Lokalt anslutet utrymme

I detta topologiska utrymme är V en grannskap av p och den innehåller en ansluten öppen uppsättning (den mörkgröna skivan) som innehåller p .

I topologi och andra grenar av matematik är ett topologiskt utrymme X lokalt anslutet om varje punkt medger en grannskapsbas som helt och hållet består av öppna , anslutna uppsättningar.

Bakgrund

Genom topologins historia har samband och kompakthet varit två av de mest studerade topologiska egenskaperna. Faktum är att studiet av dessa egenskaper även bland undergrupper av det euklidiska rummet , och erkännandet av deras oberoende från den särskilda formen av den euklidiska metriken , spelade en stor roll för att klargöra begreppet en topologisk egenskap och därmed ett topologiskt utrymme. Men medan strukturen av kompakta delmängder av det euklidiska rummet förstods ganska tidigt via Heine–Borel-satsen , visade sig anslutna delmängder av $\mathbb {R} ^{n}$ (för n > 1) vara mycket mer komplicerat. I själva verket, även om något kompakt Hausdorff-utrymme är lokalt kompakt , behöver ett anslutet utrymme – och till och med en anslutet delmängd av det euklidiska planet – inte vara lokalt anslutet (se nedan).

Detta ledde till en rik ådra av forskning under första hälften av 1900-talet, där topologer studerade implikationerna mellan allt mer subtila och komplexa variationer på föreställningen om ett lokalt sammankopplat rum. Som ett exempel kommer begreppet svag lokal anknytning vid en punkt och dess relation till lokal anknytning att behandlas längre fram i artikeln.

Under den senare delen av 1900-talet skiftade forskningstrender till mer intensiva studier av utrymmen som grenrör , som är lokalt väl förstådda (som lokalt är homeomorfa till det euklidiska utrymmet) men har komplicerat globalt beteende. Med detta menas att även om den grundläggande punktuppsättningstopologin för grenrör är relativt enkel (eftersom grenrör är i huvudsak mätbara enligt de flesta definitioner av begreppet), är deras algebraiska topologi mycket mer komplex. Ur detta moderna perspektiv visar sig den starkare egenskapen med lokal vägförbindelse vara viktigare: till exempel, för att ett utrymme ska kunna ge ett universellt skydd måste det vara sammankopplat och lokalt väganslutet. Lokal vägförbindelse kommer också att diskuteras.

Ett utrymme är lokalt anslutet om och endast om för varje öppen uppsättning U , de anslutna komponenterna i U (i subrymdstopologin) är öppna. Därav följer till exempel att en kontinuerlig funktion från ett lokalt anslutet utrymme till ett totalt frånkopplat utrymme måste vara lokalt konstant. Faktum är att komponenternas öppenhet är så naturlig att man måste vara säker på att komma ihåg att det inte är sant i allmänhet: till exempel Cantor-utrymmet är helt frånkopplat men inte diskret .

Definitioner

Låt $X$ vara ett topologiskt rum, och låt $x$ vara en punkt på $X.$

Ett mellanslag $X$ kallas lokalt kopplat vid $x$ om varje grannskap av $x$ innehåller en ansluten öppen grannskap av $x$ , det vill säga om punkten ${ \displaystyle x}$ har en grannskapsbas som består av anslutna öppna uppsättningar. Ett lokalt anslutet utrymme är ett utrymme som är lokalt anslutet vid var och en av sina punkter.

Lokal koppling innebär inte koppling (tänk på två disjunkta öppna intervall i $\mathbb {R}$ till exempel); och anknytning innebär inte lokal koppling (se topologens sinuskurva ) .

Ett mellanslag $X$ kallas lokalt väg kopplad vid $x$ om varje grannskap av $x$ innehåller en sökväg kopplad öppen grannskap av $x$ , det vill säga om punkten $x$ har en grannskapsbas som består av bananslutna öppna uppsättningar. Ett lokalt väganslutet utrymme är ett utrymme som är lokalt bananslutet vid var och en av sina punkter.

Lokalt väganslutna utrymmen är lokalt anslutna. Det omvända håller inte (se den lexikografiska ordningstopologin på enhetsrutan ) .

Connectedness im kleinen

Ett mellanslag $X$ kallas anslutet im kleinen vid $x$ eller svagt lokalt anslutet vid $x$ om varje kvarter av $x$ innehåller ett anslutet kvarter av $x$ , det vill säga om punkten $x$ har en grannskapsbas som består av sammankopplade mängder. Ett utrymme kallas svagt lokalt kopplat om det är svagt lokalt kopplat vid var och en av sina punkter; som anges nedan är detta koncept i själva verket detsamma som att vara lokalt ansluten.

