmängd av ${\displaystyle X} ,$ är enpunktskomprimeringen av $X\smallsetminus C$${\ displaystyle X/C}$ , där snedstrecket anger kvotutrymmet .
• Om $X$ och $Y$ är lokalt kompakta Hausdorff, då $(X\ gånger Y)^{*}=X^{* }\wedge Y^{*}$ där $\wedge$ är smash-produkten . Kom ihåg att definitionen av smash-produkten: $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ där $A\vee B$ är kilsumman , och återigen betecknar / kvotutrymmet.

Som funktionär

Alexandroff-förlängningen kan ses som en funktion från kategorin topologiska rum med korrekta kontinuerliga kartor som morfismer till kategorin vars objekt är kontinuerliga kartor $c\colon X\rightarrow Y$ och för vilken morfismerna från $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ till $c_{2}\colon X_{2 }\rightarrow Y_{2}$ är par av kontinuerliga kartor $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2}, \ f_{Y}\colon Y_{1}\högerpil Y_{2}$ så att $f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\ circ f_{X}$ . I synnerhet har homeomorfa utrymmen isomorfa Alexandroff-förlängningar.

Se även

• Bohr kompaktering – kompakt Hausdorff-grupp kopplad till en topologisk grupp Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Kompakt utrymme – Typ av matematiskt utrymme
• Kompaktifiering (matematik) – Inbäddning av ett topologiskt utrymme i ett kompakt utrymme som en tät delmängd
• Slut (topologi) – i topologi, de anslutna komponenterna i den "ideala gränsen" för ett utrymme Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Förlängd reell tallinje – Reella tal med +∞ och −∞ tillagda
• Normalt utrymme – topologiskt utrymme X som uppfyller Axiom T4: varannan osammanhängande slutna uppsättning av X har disjunkta öppna kvarter Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Spetsiga uppsättningar – en uppsättning utrustad med ett val av ett specifikt element Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Riemann-sfär – Modell av det utökade komplexa planet plus en punkt i oändligheten
• Stereografisk projektion – Särskild kartläggning som projicerar en sfär på ett plan
• Sten–Čech kompaktering – en universell karta från ett topologiskt utrymme X till ett kompakt Hausdorff-utrymme βX, så att vilken karta som helst från X till ett kompakt Hausdorff-utrymme faktoriseras genom βX unikt; om X är Tychonoff, är X ett tätt delutrymme av βX- sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Wallman kompaktering – En kompaktering av T ₁ topologiska utrymmen

Anteckningar

•   Alexandroff, Pavel S. ( 1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume" , Mathematische Annalen , 92 (3–4): 294–301, doi : 10.1007 /BF01448011 , JFM 50.01228 .  
•   Brown, Ronald (1973), "Sequentially proper maps and a sequential compactification", Journal of the London Mathematical Society , Series 2, 7 (3): 515–522, doi : 10.1112/jlms/s2-7.3.515 , Zbl 0269.54015

•    Engelking, Ryszard (1989), General Topology , Helderman Verlag Berlin, ISBN 978-0-201-08707-9 , MR 1039321
• Fedorchuk, VV (2001) [1994], "Aleksandrov kompaktering" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Kelley, John L. (1975), General Topology , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1 , MR 0370454
•    Munkres, James (1999), Topology (2:a upplagan), Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2 , Zbl 0951.54001
•     Willard, Stephen (1970), General Topology , Addison-Wesley , ISBN 3-88538-006-4 , MR 0264581 , Zbl 0205.26601