Kuratowskis stängningsaxiom

Inom topologi och relaterade grenar av matematik är Kuratowskis stängningsaxiom en uppsättning axiom som kan användas för att definiera en topologisk struktur på en uppsättning . De är likvärdiga med den vanligare öppna uppsättningsdefinitionen . De formaliserades först av Kazimierz Kuratowski , och idén studerades vidare av matematiker som Wacław Sierpiński och António Monteiro , bland andra.

En liknande uppsättning axiom kan användas för att definiera en topologisk struktur genom att endast använda det dubbla begreppet inre operator .

Definition

Kuratowski stängningsoperatörer och försvagningar

Låt $X$ vara en godtycklig mängd och $\wp (X)$ dess effektuppsättning . En Kuratowski-stängningsoperator är en unär operation $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ med följande egenskaper:

[K1] Den bevarar den tomma mängden : $\mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$ ;

[K2] Det är omfattande : för alla $A\subseteq X$ , $A\subseteq \mathbf {c} (A)$ ;

[K3] Det är idempotent : för alla $A\subseteq X$ , $\mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))$ ;

[K4] Den bevarar / fördelar över binära fackföreningar : för alla $A,B\subseteq X$ , $\mathbf {c} (A\kopp B)=\mathbf {c} (A)\kopp \mathbf {c} (B)$ .

En konsekvens av att $\mathbf {c}$ bevarar binära fackföreningar är följande villkor:

[K4'] Den är monoton : $A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)$ .

Faktum är att om vi skriver om likheten i [K4] som en inkludering, vilket ger det svagare axiomet [K4''] ( subadditivitet ):

[K4''] Det är subadditiv : för alla $A,B\subseteq X$ , $\mathbf {c } (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$ ,

då är det lätt att se att axiom [K4'] och [K4''] tillsammans är ekvivalenta med [K4] (se näst sista stycket i Bevis 2 nedan).

Kuratowski (1966) inkluderar ett femte (valfritt) axiom som kräver att singleton-uppsättningar ska vara stabila under stängning: för alla ${\displaystyle x\in X} ,$ c $\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$ . Han hänvisar till topologiska utrymmen som uppfyller alla fem axiomen som T ₁ -rum i motsats till de mer allmänna utrymmena som bara uppfyller de fyra angivna axiomen. I själva verket motsvarar dessa utrymmen exakt de topologiska T ₁ -utrymmena via den vanliga korrespondensen (se nedan).

Om kravet [K3] utelämnas, definierar axiomen en Čech-stängningsoperator . Om [K1] utelämnas istället, sägs en operatör som uppfyller [K2] , [K3] och [K4'] vara en Moore-stängningsoperator . Ett par $(X,\mathbf {c} )$ kallas Kuratowski , Čech eller Moore closure space beroende på axiomen som uppfylls av $\mathbf {c}$ .

Alternativa axiomatiseringar

De fyra Kuratowski stängningsaxiomen kan ersättas av ett enda villkor, givet av Pervin:

[P] För alla $A,B\subseteq X$ , $A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )$ .

Axiom [K1] – [K4] kan härledas som en konsekvens av detta krav:

1. Välj $A=B=\varnothing$ . Sedan ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing } ,$ eller $\mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing$ . Detta innebär omedelbart [K1] .
2. Välj ett godtyckligt $A\subseteq X$ och $B=\varnothing$ . Använd sedan axiom [K1] , ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)} , vilket$ innebär [K2] .
3. Välj $A=\varnothing$ och ett godtyckligt $B\subseteq X$ . Använd sedan axiom [K1] , ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)} ,$ vilket är [K3] .
4. Välj godtyckligt $A,B\subseteq X$ . Genom att tillämpa axiom [K1] – [K3] härleder man [K4] .

Alternativt, Monteiro (1945) hade föreslagit ett svagare axiom som bara innebär [K2] – [K4] :

[M] För alla $A,B\subseteq X$ , ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$ .

Krav [K1] är oberoende av [M] : faktiskt, om $X\neq \varnothing$ , operatorn $\mathbf {c} ^ {\star }:\wp (X)\to \wp (X)$ definieras av konstanttilldelningen $A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }( A):=X$ uppfyller [M] men bevarar inte den tomma mängden, eftersom $\mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X$ . Observera att, per definition, alla operatörer som uppfyller [M] är en Moore-stängningsoperatör.