Ett utrymme som är lokalt anslutet vid $x$ ansluts im kleinen vid $x.$ Det omvända håller inte, vilket till exempel visas av en viss oändlig förening av minskande kvastutrymmen , som är ansluten im kleinen vid en viss punkt, men inte lokalt ansluten vid den punkten. Men om ett utrymme är anslutet im kleinen vid var och en av dess punkter, är det lokalt anslutet.

Ett mellanslag $X$ sägs vara sökvägsanslutet im kleinen vid $x$ om varje grannskap av $x$ innehåller en sökvägsansluten grannskap av $x$ , det vill säga om punkten $x$ har en grannskapsbas som består av bananslutna uppsättningar.

Ett utrymme som är lokalt sökvägsanslutet vid $x$ är sökvägsanslutet im kleinen vid $x.$ Det omvända håller inte, vilket visas av samma oändliga förening av minskande kvastutrymmen som ovan. Men om ett utrymme är väganslutet im kleinen vid var och en av dess punkter, är det lokalt väganslutet.

Första exemplen

1. För varje positivt heltal n är det euklidiska rymden $\mathbb {R} ^{n}$ lokalt vägansluten, alltså lokalt ansluten; den är också ansluten.
2. Mer generellt är varje lokalt konvex topologisk vektorrymd lokalt ansluten, eftersom varje punkt har en lokal bas av konvexa (och därmed anslutna) stadsdelar.
3. Delutrymmet $S=[0,1]\cup [2,3]$ på den reella linjen $\mathbb {R} ^{1}$ är lokalt ansluten till sökväg men inte ansluten.
4. Topologens sinuskurva är ett delrum av det euklidiska planet som är sammankopplat, men inte lokalt sammankopplat.
5. Mellanrummet $\mathbb {Q}$ för rationella tal som är försedda med den euklidiska standardtopologin är varken kopplat eller lokalt.
6. Kamutrymmet är väganslutet men inte lokalt väganslutet, och inte ens lokalt .
7. En räkningsbart oändlig uppsättning som är utrustad med den kofinita topologin är lokalt ansluten (förvisso hyperansluten ) men inte lokalt vägbunden.
8. Den lexikografiska ordningstopologin på enhetstorget är ansluten och lokalt ansluten, men inte väg ansluten, inte heller lokalt väg ansluten.
9. Kirch -utrymmet är anslutet och lokalt anslutet, men inte väg anslutet, och inte stig anslutet im kleinen vid någon punkt. Det är i själva verket helt väg frånkopplad .

Ett första-räknat Hausdorff-utrymme $(X,\tau )$ är lokalt sökvägsanslutet om och endast om $\tau$ är lika med den slutliga topologin på $X$ inducerad av mängden $C([0,1]; X)$ av alla kontinuerliga banor $[0,1]\to (X,\tau ).$

Egenskaper

Teorem — Ett rum är lokalt kopplat om och endast om det är svagt lokalt kopplat.

Bevis

För den icke-triviala riktningen, antag att $X$ är svagt lokalt ansluten. För att visa att den är lokalt ansluten räcker det att visa att de anslutna komponenterna i öppna set är öppna. Låt $U$ vara öppen i $X$ och låt $C$ vara en ansluten komponent av $U.$ Låt $x$ vara ett element av $C.$ Då är $U$ en grannskap av $x$ så att det finns en ansluten grannskap $V$ av $x$ som ingår i $U.$ Eftersom $V$ är ansluten och innehåller $x,$$V$ vara en delmängd av $C$ (den anslutna komponenten som innehåller ${\ displaystil x}$ ). Därför $x$ en inre punkt i $C.$ Eftersom $x$ var en godtycklig punkt för $C,$$C$ öppen i $X.$ Därför är $X$ lokalt ansluten.

1. Lokal anknytning är per definition en lokal egenskap hos topologiska utrymmen, dvs en topologisk egenskap P så att ett utrymme X har egenskapen P om och endast om varje punkt x i X tillåter en grannskapsbas av mängder som har egenskapen P . Följaktligen gäller alla "metaegenskaper" som innehas av en lokal fastighet för lokal anknytning. Särskilt:
2. Ett utrymme är lokalt anslutet om och endast om det tillåter en bas av (öppna) anslutna delmängder.
3. Den disjunkta föreningen $\coprod _{i}X_{i}$ av en familj $\{X_{i}\}$ av utrymmen är lokalt ansluten om och endast om varje $X_{i}$ är lokalt ansluten. I synnerhet, eftersom en enda punkt säkert är lokalt ansluten, följer det att varje diskret utrymme är lokalt anslutet. Å andra sidan är ett diskret utrymme helt frånkopplat , så det är bara anslutet om det har högst en punkt.
4. Omvänt är ett totalt frånkopplat utrymme lokalt anslutet om och bara om det är diskret. Detta kan användas för att förklara det tidigare nämnda faktumet att de rationella talen inte är lokalt förbundna.
5. Ett icke-tomt produktutrymme $\prod _{i}X_{i}$ är lokalt anslutet om och endast om varje $X_{i}$ är lokalt ansluten och alla utom ändligt många av $X_{i}$ är anslutna.
6. Varje hyperanslutet utrymme är lokalt anslutet och anslutet.

