Ordlista för topologi

Detta är en ordlista över några termer som används inom den gren av matematik som kallas topologi . Även om det inte finns någon absolut skillnad mellan olika områden av topologi, ligger fokus här på allmän topologi . Följande definitioner är också grundläggande för algebraisk topologi , differentialtopologi och geometrisk topologi .

Alla utrymmen i denna ordlista antas vara topologiska utrymmen om inte annat anges.

A

Helt stängd: Se H-stängd

Tillgänglig: Se $T_{1}$ .

Ackumuleringspunkt: Se gränspunkt .

Alexandrov-topologi: Topologin för ett rymd X är en Alexandrov-topologi (eller genereras ändligt ) om godtyckliga skärningar av öppna mängder i X är öppna, eller på motsvarande sätt, om godtyckliga föreningar av slutna mängder är slutna, eller, återigen ekvivalent, om de öppna mängderna är de övre uppsättningarna av en poset .

Nästan diskret: Ett mellanslag är nästan diskret om varje öppen uppsättning är stängd (därav clopen). De nästan diskreta utrymmena är just de ändligt genererade nolldimensionella utrymmena.

α-sluten, α-öppen: En delmängd A av ett topologiskt utrymme X är α-öppen om ${\displaystyle A\subseteq \operatornamn {Int} _{X }\left(\operatörsnamn {Cl} _{X}\left(\operatörsnamn {Int} _{X}A\right)\right)} , och komplementet$ till en sådan uppsättning är α-sluten.

Inflygningsrymd: Ett inflygningsrum är en generalisering av metriskt utrymme baserat på punkt-till-uppsättning avstånd, istället för punkt-till-punkt.

B

Baire utrymme

Detta har två distinkta gemensamma betydelser:

Ett mellanslag är ett Baire-utrymme om skärningspunkten mellan en räknebar samling av täta öppna uppsättningar är tät; se Baire space .
Baire-rymden är mängden av alla funktioner från de naturliga talen till de naturliga talen, med topologin för punktvis konvergens; se Baire space (mängdlära) .

Bas: En samling B av öppna mängder är en bas (eller bas ) för en topologi $\tau$ om varje öppen mängd i $\tau$ är en union av mängder i $B$ . Topologin $\tau$ är den minsta topologin på $X$ som innehåller $B$ och sägs genereras av $B$ .

Grund: Se Bas .

β-öppen: Se Semi-preopen .

b-öppen, b-stängd: En delmängd $A$ av ett topologiskt utrymme $X$ är b-öppen om $A\subseteq \operatörsnamn {Int} _{X}\left(\operatörsnamn {Cl} _{X}A\right)\cup \operatörsnamn {Cl} _{X}\left(\operatörsnamn {Int. } _{X}A\höger)$ . Komplementet av en b-öppen uppsättning är b-stängd.

Borel algebra: Borel algebra på ett topologiskt utrymme $(X,\tau )$ är den minsta $\sigma$ -algebra som innehåller alla öppna mängder. Den erhålls genom att ta skärningspunkten mellan alla $\sigma$ -algebror på $X$ som innehåller $\tau$ .

Borel-mängd: En Borel-mängd är ett element i en Borel-algebra.

Gräns: Gränsen (eller gränsen ) för en uppsättning är uppsättningens stängning minus dess inre . På motsvarande sätt är gränsen för en mängd skärningspunkten mellan dess stängning och stängningen av dess komplement. Gräns för en mängd $A$ betecknas med $\partial A$ eller $bd$ $A$ .

Begränsad: En mängd i ett metriskt utrymme är avgränsad om den har ändlig diameter. På motsvarande sätt är en mängd avgränsad om den finns i någon öppen boll med ändlig radie. En funktion som tar värden i ett metriskt utrymme är avgränsad om dess bild är en avgränsad uppsättning.

C

Kategori Kategorien Top har topologiska rum som objekt och kontinuerliga kartor som morfismer .
av topologiska rum

Cauchy-sekvens: En sekvens { x _n } i ett metriskt utrymme ( M , d ) är en Cauchy-sekvens om det för varje positivt reellt tal r finns ett heltal N så att för alla heltal m , n > N , har vi d ( x _m , x _n ) < r .

Clopen set: En mängd är clopen om den är både öppen och stängd.

Sluten boll: Om ( M , d ) är ett metriskt mellanrum , är en sluten kula en mängd av formen D ( x ; r ):= { y i M : d ( x , y )≤r } , där x är i M och r är ett positivt reellt tal , bollens radie . En sluten kula med radien r är en sluten r -kula . Varje sluten kula är en sluten uppsättning i topologin inducerad på M av d . Observera att den stängda kulan D ( x ; r ) kanske inte är lika med stängningen av den öppna kulan B ( x ; r ).

Sluten mängd: En mängd är sluten om dess komplement är en medlem av topologin.

Stängd funktion: En funktion från ett utrymme till ett annat stängs om bilden av varje sluten uppsättning är stängd.

Stängning: Stängningen av en uppsättning är den minsta slutna uppsättningen som innehåller originaluppsättningen . Den är lika med skärningspunkten mellan alla slutna uppsättningar som innehåller den. Ett element i stängningen av en mängd S är en stängningspunkt för S .

Stängningsoperatör: Se Kuratowskis stängningsaxiom .

Grovare topologi: Om X är en mängd, och om T ₁ och T ₂ är topologier på X , så är T ₁ grövre (eller mindre , svagare ) än T ₂ om T ₁ ingår i T ₂ . Se upp, vissa författare, särskilt analytiker , använder termen starkare .

Comeagre: En delmängd A av ett mellanslag X är comeagre ( comeager ) om dess komplement X \ A är magert . Kallas även resterande .

Kompakt: Ett utrymme är kompakt om varje öppet lock har ett ändligt underlock. Varje kompakt utrymme är Lindelöf och paracompact. Därför är varje kompakt Hausdorff-utrymme normalt. Se även kvasikompakt .