Ett mer symmetriskt alternativ till [M] bevisades också av MO Botelho och MH Teixeira för att antyda axiom [K2] – [K4] :

[BT] För alla $A,B\subseteq X$ , ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B) }$ .

Analoga strukturer

Interiör, exteriör och gränsoperatörer

En dubbel uppfattning för Kuratowskis stängningsoperatörer är Kuratowskis interiöroperatör , vilket är en karta $\mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)$ som uppfyller följande liknande krav:

[I1] Den bevarar det totala utrymmet : $\mathbf {i} (X)=X$ ;

[I2] Det är intensivt : för alla $A\subseteq X$ , $\mathbf {i} (A)\subseteq A$ ;

[I3] Det är idempotent : för alla $A\subseteq X$ , $\mathbf {i} (\mathbf {i} (A) )=\mathbf {i} (A)$ ;

[I4] Den bevarar binära skärningspunkter : för alla $A,B\subseteq X$ , $\mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)$ .

För dessa operatörer kan man dra slutsatser som är helt analoga med vad som antogs för Kuratowski-stängningar. Till exempel är alla Kuratowski interiöroperatörer isotoniska , dvs de uppfyller [K4'] , och på grund av intensivitet [I2] är det möjligt att försvaga jämställdheten i [I3 ] till en enkel inkludering.

Dualiteten mellan Kuratowski-förslutningar och interiörer tillhandahålls av den naturliga komplementoperatören på $\wp (X)$ , kartan $\mathbf {n} :\wp (X)\till \wp (X)$ skickar $A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A$ . Denna karta är en ortokomplementering på kraftmängdsgittret, vilket betyder att den uppfyller De Morgans lagar : if ${\mathcal {I}}$ är en godtycklig uppsättning index och $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)$ ,

$$\mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\ mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\ i {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).$$

Genom att använda dessa lagar, tillsammans med de definierande egenskaperna för ${\displaystyle \mathbf {n} } ,$ kan man visa att vilken Kuratowski-interiör som helst inducerar en Kuratowski-stängning (och vice versa), via den definierande relationen ${ \displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ (och $\mathbf {i} :=\mathbf {ncn}$ ). Varje resultat som erhålls angående $\mathbf {c}$ kan omvandlas till ett resultat angående $\mathbf {i}$ genom att använda dessa relationer i kombination med egenskaperna för ortokomplementeringen $\mathbf { n}$ .

Pervin (1964) tillhandahåller vidare analoga axiom för Kuratowski-exteriöroperatorer och Kuratowski-gränsoperatorer , som också inducerar Kuratowski-stängningar via relationerna $\mathbf {c} :=\mathbf {ne}$ och $\mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)$ .

Abstrakta operatörer

Huvudartikel: Interiör algebra

Lägg märke till att axiom [K1] – [K4] kan anpassas för att definiera en abstrakt unär operation $\mathbf {c} :L\to L$ på ett allmänt begränsat gitter ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )} ,$ genom att formellt ersätta mängdteoretisk inkludering med den partiella ordningen associerad till gittret, mängdteoretisk förening med sammanfogningsoperationen och uppsättningsteoretiska skärningar med mötesoperationen; på samma sätt för axiom [I1] – [I4] . Om gittret är ortokomplementerat, inducerar dessa två abstrakta operationer varandra på vanligt sätt. Abstrakt stängning eller interiöroperatorer kan användas för att definiera en generaliserad topologi på gittret.

Eftersom varken fackföreningar eller den tomma uppsättningen förekommer i kravet på en Moore-stängningsoperator, kan definitionen anpassas för att definiera en abstrakt unär operator $\mathbf {c} :S\to S$ på en godtycklig poset $S$ .

