Räknebart kedjeskick

I ordningsteorin sägs en partiellt ordnad uppsättning X uppfylla villkoret för den räknebara kedjan , eller vara ccc , om varje stark antikedja i X är räknebar .

Översikt

Det finns egentligen två villkor: de uppåt- och nedåträknade kedjeförhållandena. Dessa är inte likvärdiga. Det räknebara kedjetillståndet betyder det nedåträknade kedjetillståndet, med andra ord inga två element har en gemensam nedre gräns.

Detta kallas det "räknebara kedjetillståndet" snarare än den mer logiska termen "räknebart antikedjetillstånd" av historiska skäl relaterat till vissa kedjor av öppna uppsättningar i topologiska utrymmen och kedjor i kompletta booleska algebror, där kedjeförhållanden ibland råkar vara likvärdiga med antikedja betingelser. Till exempel, om κ är en kardinal, då i en komplett boolesk algebra har varje antikedja storlek mindre än κ om och endast om det inte finns någon fallande κ-sekvens av element, så kedjeförhållanden är ekvivalenta med antikedjeförhållanden.

Delordningar och mellanslag som uppfyller ccc används i uttalandet av Martins axiom .

I teorin om forcering används ccc-delorder eftersom forcering med någon generisk uppsättning över en sådan order bevarar kardinaler och kofinaliteter. Dessutom bevaras ccc-egenskapen av finita stöditerationer (se itererad forcering ) . För mer information om ccc i samband med forcering, se Forcering (mängdlära) § Det countable chain condition .

Mer generellt, om κ är en kardinal, sägs en poset uppfylla κ-kedjans villkor om varje antikedja har storlek mindre än κ. Det räknebara kedjetillståndet är ℵ ₁ -kedjetillståndet.

Exempel och egenskaper inom topologi

Ett topologiskt utrymme sägs uppfylla det räknebara kedjevillkoret, eller Suslins villkor , om den partiellt ordnade uppsättningen av icke-tomma öppna delmängder av X uppfyller det räknebara kedjevillkoret, dvs varje parvis disjunkt samling av icke-tomma öppna undermängder av X är räknebar . Namnet kommer från Suslins Problem .

• Varje separerbart topologiskt utrymme är ccc. Dessutom är produktutrymmet på högst ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ separerbara utrymmen ett separerbart utrymme och därmed ccc.
• Ett metriskt utrymme är ccc om och bara om det är separerbart.
• I allmänhet behöver ett ccc-topologiskt utrymme inte vara separerbart. Till exempel är $\{0,1\}^{2^{2^{\aleph _{0}}}}$ med produkttopologin ccc, dock inte separerbar.
• Paracompact ccc utrymmen är Lindelöf .

•   Jech, Thomas (2003), Set Theory: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Produkter från Separable Spaces, KA Ross och AH Stone. The American Mathematical Monthly 71(4):pp. 398–403 (1964)