Compact-open topologi: Den kompakta öppna topologin på mängden C ( X , Y ) för alla kontinuerliga kartor mellan två utrymmen X och Y definieras enligt följande: givet en kompakt delmängd K av X och en öppen delmängd U av Y , låt V ( K , U ) anger mängden av alla kartor f i C ( X , Y ) så att f ( K ) ingår i U. Då är samlingen av alla sådana V ( K , U ) en subbas för den kompakta öppna topologin.

Komplett: Ett metriskt mellanslag är komplett om varje Cauchy-sekvens konvergerar.

Helt mätbar/helt mätbar: Se komplett utrymme .

Helt normalt: Ett mellanslag är helt normalt om två separata uppsättningar har osammanhängande grannskap.

Helt normalt Hausdorff: Ett helt normalt Hausdorff-utrymme (eller T _5- mellanslag ) är ett helt normalt T ₁ -utrymme. (Ett helt normalt utrymme är Hausdorff om och bara om det är T ₁ , så terminologin är konsekvent .) Varje helt normalt Hausdorff-utrymme är normalt Hausdorff.

Helt regelbundet: Ett mellanslag är helt regelbundet om, när C är en sluten mängd och x är en punkt som inte är i C , då är C och { x } funktionellt åtskilda.

Helt T ₃: Se Tychonoff .

Komponent: Se Ansluten komponent / Vägansluten komponent .

Anslutet: Ett utrymme är anslutet om det inte är föreningen av ett par disjunkta icke-tomma öppna uppsättningar. På motsvarande sätt är ett mellanslag kopplat om de enda clopen-mängderna är hela utrymmet och den tomma uppsättningen.

Ansluten komponent: En ansluten komponent i ett utrymme är ett maximalt icke-tomt anslutet underutrymme. Varje ansluten komponent är stängd, och uppsättningen av anslutna komponenter i ett utrymme är en partition av det utrymmet.

Kontinuerlig: En funktion från ett utrymme till ett annat är kontinuerligt om förbilden för varje öppen uppsättning är öppen.

Kontinuum: Ett utrymme kallas ett kontinuum om det är ett kompakt, sammanhängande Hausdorff-utrymme.

Sammandragbar: Ett mellanslag X är sammandragbart om identitetskartan på X är homotopisk till en konstantkarta. Varje sammandragbart utrymme är helt enkelt sammankopplat.

Samprodukttopologi: Om { X _i } är en samling av rum och X är den (mängd-teoretiska) disjunkta föreningen av { X _{i }, så} är samprodukttopologin (eller disjunkt unionstopologi , topologisk summa av X _i ) på X finaste topologi för vilken alla injektionskartor är kontinuerliga.

Cosmic space: En kontinuerlig bild av något separerbart metriskt utrymme .

Räknebart kedjetillstånd: Ett mellanslag X uppfyller det räknebara kedjevillkoret om varje familj av icke-tomma, parvis osammanhängande öppna uppsättningar kan räknas.

Räkneligt kompakt: Ett utrymme är räkneligt kompakt om varje räknebart öppet lock har ett ändligt underlock. Varje räkneligt kompakt utrymme är pseudokompakt och svagt räknebart kompakt.

Räkneligt lokalt ändligt: En samling av delmängder av ett rum X är räknebart lokalt ändligt (eller σ-lokalt ändligt ) om det är unionen av en räknebar samling av lokalt ändliga samlingar av delmängder av X .

Omslag: En samling av delmängder av ett utrymme är en täckning (eller täckning ) av det utrymmet om föreningen av samlingen är hela utrymmet.

Täckning: Se omslag .

Cut point: Om X är ett anslutet rum med mer än en punkt, så är en punkt x i X en cut point om delrummet X − { x } är frånkopplat.

D

δ-klusterpunkt, δ-stängd, δ-öppen: En punkt x i ett topologiskt utrymme X är en δ-klusterpunkt i en delmängd A om $A \cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatörsnamn {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$ för varje öppet område U av x i X . Delmängden A är δ-sluten om den är lika med mängden av dess δ-klusterpunkter, och δ-öppen om dess komplement är δ-sluten.

Tät mängd: En mängd är tät om den har en icke-tom skärning med varje icke-tom öppen mängd. På motsvarande sätt är en uppsättning tät om dess stängning är hela utrymmet.

Tät-i-själv- mängd: En mängd är tät-i-sig själv om den inte har någon isolerad punkt .

Densitet: ₀ den minimala kardinaliteten för en tät delmängd av ett topologiskt utrymme. En uppsättning av densitet ℵ är ett separerbart utrymme .

Härledd mängd: Om X är ett mellanslag och S är en delmängd av X , är den härledda mängden S i X mängden gränspunkter för S i X.

Utvecklingsbart utrymme: Ett topologiskt utrymme med en utveckling .

Utveckling: En räknebar samling av öppna höljen av ett topologiskt utrymme, så att det för varje sluten uppsättning C och vilken punkt p i dess komplement finns ett hölje i samlingen så att varje grannskap av p i höljet är skild från C .

Diameter: Om ( M , d ) är ett metriskt utrymme och S är en delmängd av M , är diametern på S det högsta av avstånden d ( x , y ), där x och y sträcker sig över S .

Diskret metrik: Den diskreta metriken på en mängd X är funktionen d : X × X → R så att för alla x , y i X , d ( x , x ) = 0 och d ( x , y ) = 1 om x ≠ y . Det diskreta måttet inducerar den diskreta topologin på X .

Diskret mellanslag: Ett mellanslag X är diskret om varje delmängd av X är öppen. Vi säger att X bär den diskreta topologin .

Diskret topologi: Se diskret utrymme .

Disjunkt facklig topologi: Se Coproduct topologi .

Dispersionspunkt: Om X är ett anslutet rum med mer än en punkt, så är en punkt x i X en spridningspunkt om delrummet X − { x } är ärftligt frånkopplat (dess enda anslutna komponenter är enpunktsmängderna).

Avstånd: Se metriskt utrymme .