Koppling till andra axiomatiseringar av topologi

Induktion av topologi från stängning

En stängningsoperatör inducerar naturligtvis en topologi enligt följande. Låt $X$ vara en godtycklig mängd. Vi ska säga att en delmängd $C\subseteq X$ är stängd med avseende på en Kuratowski-stängningsoperator $\mathbf {c} :\wp (X )\to \wp (X)$ om och endast om det är en fixpunkt för nämnda operator, eller med andra ord den är stabil under $\mathbf {c}$ , dvs ${\ displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$ . Påståendet är att familjen av alla delmängder av det totala utrymmet som är komplement till slutna mängder uppfyller de tre vanliga kraven för en topologi, eller motsvarande familjen S [ c ] {\ ${S}}[\mathbf {c} ]}$ av alla slutna uppsättningar uppfyller följande:

[T1] Det är ett avgränsat subgitter av $\wp (X)$ , dvs $X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\ mathbf {c} ]$ ;

[T2] ​​Det är komplett under godtyckliga skärningspunkter , dvs om ${\mathcal {I}}$ är en godtycklig uppsättning index och ${\displaystyle \{C_{ i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]} , sedan ⋂$ i $textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ;

[T3] Den är komplett under finita fackföreningar , dvs om ${\mathcal {I}}$ är en finit uppsättning index och ${\displaystyle \{C_{ i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]} , sedan ⋃$ i $textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ .

Lägg märke till att man, genom idempotens [K3] , kortfattat kan skriva ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatörsnamn {im} (\mathbf { c} )$ .

Bevis 1.

[T1] Med extensivitet [K2] , $X\subseteq \mathbf {c} (X)$ och eftersom closure mappar effektmängden för $X$ i sig själv (det vill säga, bilden av en delmängd är en delmängd av $X =\mathbf {c} (X)$$\displaystyle X}$ ), $\mathbf {c} (X)\subseteq X$ vi har . Alltså $X\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ . Bevarandet av den tomma mängden [K1] innebär lätt $\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ . [T2] ​​Låt sedan ${\mathcal {I}}$ vara en godtycklig uppsättning index och låt $C_{i}$ stängas för varje $i\in { \mathcal {I}}$ . Med extensivitet [K2] , ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq \mathbf {c } \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$ . Dessutom, genom isotonicitet [K4'] , om ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq C_{i}} för$ alla index $i\in {\mathcal {I}}$ , sedan ${\textstyle \mathbf {c} \left(\ bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \mathbf {c} (C_{i})=C_{i}} för alla i ∈ I$ { $\ i {\mathcal {I}}}$ , vilket innebär ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal { I}}}C_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$ . Därför ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\ bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$ , vilket betyder ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I }}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ . [T3] Slutligen, låt ${\mathcal {I}}$ vara en ändlig uppsättning index och låt $C_{i}$ vara stängd för varje $i\in { \mathcal {I}}$ . Från bevarandet av binära fackföreningar [K4] och genom att använda induktion på antalet delmängder som vi tar unionen av, har vi ${\textstyle \bigcup _{ i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$ . Således, ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ .

Induktion av stängning från topologi

Omvänt, givet en familj $\kappa$ som uppfyller axiomen [T1] – [T3] , är det möjligt att konstruera en Kuratowski-stängningsoperator på följande sätt: om $A\in \ wp (X)$ och $|\ A\subseteq B\}} är inkluderingsstörningen av$ \ A { $displaystyle A}$ , då

$$\mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{ \uparrow })}B$$

definierar en Kuratowski-stängningsoperator $\mathbf {c} _{\kappa }$ på $\wp (X)$ .

Bevis 2.