Komponenter och vägkomponenter

Följande resultat följer nästan omedelbart av definitionerna men kommer att vara ganska användbart:

Lemma: Låt X vara ett mellanslag och $\{Y_{i}\}$ en familj av delmängder av X . Antag att $\bigcap _{i}Y_{i}$ är tom. Sedan, om varje $Y_{i}$ är ansluten (respektive sökväg ansluten) så är föreningen $\bigcup _{i}Y_{i}$ ansluten (respektive sökväg ansluten ).

Betrakta nu två relationer på ett topologiskt utrymme X : för $x,y\in X,$ skriv:

$x\equiv _{c}y$ om det finns en ansluten delmängd av X som innehåller både x och y ; och

$x\equiv _{pc}y$ om det finns en sökvägsansluten delmängd av X som innehåller både x och y .

Uppenbarligen är båda relationerna reflexiva och symmetriska. Dessutom, om x och y ingår i en ansluten (respektive väg ansluten) delmängd A och y och z är anslutna i en ansluten (respektive väg ansluten) delmängd B , så innebär Lemma att $A\ cup B$ är en ansluten (respektive väg ansluten) delmängd som innehåller x , y och z . Varje relation är alltså en ekvivalensrelation och definierar en uppdelning av X i ekvivalensklasser . Vi betraktar dessa två partitioner i tur och ordning.

För x i X kallas mängden $C_{x}$ av alla punkter y så att $y\equiv _{c}x$ den anslutna komponenten av x . Lemma antyder att $C_{x}$ är den unika maximala anslutna delmängden av X som innehåller x . Eftersom stängningen av $C_{x}$ också är en ansluten delmängd som innehåller x , följer det att $C_{x}$ är stängd.

Om X bara har ändligt många anslutna komponenter, så är varje komponent komplementet till en ändlig förening av slutna mängder och därför öppen. I allmänhet behöver de anslutna komponenterna inte vara öppna, eftersom det t.ex. finns helt frånkopplade utrymmen (dvs $C_{x}=\{x\}$ för alla punkter x ) som är inte diskret, som Cantor space. Men de anslutna komponenterna i ett lokalt anslutet utrymme är också öppna och är således clopen-uppsättningar . Det följer att ett lokalt anslutet utrymme X är en topologisk disjunkt union $\coprod C_{x}$ av dess distinkta anslutna komponenter. Omvänt, om för varje öppen delmängd U av X , de anslutna komponenterna i U är öppna, så tillåter X en bas av anslutna uppsättningar och är därför lokalt ansluten.

På liknande sätt x i X , uppsättningen $PC_{x}$ av alla punkter y så att $y\equiv _{pc}x$ kallas vägkomponenten för x . Som ovan $PC_{x}$ också föreningen av alla väganslutna delmängder av X som innehåller x , så av Lemma är själv vägen ansluten. Eftersom sökvägsanslutna uppsättningar är anslutna har vi $PC_{x}\subseteq C_{x}$ för alla $x\in X.$

Stängningen av en vägkopplad mängd behöver dock inte vara vägansluten: till exempel är topologens sinuskurva stängningen av den öppna delmängden U som består av alla punkter (x,y) med x > 0 och U , som är homeomorf till en intervall på den verkliga linjen, är säkert vägbunden. Dessutom är bankomponenterna i topologens sinuskurva C U , som är öppen men inte stängd, och $C\setminus U,$ som är stängd men inte öppen.

Ett utrymme är lokalt väganslutet om och endast om för alla öppna delmängder U , vägkomponenterna för U är öppna. Därför ger vägkomponenterna i ett lokalt väganslutet utrymme en uppdelning av X i parvis disjunkta öppna uppsättningar. Det följer att ett öppet anslutet delrum till ett lokalt väganslutet utrymme nödvändigtvis är väganslutet. Dessutom, om ett utrymme är lokalt anslutet till en sökväg, är det också anslutet lokalt, så för alla $x\in X,$$C_{x}$ ansluten och öppen, därav sökvägen ansluten, det vill säga $C_{x}=PC_{x}.$ Det vill säga för ett lokalt sökvägsanslutet utrymme sammanfaller komponenterna och sökvägskomponenterna.