Duncehatt (topologi)

E

Entourage: Se Uniform space .

Exteriör: Exteriören av en uppsättning är insidan av dess komplement.

F

F _σ -mängd: En F _σ- mängd är en räknebar förening av slutna mängder.

Filtrera

Se även: Filter i topologi . Ett filter på ett mellanslag X är en icke-tom familj F av delmängder av X så att följande villkor gäller:

Den tomma uppsättningen finns inte i F .
Skärningen mellan ett ändligt antal element i F är återigen i F .
Om A är i F och om B innehåller A , så är B i F.

Slutlig topologi: På en uppsättning X med avseende på en familj av funktioner i $X$ finns den finaste topologin på X som gör dessa funktioner kontinuerliga .

Fin topologi (potentialteori): På det euklidiska rymden $\mathbb {R} ^{n}$ , den grövre topologin som gör alla subharmoniska funktioner (motsvarande alla överharmoniska funktioner) kontinuerliga.

Finare topologi: Om X är en mängd, och om T ₁ och T ₂ är topologier på X , så är T ₂ finare (eller större , starkare ) än T ₁ om T ₂ innehåller T ₁ . Se upp, vissa författare, särskilt analytiker , använder termen svagare .

Ändligt genererad: Se Alexandrov-topologi .

Första kategorin: Se Mager .

Första-räknebara: Ett mellanslag är första-räknebart om varje punkt har en räknebar lokal bas.

Fréchet: Se T ₁ .

Gräns: Se Gräns .

Full mängd: En kompakt delmängd K av det komplexa planet kallas full om dess komplement är anslutet. Till exempel är den slutna enhetsskivan full, medan enhetscirkeln inte är det.

Funktionellt separerade: Två uppsättningar A och B i ett utrymme X är funktionellt separerade om det finns en kontinuerlig avbildning f : X → [0, 1] så att f ( A ) = 0 och f ( B ) = 1.

G

G _δ -mängd: A G _{δ -} mängd eller inre begränsningsmängd är en räknebar skärningspunkt av öppna mängder.

G _δ space: Ett utrymme där varje sluten mängd är en G _δ -mängd.

Generisk punkt: En generisk punkt för en sluten uppsättning är en punkt för vilken den slutna uppsättningen är stängningen av singeluppsättningen som innehåller den punkten.

H

Hausdorff: Ett Hausdorff-utrymme (eller T ₂ -utrymme ) är ett där varannan distinkta punkt har osammanhängande grannskap. Varje Hausdorff-utrymme är T ₁ .
H-stängt: Ett utrymme är H-stängt, eller Hausdorff stängt eller absolut stängt , om det är stängt i varje Hausdorff-utrymme som innehåller det.
Ärftligt P: Ett mellanrum är ärftligt P för någon egenskap P om varje delrum också är P .
Ärftlig: En egenskap hos utrymmen sägs vara ärftlig om närhelst ett utrymme har den egenskapen, så gör varje delrum av det det. Till exempel är andraräknebarhet en ärftlig egenskap.
Homeomorfism: Om X och Y är rum, är en homeomorfism från X till Y en bijektiv funktion f : X → Y så att f och f ⁻¹ är kontinuerliga. Mellanrummen X och Y sägs då vara homeomorfa . Ur topologins synvinkel är homeomorfa utrymmen identiska.
Homogent: Ett mellanslag X är homogent om det för varje x och y i X finns en homeomorfism f : X → X så att f ( x ) = y . Intuitivt ser utrymmet likadant ut på varje punkt. Varje topologisk grupp är homogen.
Homotopiska kartor: Två kontinuerliga kartor f , g : X → Y är homotopiska (i Y ) om det finns en kontinuerlig avbildning H : X × [0, 1] → Y så att H ( x , 0) = f ( x ) och H ( x , 1) = g ( x ) för alla x i X . Här X × [0, 1] produkttopologin. Funktionen H kallas en homotopi (i Y ) mellan f och g .
Homotopi: Se Homotopiska kartor .
Hyperanslutet: Ett utrymme är hyperanslutet om inga två icke-tomma öppna uppsättningar är disjunkta. Varje hyperanslutet utrymme är anslutet.

jag

Identifikationskarta: Se Quotientkarta .
Identifieringsutrymme: Se Quotient space .
Indiskret utrymme: Se Trivial topologi .
Oändlig-dimensionell topologi: Se Hilbert manifold och Q-manifolds , dvs (generaliserade) manifolds modellerade på Hilbert space respektive på Hilbert kuben.
Inre begränsningsuppsättning: A G _δ uppsättning.
Interiör: Interiören i en uppsättning är den största öppna uppsättningen som finns i originaluppsättningen. Det är lika med föreningen av alla öppna uppsättningar som finns i den. Ett element av det inre av en mängd S är en inre punkt av S .
Invändig punkt: Se Interiör .
Isolerad punkt: En punkt x är en isolerad punkt om singeln { x } är öppen. Mer generellt, om S är en delmängd av ett rymd X och om x är en punkt av S , så är x en isolerad punkt av S om { x } är öppen i delrumstopologin på S .
Isometrisk isomorfism: Om M ₁ och M _{2 är metriska utrymmen,} är en isometrisk isomorfism från M ₁ till M _{2 en} bijektiv isometri f : M ₁ → M ₂ . De metriska utrymmena sägs då vara isometriskt isomorfa . Ur metrisk rymdteoris synvinkel är isometriskt isomorfa utrymmen identiska.
Isometri: Om ( M ₁ , d ₁ ) och ( M ₂ , d ₂ ) är metriska utrymmen, är en isometri från M ₁ till M ₂ en funktion f : M ₁ → M ₂ så att d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) för alla x , y i M ₁ . Varje isometri är injektiv , även om inte varje isometri är surjektiv .

K

Kolmogorovs axiom: Se T ₀ .