[K1] Eftersom $\varnothing ^{\uparrow }=\wp (X)$ , $\mathbf {c} _{\kappa }(\varnothing )$ reducerar till skärningspunkten för alla uppsättningar i familjen $\kappa$ ; men $\varnothing \in \kappa$ med axiom [T1] , så skärningspunkten kollapsar till nollmängden och [K1] följer. [K2] Enligt definitionen av $A^{\uparrow }$ har vi att $A\subseteq B$ för alla $B\in \ left(\kappa \cap A^{\uparrow }\right)$ , och därför måste $A$ finnas i skärningspunkten mellan alla sådana uppsättningar. Därav följer extensivitet [K2] . [K3] Lägg märke till att för alla $A\in \wp (X)$ , familjen $\mathbf {c} _{\kappa } (A)^{\uparrow }\cap \kappa$ innehåller $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ som ett minimalt element med hänsyn till inkludering. Därför ${\textstyle \mathbf {c} _{\kappa }^{2}(A)=\bigcap _ {B\in \mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa }B=\mathbf {c} _{\kappa }(A)} , vilket är idempotens [$ K3 ] . [K4'] Låt $A\subseteq B\subseteq X$ : sedan $B^{\uparrow }\subseteq A^{\uparrow }$ , och därmed $\kappa \cap B^{\uparrow }\subseteq \kappa \cap A^{\uparrow }$ . Eftersom den senare familjen kan innehålla fler element än den förra, finner vi $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{ \kappa }(B)$ , vilket är isotonicitet [K4'] . Lägg märke till att isotonicitet innebär $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B )$ och $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ , som tillsammans innebär $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\ kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ . [K4] Till sist, fixa $A,B\in \wp (X)$ . Axiom [T2] innebär $\mathbf {c} _{\kappa }(A),\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$ ; vidare antyder axiom [T2] att $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }( B)\in \kappa$ . Med extensivitet [K2] har man $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in A^{\uparrow }$ och ${ \displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in B^{\uparrow }}$ , så att ${\ displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \left(A^{\uparrow}\right)\cap \left(B^ {\uparrow }\right)}$ . Men $\left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)=(A\ bägare B)^{\uparrow }$ , så att allt som allt $\mathbf {c} _{\kappa }(A )\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$ . Sedan dess $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ ett minimalt element av $\kappa \cap ( A\cup B)^{\uparrow }$ med inkludering finner vi $\mathbf {c} _{\kappa }(A \cup B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)$ . Punkt 4. säkerställer additivitet [K4] .

Exakt överensstämmelse mellan de två strukturerna

Faktum är att dessa två komplementära konstruktioner är inversa till varandra: om $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ är samlingen av alla Kuratowski-stängningsoperatorer på $X$ och $\mathrm {Atp} (X)$ är samlingen av alla familjer som består av komplement av alla mängder i en topologi, dvs samlingen av alla familjer som uppfyller [ T1] – [T3] , sedan ${\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X )\to \mathrm {Atp} (X)$ så att $\mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ är en bijektion, vars invers ges av uppgiften ${\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }$ .

Bevis 3.

Först bevisar vi att ${\mathfrak {C}}\circ {\mathfrak {S}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ , identitetsoperatorn på $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ . För en given Kuratowski-stängning ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)} ,$ definiera $\mathbf {c} ':={\mathfrak {C}}[{\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]]$ ; sedan om $A\in \wp (X)$ är dess primerade stängning $\mathbf {c} '(A)$ skärningspunkten för alla $\mathbf {c}$ -stabila uppsättningar som innehåller $A$ . Dess icke-primade stängning $\mathbf {c} (A)$ uppfyller denna beskrivning: med extensivitet [K2] har vi $A\subseteq \mathbf {c} ( A)$ , och genom idempotens [K3] har vi $\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))=\mathbf {c} (A) )$ , och därmed $\mathbf {c} (A)\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}} [\mathbf {c} ]\right)$ . Låt nu $C\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$ som att $A\subseteq C\subseteq \mathbf {c} (A)$ : genom isotonicitet [K4'] har vi $\mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (C)$ , och eftersom $\mathbf {c} (C)=C$ drar vi slutsatsen att ${ \displaystyle C=\mathbf {c} (A)}$ . Därför $\mathbf {c} (A)$ det minimala elementet av $A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ med hänsyn till inkludering, vilket innebär att $\mathbf {c} '(A)=\mathbf {c} (A)$ . Nu bevisar vi att ${\mathfrak {S}}\circ {\mathfrak {C}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Atp} ( X)}$ . Om $\kappa \in \mathrm {Atp} (X)$ och $\kappa ':={\mathfrak {S }}[{\mathfrak {C}}[\kappa ]]$ är familjen av alla uppsättningar som är stabila under $\mathbf {c} _{\kappa }$ , resultatet följer om både $\kappa '\subseteq \kappa$ och $\kappa \subseteq \kappa '$ . Låt $A\in \kappa '$ : därav $\mathbf {c} _{\kappa }(A)=A$ . Eftersom $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ är skärningspunkten för en godtycklig underfamilj av $\kappa$ , och den senare är komplett under godtyckliga skärningar av [T2 ] , då $A=\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in \kappa$ . Omvänt, om $A\in \kappa$ , då är $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ den minimala supermängden av $A$ som finns i $\kappa$ . Men det är trivialt $A$ själv, vilket innebär $A\in \kappa '$ .

