Subharmonisk funktion

Inom matematiken är subharmoniska och överharmoniska funktioner viktiga klasser av funktioner som används flitigt i partiella differentialekvationer, komplex analys och potentialteori .

Intuitivt är subharmoniska funktioner relaterade till konvexa funktioner hos en variabel enligt följande. Om grafen för en konvex funktion och en linje skär varandra i två punkter, ligger grafen för den konvexa funktionen under linjen mellan dessa punkter. På samma sätt, om värdena för en subharmonisk funktion inte är större än värdena för en övertonsfunktion på gränsen till en boll , då är värdena för den undertoniska funktionen inte större än värdena för den övertonande funktionen även inuti bollen .

Överharmoniska funktioner kan definieras av samma beskrivning, bara ersätta "ingen större" med "ingen mindre". Alternativt är en överharmonisk funktion bara det negativa av en subharmonisk funktion, och av denna anledning kan alla egenskaper hos subharmoniska funktioner enkelt överföras till överharmoniska funktioner.

Formell definition

Formellt kan definitionen anges enligt följande. Låt $G$ vara en delmängd av det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}$ och låt

$$\varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$$

vara en övre halvkontinuerlig funktion . Sedan kallas $\varphi$ subharmonisk om för någon sluten boll ${\overline {B(x,r)}}$ av mitten $x$ och radien $r$ som ingår i $G$ och varje reellt värderad kontinuerlig funktion $h$ på ${\overline {B(x,r)}}$ som är harmonisk i $B(x,r)$ och uppfyller $\varphi (y)\leq h(y)$ för alla $y$ på gränsen $\partial B(x,r)$ av $B(x,r)$ , vi har $\varphi (y)\leq h(y)$ för alla $y\in B(x,r).$

Observera att enligt ovan är funktionen som är identiskt −∞ subharmonisk, men vissa författare utesluter denna funktion per definition.

En funktion $u$ kallas överharmonisk om $-u$ är subharmonisk.

Egenskaper

• En funktion är harmonisk om och bara om den är både subharmonisk och överharmonisk.
• Om $\phi$ är C ² ( två gånger kontinuerligt differentierbar ) på en öppen mängd $G$ i $\mathbb {R} ^{n}$ , då $\phi$ är subharmonisk om och endast om man har $\Delta \phi \geq 0$ på $G$ , där $\Delta$ är laplacian .
• Maximum av en subharmonisk funktion kan inte uppnås i det inre av dess domän om inte funktionen är konstant, detta är den så kallade maximala principen . Emellertid minimum av en subharmonisk funktion uppnås i det inre av dess domän.
• Subharmoniska funktioner gör en konvex kon , det vill säga en linjär kombination av subharmoniska funktioner med positiva koefficienter är också subharmonisk.
• Det punktvisa maximum av två subharmoniska funktioner är subharmoniska. Om det punktvisa maximumet för ett räknebart antal subharmoniska funktioner är övre halvkontinuerliga, så är det också subharmoniskt.
• Gränsen för en minskande sekvens av subharmoniska funktioner är subharmonisk (eller identiskt lika med ${\displaystyle -\infty } )$ .
• Subharmoniska funktioner är inte nödvändigtvis kontinuerliga i den vanliga topologin, men man kan introducera den fina topologin som gör dem kontinuerliga.

Exempel

Om $displaystyle f}$$\log |f|$ är analytisk logga är subharmonisk. Fler exempel kan konstrueras genom att använda egenskaperna som anges ovan, genom att ta maxima, konvexa kombinationer och gränser. I dimension 1 kan alla subharmoniska funktioner erhållas på detta sätt.

Riesz representationsteorem

Om $u$ är subharmonisk i en region $D$ , i det euklidiska rummet med dimensionen $n$ , är $v$ harmonisk i $D$ , och $u\leq v$ , då kallas ${\displaystyle v} en harmonisk majorant av$$u$ . Om det finns en harmonisk majorant, så finns det den minst harmoniska majoranten, och

$$u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|xy|^{n-2}}}, \quad n\geq 3$$

i dimension 2,

$$u(x)=v(x)+\int _{D}\log |xy|d\mu (y),$$

där $v$ är den minst harmoniska majoranten, och $\mu$ är ett Borelmått i $D$ . Detta kallas Riesz representationssats.

Subharmoniska funktioner i det komplexa planet

Subharmoniska funktioner är av särskild betydelse i komplex analys , där de är intimt kopplade till holomorfa funktioner .