Kuratowskis stängningsaxiom

Kuratowskis stängningsaxiom är en uppsättning axiom som uppfylls av funktionen som tar varje delmängd av X till dess stängning:

Isotonitet : Varje set finns i dess förslutning.
Idempotens : Stängningen av stängningen av en uppsättning är lika med stängningen av den uppsättningen.
Bevarande av binära fackföreningar : Stängningen av föreningen av två uppsättningar är föreningen av deras stängningar.
Bevarande av nullära fackföreningar : Stängningen av den tomma uppsättningen är tom.

Om c är en funktion från potensmängden X till sig själv, så är c en stängningsoperator om den uppfyller Kuratowskis stängningsaxiom. Kuratowskis stängningsaxiom kan sedan användas för att definiera en topologi på X genom att deklarera de slutna mängderna som fixpunkterna för denna operator, dvs en mängd A är sluten om och endast om c ( A ) = A .

Kolmogorov-topologi: T _Kol = {R, $\varnothing$ }∪{(a,∞): a är ett reellt tal}; paret (R,T _Kol ) heter Kolmogorov Straight .

L

L-rum: Ett L-rum är ett ärftligt Lindelöf-rum som inte är ärftligt separerbart . En Suslin-linje skulle vara ett L-utrymme.

Större topologi: Se Finare topologi .

Gränspunkt: En punkt x i ett mellanslag X är en gränspunkt för en delmängd S om varje öppen mängd som innehåller x också innehåller en punkt av S annan än x själv. Detta motsvarar att kräva att varje grannskap av x innehåller en punkt av S annan än x själv.

Gränspunkt kompakt: Se Svagt räknat kompakt .

Lindelöf: Ett mellanslag är Lindelöf om varje öppet omslag har ett räknebart undertäcke.

Lokal bas: En uppsättning B av grannskap av en punkt x i ett utrymme X är en lokal bas (eller lokal bas , grannskapsbas , grannskapsbas ) vid x om varje grannskap av x innehåller någon medlem av B.

Lokal bas: Se Lokal bas .

Lokalt (P) utrymme: Det finns två definitioner för att ett utrymme ska vara "lokalt (P)" där (P) är en topologisk eller mängdteoretisk egenskap: att varje punkt har en grannskap med egenskap (P), eller att varje punkt har en grannbas för vilken varje medlem har egendom (P). Den första definitionen tas vanligtvis för lokalt kompakt, countably compact, metrizable, separable, countable; den andra för lokalt ansluten.

Lokalt sluten delmängd: En delmängd av ett topologiskt utrymme som är skärningspunkten mellan en öppen och en sluten delmängd. På motsvarande sätt är det en relativt öppen delmängd av dess stängning.

Lokalt kompakt: Ett utrymme är lokalt kompakt om varje punkt har ett kompakt grannskap: den alternativa definitionen att varje punkt har en lokal bas som består av kompakta stadsdelar används ibland: dessa är likvärdiga för Hausdorff-utrymmen. Varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är Tychonoff.

Lokalt anslutet: Ett utrymme är lokalt anslutet om varje punkt har en lokal bas som består av anslutna kvarter.

Lokalt tät: se Preopen .

Lokalt ändlig: En samling av delmängder av ett rum är lokalt ändlig om varje punkt har en grannskap som har en icke-tom skärningspunkt med endast ändligt många av delmängderna. Se även räknat lokalt ändlig , punkt ändlig .

Lokalt mätbar / Lokalt mätbar: Ett utrymme är lokalt mätbar om varje punkt har ett mätbart område.

Lokalt stiganslutet: Ett utrymme är lokalt stiganslutet om varje punkt har en lokal bas bestående av stiganslutna kvarter. Ett lokalt sökvägsanslutet utrymme är anslutet om och endast om det är sökvägsanslutet.

Lokalt enkelt anslutet: Ett utrymme är lokalt enkelt anslutet om varje punkt har en lokal bas som består av enkelt anslutna grannskap.

Slinga: Om x är en punkt i ett mellanslag X , är en slinga vid x i X (eller en slinga i X med baspunkt x ) en bana f i X , så att f (0) = f (1) = x . På motsvarande sätt är en slinga i X en kontinuerlig karta från enhetscirkeln S ¹ till X .

M

Mager: Om X är ett mellanslag och A är en delmängd av X , då är A mager i X (eller av första kategorin i X ) om det är den räknebara föreningen av ingenstans täta mängder. Om A inte är magert i X är A av andra kategorin i X .

Metakompakt: Ett mellanslag är metakompakt om varje öppet lock har en punktfinit öppen förfining.

Metriskt: Se Metriskt utrymme .

Metrisk invariant: En metrisk invariant är en egenskap som bevaras under isometrisk isomorfism.

Metrisk karta: Om X och Y är metriska utrymmen med måtten d _{X respektive} d _{Y , så} är en metrisk karta en funktion f från X till Y , så att för alla punkter x och y i X , d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ). En metrisk karta är strikt metrisk om ovanstående olikhet är strikt för alla x och y i X .

Metriskt utrymme

Ett metriskt utrymme ( M , d ) är en mängd M utrustad med en funktion d : M × M → R som uppfyller följande axiom för alla x , y och z i M :

d ( x , y ) ≥ 0
d ( x , x ) = 0
om d ( x , y ) = 0 så är x = y ( identitet av oskiljbara )
d ( x , y ) = d ( y , x ) ( symmetri )
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( triangelolikhet )

Funktionen d är ett mått på M , och d ( x , y ) är avståndet mellan x och y . Samlingen av alla öppna bollar av M är en bas för en topologi på M ; detta är topologin på M inducerad av d . Varje metriskt utrymme är Hausdorff och paracompact (och därmed normal och Tychonoff). Varje metriskt utrymme är först-räknat.

Metrizable / Metrisable: Ett utrymme är metrizbart om det är homeomorft till ett metriskt utrymme. Varje mätbart utrymme är Hausdorff och paracompact (och därmed normal och Tychonoff). Varje mätbart utrymme är först-räknat.

Monolith: Varje icke-tomt ultra-anslutet kompakt utrymme X har en största riktiga öppna delmängd; denna delmängd kallas en monolit .

