Tät i sig

I allmän topologi sägs en delmängd $A$ av ett topologiskt utrymme vara tätt i sig eller trångt om $A$ inte har någon isolerad punkt . På motsvarande sätt $A$ tät i sig om varje punkt i $A$ är en gränspunkt för $A$ . Således $A$ tät i sig själv om och endast om $A\subseteq A'$ , där $A'$ är den härledda mängden av $A$ .

En tät i sig sluten uppsättning kallas en perfekt uppsättning . (Med andra ord, en perfekt uppsättning är en sluten uppsättning utan isolerad punkt.)

Begreppet tät mängd är inte relaterat till tät-i-sig själv . Detta kan ibland vara förvirrande, eftersom "X är tätt i X" (alltid sant) inte är samma sak som "X är tätt i sig" (ingen isolerad punkt).

Exempel

Ett enkelt exempel på en mängd som är tät i sig men inte sluten (och därmed inte en perfekt mängd) är mängden irrationella tal (betraktas som en delmängd av de reella talen ). Den här uppsättningen är tät i sig eftersom varje område av ett irrationellt tal $x$ innehåller minst ett annat irrationellt tal $y\neq x$ . Å andra sidan är uppsättningen av irrationella inte stängda eftersom varje rationellt tal ligger i dess stängning . På liknande sätt är uppsättningen av rationella tal också tät i sig men inte sluten i utrymmet för reella tal.

Ovanstående exempel, irrationalerna och rationalerna, är också täta mängder i sitt topologiska utrymme, nämligen $\mathbb {R}$ . Som ett exempel som är tät i sig men inte tät i sitt topologiska utrymme, betrakta ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]$ . Denna uppsättning är inte tät i $\mathbb {R}$ utan är tät i sig själv.

Egenskaper

En enkelton delmängd av ett mellanslag $X$ kan aldrig vara tätt i sig, eftersom dess unika punkt är isolerad i den.

De täta i sig undergrupperna av alla utrymmen är stängda under fackföreningar . I ett tätt utrymme inkluderar de alla öppna set . I ett tätt-i-själv T _1- utrymme inkluderar de alla täta uppsättningar . Däremot kan utrymmen som inte är T ₁ ha täta delmängder som inte är täta i sig: till exempel i utrymmet $X=\{a,b\}$ med den indiskreta topologin , mängden $A=\{a\}$ är tät, men är inte tät i sig.

Stängningen av alla täta-i-själv-set är en perfekt uppsättning .

I allmänhet är skärningspunkten mellan två täta-i-sig-själv-uppsättningar inte täta-i-sig. Men skärningspunkten mellan en tät-i-själv-uppsättning och en öppen uppsättning är tät-i-sig själv.

Se även

• Ingenstans tät uppsättning
• Ordlista för topologi
• Tät ordning

Anteckningar

•   Engelking, Ryszard (1989). Allmän topologi . Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4 .
•   Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. jag . Akademisk press. ISBN 012429202X .
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .

Den här artikeln innehåller material från Dense i sig på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .