Sekventiellt kompakt utrymme

I matematik är ett topologiskt utrymme X sekventiellt kompakt om varje sekvens av punkter i X har en konvergent följd som konvergerar till en punkt i $X$ .

Varje metriskt utrymme är naturligtvis ett topologiskt utrymme, och för metriska utrymmen är begreppen kompakthet och sekventiell kompakthet likvärdiga (om man antar ett räknebart val ). Det finns emellertid sekventiellt kompakta topologiska utrymmen som inte är kompakta, och kompakta topologiska utrymmen som inte är sekventiellt kompakta.

Exempel och egenskaper

Utrymmet för alla reella tal med standardtopologin är inte sekventiellt kompakt; sekvensen $(s_{n})$ som ges av $s_{n}=n$ för alla naturliga tal $n$ är en sekvens som inte har någon konvergent underföljd .

Om ett utrymme är ett metriskt utrymme , är det sekventiellt kompakt om och endast om det är kompakt . Den första oräkneliga ordinalen med ordningstopologin är ett exempel på ett sekventiellt kompakt topologiskt utrymme som inte är kompakt. Produkten av $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ kopior av det slutna enhetsintervallet är ett exempel på ett kompakt utrymme som inte är sekventiellt kompakt.

Besläktade föreställningar

Ett topologiskt utrymme $X$ sägs vara gränspunktskompakt om varje oändlig delmängd av $X$ har en gränspunkt i $X$ , och räkneligt kompakt om varje räknebart öppet lock har en ändlig underomslag. I ett metriskt utrymme är begreppen sekventiell kompakthet, gränspunktskompakthet, räknebar kompakthet och kompakthet alla likvärdiga (om man antar valets axiom ).

I ett sekventiellt (Hausdorff) utrymme är sekventiell kompakthet likvärdig med räknebar kompakthet.

Det finns också en föreställning om en enpunkts sekventiell komprimering - tanken är att de icke-konvergerande sekvenserna alla ska konvergera till den extra punkten.

Se även

• Bolzano–Weierstrass teorem – Avgränsad sekvens i ändligt dimensionellt euklidiskt rum har en konvergent undersekvens
• Fréchet–Urysohn utrymme
• Sekvens som täcker kartor
• Sekventiellt utrymme – Topologiskt utrymme kännetecknat av sekvenser

Anteckningar

•   Munkres, James (1999). Topologi (2:a uppl.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2 .
•   Steen, Lynn A. och Seebach, J. Arthur Jr .; Motexempel i Topology , Holt, Rinehart och Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
•   Willard, Stephen (2004). Allmän topologi . Dover Publikationer. ISBN 0-486-43479-6 .