Moore-utrymme: Ett Moore-utrymme är ett utvecklingsbart vanligt Hausdorff-utrymme .

N

Nästan öppen: se preopen .

Neighborhood / Neighborhood: En grannskap till en punkt x är en mängd som innehåller en öppen mängd som i sin tur innehåller punkten x . Mer generellt är en grannskap av en mängd S en mängd som innehåller en öppen mängd som i sin tur innehåller mängden S. En grannskap av en punkt x är alltså en grannskap av singelmängden { x }. (Observera att under denna definition behöver inte grannskapet i sig vara öppet. Många författare kräver att stadsdelar är öppna; var noga med att notera konventioner.)

Grannskapsbas /bas: Se Lokal bas .

Grannskapssystem för en punkt x: Ett grannskapssystem vid en punkt x i ett utrymme är samlingen av alla grannskap av x .

Nät: Ett nät i ett utrymme X är en karta från en riktad mängd A till X . Ett netto från A till X betecknas vanligtvis ( x _α ), där α är en indexvariabel som sträcker sig över A . Varje sekvens är ett nät, där A är den riktade uppsättningen av naturliga tal med den vanliga ordningen.

Normal: Ett mellanslag är normalt om två osammanhängande slutna uppsättningar har osammanhängande grannskap. Varje normalt utrymme tillåter en uppdelning av enhet .

Normal Hausdorff: Ett normalt Hausdorff- utrymme (eller T _4- mellanslag ) är ett normalt T _1- mellanslag. (Ett normalt mellanslag är Hausdorff om och endast om det är T ₁ , så terminologin är konsekvent.) Varje normalt Hausdorff-utrymme är Tychonoff.

Ingenstans tät: En ingenstans tät uppsättning är en uppsättning vars stängning har tom insida.

O

Öppet lock: Ett öppet lock är ett lock som består av öppna uppsättningar.

Öppen boll: Om ( M , d ) är ett metriskt mellanrum, är en öppen boll en mängd av formen B ( x ; r ) := { y i M : d ( x , y ) < r }, där x är i M och r är ett positivt reellt tal , bollens radie . En öppen boll med radien r är en öppen r -kula . Varje öppen boll är en öppen uppsättning i topologin på M inducerad av d .
Öppet tillstånd: Se öppen fastighet .
Öppen mängd: En öppen mängd är en medlem av topologin.
Öppen funktion: En funktion från ett utrymme till ett annat är öppen om bilden av varje öppen uppsättning är öppen.
Öppen egenskap: En egenskap hos punkter i ett topologiskt utrymme sägs vara "öppen" om de punkter som har den bildar en öppen uppsättning . Sådana förhållanden tar ofta en vanlig form, och den formen kan sägas vara ett öppet villkor ; till exempel, i metriska utrymmen , definierar man en öppen boll enligt ovan, och säger att "strikt ojämlikhet är ett öppet villkor".

P

Paracompact: Ett mellanslag är paracompact om varje öppet lock har en lokalt ändlig öppen förfining. Paracompact innebär metacompact. Paracompact Hausdorff-utrymmen är normala.

Partition av enhet: En partition av enhet av ett utrymme X är en uppsättning kontinuerliga funktioner från X till [0, 1] så att varje punkt har en grannskap där alla utom ett ändligt antal av funktionerna är identiskt noll, och summan av alla funktionerna på hela utrymmet är identiskt 1.

Bana: En väg i ett utrymme X är en kontinuerlig karta f från det slutna enhetsintervallet [ 0, 1] till X . Punkten f (0) är initialpunkten för f ; punkten f (1) är slutpunkten för f .

Bananknuten: Ett utrymme X är vägbunden om det för varannan punkt x , y i X finns en väg f från x till y , dvs en väg med initialpunkten f (0) = x och slutpunkten f ( 1) = y . Varje vägkopplat utrymme är anslutet.

Vägansluten komponent: En vägkopplad komponent i ett utrymme är ett maximalt icke-tomt väganslutet delrum. Uppsättningen av väganslutna komponenter i ett utrymme är en partition av det utrymmet, som är finare än partitionen i anslutna komponenter. Uppsättningen av väganslutna komponenter i ett utrymme X betecknas ₀ π ( X ) .

Helt normalt: ett normalt utrymme som också är ett G _δ .

π-bas: En samling B av icke-tomma öppna mängder är en π-bas för en topologi τ om varje icke-tom öppen mängd i τ inkluderar en mängd från B .

Punkt: En punkt är ett element i ett topologiskt rum. Mer generellt är en punkt ett element i vilken mängd som helst med en underliggande topologisk struktur; t.ex. är ett element i ett metriskt utrymme eller en topologisk grupp också en "punkt".

Stängningspunkt: Se Stängning .

Polskt: Ett utrymme är polskt om det är separerbart och helt mätbart, dvs om det är homeomorft till ett separerbart och komplett metriskt utrymme.

Polyadisk: Ett utrymme är polyadisk om det är den kontinuerliga bilden av kraften i en enpunktskomprimering av ett lokalt kompakt, icke-kompakt Hausdorff-utrymme.

P-punkt: En punkt i ett topologiskt utrymme är en P-punkt om dess filter av grannskap är stängt under räknebara skärningspunkter.

Förkompakt: Se Relativt kompakt .

Pre-open set: En delmängd A av ett topologiskt utrymme X är föröppet om $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatornamn {Cl} _ {X}A\höger)$ .

Prodiskret topologi: Den prodiskreta topologin på en produkt A ^G är produkttopologin när varje faktor A ges den diskreta topologin.

Produkttopologi: Om $\left(X_{i}\right)$ är en samling av mellanslag och X är den (mängd-teoretiska) kartesiska produkten av $\left(X_) {i}\right),$ så är produkttopologin på X den grövre topologin för vilken alla projektionskartor är kontinuerliga.

Korrekt funktion/mappning: En kontinuerlig funktion f från ett mellanslag X till ett mellanrum Y är korrekt om $f^{-1}(C)$ är en kompakt mängd i X för vilket som helst kompakt delrum C av Y .

Närhetsutrymme: Ett närhetsutrymme ( X , d ) är en mängd X utrustad med en binär relation d mellan delmängder av X som uppfyller följande egenskaper:

För alla delmängder A , B och C av X ,

A d B innebär B d A
A d B antyder att A inte är tom
Om A och B har en icke-tom korsning, då A d B
A d ( B $\cup$ C ) om och endast om ( A d B eller A d C )
Om vi för alla delmängder E av X har ( A d E eller B d E ), måste vi ha A d ( X − B )

Pseudokompakt: Ett mellanslag är pseudokompakt om varje reellt värderad kontinuerlig funktion på rummet är avgränsad.

Pseudometrisk: Se Pseudometriskt utrymme .

Pseudometriskt utrymme: Ett pseudometriskt utrymme ( M , d ) är en mängd M utrustad med en funktion med reellt värde $d:M\times M\to \mathbb {R} }$ displaystyle som uppfyller alla villkor för ett metriskt utrymme, utom möjligen identiteten för oskiljbara. Det vill säga, punkter i ett pseudometriskt utrymme kan vara "oändligt nära" utan att vara identiska. Funktionen d är en pseudometrisk på M . Varje mått är en pseudometrisk.

Punkterad grannskap / Punkterad grannskap: En punkterad grannskap av en punkt x är en grannskap av x , minus { x }. Till exempel intervallet (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} en grannskap av x = 0 på den reella linjen , så mängden $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$ är ett punkterat område på 0.

F

Quasicompact: Se kompakt . Vissa författare definierar "kompakt" för att inkludera Hausdorffs separationsaxiom, och de använder termen kvasikompakt för att betyda vad vi i den här ordlistan helt enkelt kallar "kompakt" (utan Hausdorffs axiom). Denna konvention finns oftast på franska, och grenar av matematiken är starkt influerade av fransmännen.

Kvotientkarta: Om X och Y är mellanrum, och om f är en översikt från X till Y , så är f en kvotkarta (eller identifikationskarta ) om U är öppen i Y för varje delmängd av Y om och endast om f ^{-1 (} U ) är öppen i X. Med andra ord har Y topologin f -stark. På motsvarande sätt $f$ en kvotkarta om och endast om det är den transfinita sammansättningen av kartor $X\rightarrow X/Z$ , där $Z\subset X$ är en delmängd. Observera att detta inte innebär att f är en öppen funktion.

Kvotientrum: Om X är ett mellanrum, Y är en mängd och f : X → Y är vilken surjektiv funktion som helst, då är Quotienttopologin på Y inducerad av f den finaste topologin för vilken f är kontinuerlig. Mellanrummet X är ett kvotutrymme eller identifikationsutrymme . Per definition f en kvotkarta. Det vanligaste exemplet på detta är att betrakta en ekvivalensrelation på X , med Y uppsättningen av ekvivalensklasser och f den naturliga projektionskartan. Denna konstruktion är dubbel till konstruktionen av subrymdtopologin.

R

Förfining: Ett lock K är en förfining av ett lock L om varje medlem av K är en delmängd av någon medlem av L .
Regelbundet: A-mellanslag är regelbundet om, när C är en sluten mängd och x är en punkt som inte är i C , då har C och x disjunkta grannskap.
Vanligt Hausdorff: ₀₀ A mellanslag är vanligt Hausdorff (eller T ₃ ) om det är ett vanligt T mellanslag. (Ett regelbundet mellanslag är Hausdorff om och endast om det är T , så terminologin är konsekvent.)
Regelbunden öppen: En delmängd av ett mellanslag X är regelbunden öppen om den är lika med det inre av dess stängning; dubbelt så är en vanlig stängd uppsättning lika med stängningen av dess inre. Ett exempel på en icke-regelbunden öppen mängd är mängden U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ i R med dess normala topologi, eftersom 1 är i det inre av stängningen av U , men inte i U . De vanliga öppna delmängderna av ett utrymme bildar en komplett boolesk algebra .
Relativt kompakt: En delmängd Y av ett utrymme X är relativt kompakt i X om stängningen av Y i X är kompakt.
Residual: Om X är ett mellanslag och A är en delmängd av X , så är A rest i X om komplementet till A är magert i X . Kallas även comeagre eller comeager .
Lösbart: Ett topologiskt utrymme kallas lösbart om det kan uttryckas som föreningen av två disjunkta täta delmängder .
Fälgkompakt: Ett utrymme är fälgkompakt om det har en bas av öppna uppsättningar vars gränser är kompakta.

S

S-rum: Ett S-rum är ett ärftligt separerbart rum som inte är ärftligt Lindelöf .

Spridd: Ett mellanslag X är spritt om varje icke-tom delmängd A av X innehåller en punkt isolerad i A .

Scott: Scott -topologin på en poset är den där de öppna uppsättningarna är de övre uppsättningarna som är oåtkomliga genom riktade sammanfogningar.

Andra kategorin: Se Mager .

Second-counterable: Ett mellanslag är andra-countable eller perfekt separerbart om det har en räknebar bas för sin topologi. Varje andraräknat utrymme är förstaräknat, separerbart och Lindelöf.

Semilokalt enkelt förbundet: Ett mellanslag X är semilokalt enkelt förbundet om det för varje punkt x i X finns en grannskap U av x så att varje slinga vid x i U är homotop i X till konstantslingan x . Varje enkelt anslutet utrymme och varje lokalt enkelt anslutet utrymme är semilokalt helt enkelt anslutet. (Jämför med lokalt enkelt ansluten; här tillåts homotopin att leva i X , medan i definitionen av lokalt enkelt ansluten måste homotopin leva i U .)

Halvöppen: En delmängd A av ett topologiskt rum X kallas semi- öppna om $A\subseteq \operatörsnamn {Cl} _{X}\left(\operatörsnamn {Int} _{X}A\right)$ .

Semi-preopen: En delmängd A av ett topologiskt utrymme X kallas semi-preopen om ${\displaystyle A\subseteq \operatornamn {Cl} _{X}\vänster (\operatörsnamn {Int} _{X}\left(\operatörsnamn {Cl} _{X}A\right)\right)} Halvregelbundet$

Ett: mellanslag är halvregelbundet om de vanliga öppna mängderna bildar en bas.

Separerbar: Ett mellanslag är separerbart om det har en räknebar tät delmängd.

Separerade: Två uppsättningar A och B är separerade om var och en är osammanhängande från den andras förslutning.

Sekventiellt kompakt: Ett mellanslag är sekventiellt kompakt om varje sekvens har en konvergent efterföljd. Varje sekventiellt kompakt utrymme är räkneligt kompakt, och varje första räknebart, räkneligt kompakt utrymme är sekventiellt kompakt.

Kort karta: Se metrisk karta

Enkelt kopplat: Ett utrymme är helt enkelt kopplat om det är väganslutet och varje slinga är homotopisk till en konstant karta.

Mindre topologi: Se Grovare topologi .

Nykter: I ett nyktert utrymme är varje irreducerbar sluten delmängd stängningen av exakt en punkt: det vill säga har en unik generisk punkt .

Stjärna: Stjärnan i en punkt i ett givet omslag av ett topologiskt utrymme är föreningen av alla uppsättningar i omslaget som innehåller punkten. Se stjärnförfining .

$f$ -Stark topologi: Låt $f\colon X\rightarrow Y$ vara en karta över topologiska rum. Vi säger att $Y$ har $f$ -stark topologi om man för varje delmängd $U\subset Y$ har att $U$ är öppen i $Y$ om och endast om $f^{-1}(U)$ är öppen i $X$

Starkare topologi: Se Finare topologi . Se upp, vissa författare, särskilt analytiker , använder termen svagare topologi .

Subbas: En samling öppna mängder är en subbas (eller subbas ) för en topologi om varje icke-tom korrekt öppen mängd i topologin är en union av finita skärningspunkter av mängder i subbasen. Om B är någon samling av delmängder av en mängd X , är topologin på X som genereras av B den minsta topologin som innehåller B ; denna topologi består av den tomma mängden, X och alla föreningar av finita skärningspunkter mellan element i B .

Subbas: Se Subbase .

Subcover: En cover K är en subcover (eller subcovering ) av en cover L om varje medlem av K är medlem av L .

Underomslag: Se Underomslag .
Submaximalt utrymme: Ett topologiskt utrymme sägs vara submaximalt om varje delmängd av det är lokalt stängt, det vill säga varje delmängd är skärningspunkten mellan en öppen uppsättning och en sluten uppsättning .

Här är några fakta om submaximalitet som en egenskap hos topologiska utrymmen:

Varje dörrutrymme är submaximalt.
Varje submaximalt utrymme är svagt submaximalt, dvs varje ändlig uppsättning är lokalt stängd.
Varje submaximalt utrymme är olösligt .

Delrum: Om T är en topologi på ett rymd X , och om A är en delmängd av X , så består delrumstopologin på A som induceras av T av alla skärningar av öppna mängder i T med A. Denna konstruktion är dubbel till konstruktionen av kvottopologin.

T

T ₀: Ett mellanslag är T ₀ (eller Kolmogorov ) om det för varje par av distinkta punkter x och y i mellanrummet antingen finns en öppen mängd som innehåller x men inte y , eller så finns det en öppen mängd som innehåller y men inte x .

T ₁: ₀₀ Ett mellanslag är T ₁ (eller Fréchet eller tillgängligt ) om det för varje par av distinkta punkter x och y i utrymmet finns en öppen uppsättning som innehåller x men inte y . (Jämför med T ; här får vi specificera vilken punkt som kommer att finnas i den öppna mängden.) På motsvarande sätt är ett mellanslag T ₁ om alla dess singeltoner är stängda. Varje T ₁ mellanslag är T .

T ₂: Se Hausdorff space .

T ₃: Se Regular Hausdorff .

T _3½: Se Tychonoff space .

T ₄: Se Normal Hausdorff .

T ₅: Se Helt normal Hausdorff .

Topp: Se kategori av topologiska utrymmen .

θ-klusterpunkt, θ-sluten, θ-öppen: En punkt x i ett topologiskt utrymme X är en θ-klusterpunkt för en delmängd A om $A\cap \operatorname { Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$ för varje öppet område U av x i X . Delmängden A är θ-sluten om den är lika med mängden av dess θ-klusterpunkter, och θ-öppen om dess komplement är θ-sluten.

Topologisk invariant: En topologisk invariant är en egenskap som bevaras under homeomorfism. Till exempel är kompakthet och sammankoppling topologiska egenskaper, medan begränsning och fullständighet inte är det. Algebraisk topologi är studiet av topologiskt invarianta abstrakta algebrakonstruktioner på topologiska rum.

Topologiskt utrymme: Ett topologiskt utrymme ( X , T ) är en mängd X utrustad med en samling T av delmängder av X som uppfyller följande axiom :

Den tomma uppsättningen och X är i T .
Föreningen av en samling av mängder i T är också i T .
Skärningspunkten för valfritt par av mängder i T är också i T .

Samlingen T är en topologi på X .

Topologisk summa: Se samprodukttopologi .

Topologiskt kompletta: Fullständigt mätbara utrymmen (dvs topologiska utrymmen som är homeomorfa till fullständiga metriska utrymmen) kallas ofta topologiskt fullständiga ; ibland används termen också för Čech-kompletta utrymmen eller helt enhetliga utrymmen .

Topologi: Se Topologiskt utrymme .

Helt begränsat: Ett metriskt utrymme M är totalt begränsat om det för varje r > 0 finns ett ändligt täcke av M av öppna kulor med radien r . Ett metriskt utrymme är kompakt om och bara om det är komplett och helt avgränsat.