Vi observerar att man också kan utöka bijektionen ${\mathfrak {S}}$ till samlingen $\mathrm {Cls} _{\check {C}}(X )$ av alla Čech-stängningsoperatorer, som strikt innehåller $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ ; denna tillägg ${\overline {\mathfrak {S}}}$ är också surjektiv, vilket betyder att alla Čech-stängningsoperatorer på $X$ också inducerar en topologi på $X$ . Detta betyder dock att ${\overline {\mathfrak {S}}}$ inte längre är en bijektion.

Exempel

• Som diskuterats ovan, givet ett topologiskt utrymme $X$ kan vi definiera stängningen av vilken delmängd som helst $A\subseteq X$ som mängden ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ en sluten delmängd av }}X|A\subseteq C\}} , dvs skärningspunkten mellan alla slutna uppsättningar$ av $X$ som innehåller $A$ . Uppsättningen $\mathbf {c} (A)$ är den minsta slutna uppsättningen av $X$ som innehåller $A$ och operatorn $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ är en Kuratowski-stängningsoperator.
• Om $X$ är någon uppsättning, är operatorerna $\mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\ bot }:\wp (X)\to \wp (X)$ så att
  $$\mathbf {c} _{\top }(A)={ \begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),$$
  är Kuratowski-stängningar. Den första inducerar den indiskreta topologin $\{\varnothing ,X\}$ , medan den andra inducerar den diskreta topologin $\wp (X)$ .

• Fixa ett godtyckligt $S\subsetneq X$ , och låt $\mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \ wp (X)$ vara sådan att $\mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S$ för alla ${\ displaystil A\in \wp (X)}$ . Sedan $\mathbf {c} _{S}$ en Kuratowski-stängning; motsvarande familj av slutna mängder ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]$ sammanfaller med $S^{\uparrow }$ , familjen av alla delmängder som innehåller $S$ . När $S=\varnothing$ hämtar vi återigen den diskreta topologin $\wp (X)$ (dvs $\mathbf {c} _{ \varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }$ , som framgår av definitionerna).
• Om $\lambda$ är ett oändligt kardinaltal så att $\lambda \leq \operatorname {crd} (X)$ , då är operatorn $\mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)$ så att
  $$\mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatörsnamn {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatörsnamn {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}$$
  uppfyller alla fyra Kuratowski-axiomen. Om $\lambda =\aleph _{0}$ , inducerar denna operator den kofinita topologin på $X$ ; om $\lambda =\aleph _{1}$ , inducerar det den medräknade topologin .

Egenskaper

• Eftersom varje Kuratowski-stängning är isotonisk, och så är uppenbarligen vilken inklusionsmappning som helst, har man den (isotoniska) Galois-kopplingen ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm { im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle } ,$ förutsatt att man ser $\wp (X)$ som en poset med avseende på inkludering, och $\mathrm {im} (\mathbf {c} )$ som en underpost till $\wp (X)$ . Det kan faktiskt enkelt verifieras att för alla $A\in \wp (X)$ och $C\in \mathrm {im} (\ mathbf {c} )$ , $\mathbf {c} (A)\subseteq C$ om och endast om $A\subseteq \iota (C)$ .
• Om $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ är en underfamilj till $\wp (X)$ , då
  $$\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal { I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{ i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).$$
• Om $A,B\in \wp (X)$ , då $\mathbf {c} ( A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)$ .