Exempel

1. Mängden $I\times I$ (där $I=[0,1]$ ) i ordboksordningstopologin har exakt en komponent (eftersom den är ansluten) men har oräkneligt många vägkomponenter. Faktum är att varje uppsättning av formen $\{a\}\times I$ är en sökvägskomponent för varje a som tillhör I .
2. Låt $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }$ vara en kontinuerlig karta från $\mathbb {R}$ till ${\ displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ (vilket är $\mathbb {R}$ i den nedre gränstopologin ). Eftersom $\mathbb {R}$ är ansluten, och bilden av ett anslutet utrymme under en kontinuerlig karta måste kopplas, måste bilden av $\mathbb {R}$ under $f$ vara ansluten. Därför måste bilden av $\mathbb {R}$ under $f$ vara en delmängd av en komponent av $\mathbb {R} _{\ell }/$ Eftersom detta bilden är icke-tom, de enda kontinuerliga kartorna från ' $\mathbb {R}$ till $\mathbb {R} _{\ell },$ är de konstanta kartorna. Faktum är att varje kontinuerlig karta från ett anslutet utrymme till ett totalt frånkopplat utrymme måste vara konstant.

Kvasikomponenter

Låt X vara ett topologiskt rum. Vi definierar en tredje relation på X : $x\equiv _{qc}y$ om det inte finns någon separation av X i öppna mängder A och B så att x är ett element i A och y är en element av B. Detta är en ekvivalensrelation på X och ekvivalensklassen $QC_{x}$ som innehåller x kallas kvasikomponenten av x .

$QC_{x}$ kan också karakteriseras som skärningspunkten mellan alla clopen -delmängder av X som innehåller x . Följaktligen $QC_{x}$ stängd; i allmänhet behöver den inte vara öppen.

Tydligen $C_{x}\subseteq QC_{x}$ för alla $x\in X.$ Sammantaget har vi följande inneslutningar bland sökvägskomponenter, komponenter och kvasikomponenter vid x :

$$PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.$$

Om X är lokalt anslutet, då, som ovan, är $C_{x}$ en clopen-uppsättning som innehåller x , så $QC_{x}\subseteq C_{x}$ och alltså $QC_{x}=C_{x}.$ Eftersom lokal väganslutenhet innebär lokal sammankoppling, följer det att vi vid alla punkter x i ett lokalt väganslutet utrymme har

$$PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.$$

En annan klass av utrymmen för vilka kvasikomponenterna överensstämmer med komponenterna är klassen av kompakta Hausdorff-utrymmen.

Exempel

1. Ett exempel på ett utrymme vars kvasikomponenter inte är lika med dess komponenter är en sekvens med en dubbel gränspunkt. Detta utrymme är helt frånkopplat, men båda gränspunkterna ligger i samma kvasikomponent, eftersom varje clopen-uppsättning som innehåller en av dem måste innehålla en svans av sekvensen, och därmed den andra punkten också.
2. Mellanrummet ${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n }}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}} är lokalt kompakt och Hausdorff men$ uppsättningarna $\{0\}\times [-1,0)$ och $\{0\}\times (0,1]$ är två olika komponenter som ligger i samma kvasikomponent.
3. Arens –Fort-utrymmet är inte lokalt kopplat, men inte desto mindre sammanfaller komponenterna och kvasikomponenterna: faktiskt $QC_{x}=C_{x}=\{x\}$ för alla punkter x .

Se även

• Lokalt enkelt uppkopplat utrymme
• Halvlokalt enkelt kopplat
• Det antas att Mandelbrot-uppsättningen är lokalt kopplad

Anteckningar

•   Engelking, Ryszard (1989). Allmän topologi . Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4 .
•   John L. Kelley ; Allmän topologi ; ISBN 0-387-90125-6
•   Munkres, James (1999), Topology (2:a upplagan), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2 .
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 1382863
• Stephen Willard; Allmän topologi ; Dover Publications, 2004.

Vidare läsning

•   Coppin, CA (1972), "Continuous Functions from a Connected Locally Connected Space into a Connected Space with a Dispersion Point", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 32 (2): 625–626, doi : 10.1090/ S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR 2037874 . För Hausdorff-utrymmen visas att varje kontinuerlig funktion från ett anslutet lokalt anslutet utrymme till ett anslutet utrymme med en spridningspunkt är konstant
•   Davis, HS (1968), "A Note on Connectedness Im Kleinen", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 19 (5): 1237–1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR 2036067 .