Helt frånkopplad: Ett utrymme är helt frånkopplat om det inte har någon ansluten delmängd med mer än en punkt.

Trivial topologi: Den triviala topologin (eller den indiskreta topologin ) på en mängd X består av just den tomma mängden och hela rymden X .

Tychonoff: ₀₀ Ett Tychonoff utrymme (eller helt vanligt Hausdorff utrymme, helt T ₃ utrymme, T _3,5 utrymme) är ett helt vanligt T utrymme. (Ett helt vanligt mellanslag är Hausdorff om och bara om det är T , så terminologin är konsekvent.) Varje Tychonoff-mellanrum är vanligt Hausdorff.

U

Ultra-anslutet: Ett utrymme är ultra-anslutet om inga två icke-tomma slutna uppsättningar är osammanhängande. Varje ultra-anslutet utrymme är väg-anslutet.

Ultrametrisk: En metrik är en ultrametrisk om den uppfyller följande starkare version av triangelolikheten : för alla x , y , z i M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z ) ).

Uniform isomorfism: Om X och Y är enhetliga rum , är en enhetlig isomorfism från X till Y en bijektiv funktion f : X → Y så att f och f ⁻¹ är enhetligt kontinuerliga . Utrymmena sägs då vara enhetligt isomorfa och dela samma enhetliga egenskaper .

Uniformiserbart /Uniformiserbart: Ett utrymme är likformigt om det är homeomorft till ett likformigt utrymme.

Uniformt utrymme: Ett enhetligt utrymme är en mängd X utrustad med en icke-tom samling Φ av delmängder av den kartesiska produkten X × X som uppfyller följande axiom :

om U är i Φ, så innehåller U { ( x , x ) | x i X }.
om U är i Φ, då { ( y , x ) | ( x , y ) i U } är också i Φ
om U är i Φ och V är en delmängd av X × X som innehåller U , då är V i Φ
om U och V är i Φ, så är U ∩ V i Φ
om U är i Φ, så finns det V i Φ så att närhelst ( x , y ) och ( y , z ) är i V , då ( x , z ) är i U.

Elementen i Φ kallas entourages , och Φ i sig kallas en enhetlig struktur på X. Den enhetliga strukturen inducerar en topologi på X där de grundläggande grannskapen av x är mängder av formen { y : ( x , y )∈ U } för U ∈Φ.

Uniform struktur: Se Uniform space .

W

Svag topologi: Den svaga topologin på en mängd, med avseende på en samling funktioner från den mängden till topologiska rum, är den grövre topologin i mängden som gör alla funktioner kontinuerliga.
Svagare topologi: Se Grovare topologi . Se upp, vissa författare, särskilt analytiker , använder termen starkare topologi .
Svagt räkneligt kompakt: Ett utrymme är svagt räkneligt kompakt (eller limit point compact ) om varje oändlig delmängd har en gränspunkt.
Svagt ärftlig: En egenskap hos utrymmen sägs vara svagt ärftlig om närhelst ett utrymme har den egenskapen, så gör det också varje stängt underrum av det. Till exempel är kompakthet och Lindelöffastigheten båda svagt ärftliga egenskaper, även om ingen av dem är ärftliga.
Vikt: Vikten av ett mellanslag X är det minsta kardinaltalet κ så att X har basen av kardinal κ. (Observera att ett sådant kardinaltal finns, eftersom hela topologin bildar en bas, och eftersom klassen av kardinaltal är välordnad .)
Välanslutna: Se Ultraanslutna . (Vissa författare använder denna term strikt för ultraanslutna kompakta utrymmen.)

Z

Nolldimensionellt: Ett rum är nolldimensionellt om det har en bas av clopenmängder.

Se även

Naiv mängdlära , Axiomatisk mängdlära och Funktion för definitioner rörande mängder och funktioner.
Topologi för en kort historik och beskrivning av ämnesområdet
Topologiska utrymmen för grundläggande definitioner och exempel
Lista över allmänna topologiämnen
Lista över exempel i allmän topologi

Topologispecifika begrepp

Andra ordlistor

Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology . Amsterdam Boston: Elsevier/Nord-Holland. ISBN 0-444-50355-2 . OCLC 162131277 .
Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8 .
Kunen, Kenneth ; Vaughan, Jerry E., red. (1984). Handbok för mängdteoretisk topologi . Nord-Holland. ISBN 0-444-86580-2 .
Nagata, Jun-iti (1985). Modern allmän topologi . North-Holland Mathematical Library. Vol. 33 (andra reviderade upplagan). Amsterdam-New York-Oxford: Nord-Holland. ISBN 0080933793 . Zbl 0598.54001 .
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .
Vickers, Steven (1989). Topologi via logik . Cambridge Tracts in Theoretic Computer Science. Vol. 5. ISBN 0-521-36062-5 . Zbl 0668.54001 .
Willard, Stephen (1970). Allmän topologi . Addison-Wesley-serien i matematik. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9 . Zbl 0205.26601 . Finns även som Dover-reprint.

externa länkar

En ordlista med definitioner i topologi

Topologi
Fält	Allmänt (poängsats) Algebraisk Kombinatoriskt Kontinuum Differentiell Geometrisk lågdimensionell Homologi kohomologi Mängdteoretisk Digital
Nyckelbegrepp	Öppet set / stängt set Interiör Kontinuitet Plats kompakt Ansluten Hausdorff metrisk enhetlig Homotopi homotopigrupp grundläggande grupp Enkelt komplex CW-komplex Polyedriskt komplex Grenrör Bunt (matematik) Andra räknat utrymme Kobordism
Mätvärden och egenskaper	Euler-karaktär Betti nummer Lindningsnummer Chern nummer Orienterbarhet
Nyckelresultat	Banach fixpunktssats De Rhams teorem Invarians av domän Poincaré gissningar Tychonoffs teorem Urysohns lemma
Kategori Matematikportal Wikibok Wikiversity Ämnen allmän algebraisk geometrisk Publikationer