Man kan visa att en reellt värderad, kontinuerlig funktion $\varphi$ av en komplex variabel (det vill säga av två reella variabler) definierad på en mängd $G\subset \mathbb {C}$ är subharmonisk om och endast om för någon stängd skiva $D(z,r)\subset G$ av centrum $z$ och radie $r$ man har

$$\varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d \theta .$$

Intuitivt betyder detta att en subharmonisk funktion vid någon punkt inte är större än medelvärdet av värdena i en cirkel runt den punkten, ett faktum som kan användas för att härleda maximiprincipen .

Om $f$ är en holomorf funktion, då

$$\varphi (z)=\log \left|f(z)\right|$$

är en subharmonisk funktion om vi definierar värdet av $\varphi (z)$ vid nollorna till $f$ till −∞. Det följer att

$$\psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }$$

är subharmonisk för varje α > 0. Denna observation spelar en roll i teorin om Hardy spaces , speciellt för studiet av H ^p när 0 < p < 1.

I sammanhanget med det komplexa planet kan kopplingen till de konvexa funktionerna också realiseras genom att en subharmonisk funktion $f$ på en domän $G\subset \mathbb {C}$ som är konstant i den imaginära riktningen är konvex i den verkliga riktningen och vice versa.

Harmoniska majoranter av subharmoniska funktioner

Om $u$ är subharmonisk i en region $\Omega$ i det komplexa planet, och $h$ är harmonisk på $\Omega$ , då är $h$ en harmonisk majorant av $u$ i $\Omega$ om $u\leq h$ i $\Omega$ . En sådan ojämlikhet kan ses som ett tillväxtvillkor på $u$ .

Subharmoniska funktioner i enhetsskivan. Radiell maximal funktion

Låt φ vara subharmonisk, kontinuerlig och icke-negativ i en öppen delmängd Ω av det komplexa planet som innehåller den slutna enhetsskivan D (0, 1). Den radiella maximala funktionen för funktionen φ (begränsad till enhetsskivan) definieras på enhetscirkeln av

$$(M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).$$

Om P _r betecknar Poisson-kärnan , följer det av subharmoniciteten att

$$0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{ it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.$$

Det kan visas att den sista integralen är mindre än värdet vid e ^iθ för Hardy–Littlewoods maximala funktion φ ^∗ för begränsningen av φ till enhetscirkeln T ,

$$\varphi ^{*}(e^{i\theta }) =\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e ^{it}\right)\,dt,$$

  så att 0 ≤ M φ ≤ φ ^∗ . Det är känt att Hardy–Littlewood-operatorn är begränsad till L ^p ( T ) när 1 < p < ∞. Det följer att för någon universell konstant C ,

$$\|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi } \varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .$$

Om f är en holomorf funktion i Ω och 0 < p < ∞, så gäller den föregående olikheten för φ = | f | ^{p /2} . Av dessa fakta kan man sluta sig till att vilken funktion F som helst i det klassiska Hardy-utrymmet H ^p uppfyller

$$\int _{0}^{2\pi}\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta})\right|\right)^{ p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .$$

  Med mer arbete kan det visas att F har radiella gränser F ( e ^iθ ) nästan överallt på enhetscirkeln, och (genom den dominerade konvergenssatsen ) att F _r , definierad av F _r ( e ^iθ ) = F ( r e ^iθ ) tenderar till F i Lp ( T ) ^.

Subharmoniska funktioner på Riemannska grenrör

Subharmoniska funktioner kan definieras på ett godtyckligt Riemann-grenrör .

Definition: Låt M vara ett Riemannskt grenrör och $f:\;M\to \mathbb {R}$ en övre halvkontinuerlig funktion. Antag att för varje öppen delmängd ${\displaystyle U\subset M} ,$ och vilken harmonisk funktion f _{1 som helst} på U , så att $f_{1}\geq f$ på gränsen för U , olikheten $f_{1}\geq f$ gäller för alla U . Då kallas f subharmonisk .

Denna definition är likvärdig med den som ges ovan. Dessutom, för två gånger differentierbara funktioner, är subharmonicitet ekvivalent med olikheten ${\displaystyle \Delta f\geq 0} ,$ där $\Delta$ är den vanliga Laplacian .

Se även

• Plurisubharmonisk funktion — generalisering till flera komplexa variabler
• Klassisk fin topologi

Anteckningar

•   Conway, John B. (1978). Funktioner för en komplex variabel . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3 .
•   Krantz, Steven G. (1992). Funktionsteori för flera komplexa variabler . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3 .
•   Doob, Joseph Leo (1984). Klassisk potentialteori och dess probabilistiska motsvarighet . Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9 .
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Ämnen i Hardy-klasser och univalenta funktioner . Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhauser Verlag.

Den här artikeln innehåller material från subharmoniska och överharmoniska funktioner på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .