S och L mellanslag
Inom matematiken är S-rum ett regelbundet topologiskt rum som är ärftligt separerbart men inte är ett Lindelöf-rum . L-rum är ett vanligt topologiskt rum som är ärftligt Lindelöf men inte separerbart. Ett mellanrum är separerbart om det har en räknebar tät mängd och ärftligt separerbart om varje delrum är separerbart.
Man har länge trott att S-rumsproblem och L-rumsproblem är dubbla, dvs om det finns ett S-rum i någon modell av mängdteori så finns det ett L-rum i samma modell och vice versa – vilket inte är sant.
Det visades i början av 1980-talet att existensen av S-utrymme är oberoende av de vanliga axiomen för ZFC . Detta betyder att för att bevisa existensen av ett S-utrymme eller för att bevisa icke-existensen av S-utrymme, måste vi anta axiom utöver de för ZFC . L-space-problemet (om ett L-utrymme kan existera utan att anta ytterligare set-teoretiska antaganden utöver de för ZFC ) löstes inte förrän nyligen.
Todorcevic bevisade att under PFA finns det inga S-mellanslag. Detta betyder att varje vanligt ärftligt separerbart utrymme är Lindelöf . Under en tid trodde man att L-rymdproblemet skulle ha en liknande lösning (att dess existens skulle vara oberoende av ZFC ). Todorcevic visade att det finns en modell för mängdteori med Martins axiom där det finns ett L-rum men det inte finns några S-rum. Vidare Todorcevic ett kompakt S-utrymme från en Cohen-real.
År 2005 löste Moore L-rymdsproblemet genom att konstruera ett L-utrymme utan att anta ytterligare axiom och genom att kombinera Todorcevics rho-funktioner med talteori .
Källor
- KP Hart, Juniti Nagata, JE Vaughan: Encyclopedia of General Topology , Elsevier, 2003 ISBN 0080530869 , ISBN 9780080530864
- Stevo Todorcevic: "Partition problems in topology" (kapitel 2, 5, 6 och 9), Contemporary Mathematics , 1989: Volym 84 ISBN 978-0-8218-5091-6 , ISBN 978-0-8218-7672-5
- Justin Tatch Moore: "A Solution to the L Space Problem", Journal of the American Mathematical Society , volym 19, sidorna 717–736, 2006