Topologiska begrepp i termer av stängning

Förfinningar och delrum

Ett par Kuratowski-stängningar $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)$ så att $\mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)$ för alla $A\in \wp (X)$ inducerar topologier $\tau _{1},\tau _{2}$ så att $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$ och vice versa. Med andra ord dominerar $\mathbf {c} _{1}$$\mathbf {c} _{2}$ om och endast om topologin som induceras av den senare är en förfining av topologi inducerad av den förra, eller motsvarande ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[ \mathbf {c} _{2}]$ . Till exempel $\mathbf {c} _{\top }$ tydligt $\mathbf {c} _{\bot }$ (det senare är bara identiteten på ${ \displaystyle \wp (X)}$ ). Eftersom samma slutsats kan nås genom att ersätta $\tau _{i}$ med familjen $\kappa _{i}$ som innehåller komplementen till alla dess medlemmar, om $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ är utrustad med delordningen $\mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)$ för alla $A\in \wp (X)$ och $\mathrm {Atp} (X)$ är försedd med förfiningsordningen, då kan vi dra slutsatsen att ${\mathfrak {S}}$ är en antitonisk mappning mellan poset.

I vilken inducerad topologi som helst (relativt till delmängden A ) inducerar de slutna uppsättningarna en ny stängningsoperator som bara är den ursprungliga stängningsoperatorn begränsad till A : ${\displaystyle \mathbf {c } _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)} ,$ för alla $B\subseteq A$ .

Kontinuerliga kartor, stängda kartor och homeomorfismer

En funktion ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')} är$ kontinuerlig i en punkt ${ \displaystyle p}$ iff $p\in \mathbf {c} (A)\Högerpil f(p)\in \mathbf { c} '(f(A))$ , och den är kontinuerlig överallt iff

$$f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))$$

för alla delmängder $A\in \wp (X)$ . Mappningen $f$ är en sluten karta om den omvända inkluderingen gäller, och det är en homeomorfism om den är både kontinuerlig och stängd, dvs om likheten gäller.

Separationsaxiom

Låt $(X,\mathbf {c} )$ vara ett Kuratowski-stängningsutrymme. Sedan

• $X$ är ett ₀ T -mellanslag iff $x\neq y$ innebär $\mathbf {c} (\{x\ })\neq \mathbf {c} (\{y\})$ ;
• $X$ är ett T ₁ -mellanslag iff $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$ för alla $x\in X$ ;
• $X$ är ett T ₂ -mellanslag iff $x\neq y$ antyder att det finns en mängd $A\in \wp (X)$ så att både $x\notin \mathbf {c} (A)$ och $y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} ( A))$ , där $\mathbf {n}$ är setkomplementoperatorn.

Närhet och separation

En punkt $p$ är nära en delmängd $A$ om $p\in \mathbf {c} (A).$ Detta kan användas för att definiera en närhetsrelation på punkter och delmängder av en mängd.

Två uppsättningar $A,B\in \wp (X)$ separeras om $( A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing$ . Mellanrummet $X$ är anslutet om det inte kan skrivas som en förening av två separerade delmängder.

Se även

• Karakteriseringar av kategorin topologiska utrymmen
• Čech stängningsoperatör – Stängningsoperatör Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Stängningsoperatör – matematisk operatör Sidor som visar wikidatabeskrivningar som en reserv
• Stängningsalgebra
• Förslutningsoperatör – Förslutningsoperatör
• Pretopologiskt utrymme – Generaliserat topologiskt utrymme
• Topologiskt rum – Matematiskt rum med en föreställning om närhet

Anteckningar

• Kuratowski, Kazimierz (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [Om operationen A in Analysis Situs] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (på franska), vol. 3, s. 182–199 .
•    Kuratowski, Kazimierz (1966) [1958], Topology , vol. I, översatt av Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1 , LCCN 66029221 .
  • —— (2010). "Om operationsanalyssituationen" . ResearchGate . Översatt av Mark Bowron.
•    Pervin, William J. (1964), Boas, Ralph P. Jr. (red.), Foundations of General Topology , Academic Press, ISBN 9781483225159 , LCCN 64-17796 .
•    Arkhangel'skij, AV; Fedorchuk, VV (1990) [1988], Gamkrelidze, RV; Arkhangel'skij, AV; Pontryagin, LS (red.), General Topology I , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 17, översatt av O'Shea, DB, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3 , LCCN 89-26209 .
•   Monteiro, António (september 1943), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Karakterisering av driften av stängning med ett enda axiom], Portugaliae mathematica (på franska) (publicerad 1945), vol. 4, nr. 4, s. 158–160, Zbl 0060.39406 .

externa länkar

• Alternativa karaktäriseringar av topologiska utrymmen