Order-5 hexagonal kakel honeycomb

Order-5 hexagonal kakel bikaka
Perspektiv projektionsvy från mitten av Poincaré skivmodell
Typ	Hyperbolisk vanlig honeycomb Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	{6,3,5}
Coxeter-Dynkin diagram	↔
Celler	{6,3}
Ansikten	hexagon {6}
Kantfigur	femhörning {5}
Vertex figur	icosahedron
Dubbel	Order-6 dodekaedrisk honungskaka
Coxeter grupp	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Regelbunden

Inom området hyperbolisk geometri uppstår den sexkantiga bikakan av ordning 5 som en av 11 vanliga parakompakta bikakor i 3-dimensionell hyperbolisk rymd . Den är parakompakt eftersom den har celler som består av ett oändligt antal ansikten. Varje cell består av en hexagonal plattsättning vars hörn ligger på en horosfär , ett plant plan i hyperbolisk rymd som närmar sig en enda idealpunkt i oändligheten.

Schläfli -symbolen för den sexkantiga bikakan av ordning 5 är {6,3,5}. Eftersom den sexkantiga plattsättningen är {6,3} har denna bikaka fem sådana sexkantiga plattor som möts vid varje kant. Eftersom Schläfli-symbolen för ikosaedern är {3,5}, är vertexfiguren på denna bikake en ikosaeder. Således möts 20 hexagonala plattor vid varje spets av denna bikaka.

En geometrisk bikaka är en rymdfyllning av polyedriska eller högre dimensionella celler , så att det inte finns några luckor. Det är ett exempel på den mer allmänna matematiska plattsättningen eller tessellationen i valfritt antal dimensioner.

Bikakor konstrueras vanligtvis i vanligt euklidiskt ("platt") utrymme, som de konvexa enhetliga bikakorna . De kan också konstrueras i icke-euklidiska utrymmen , såsom hyperboliska enhetliga honeycombs . Vilken ändlig enhetlig polytop som helst kan projiceras till sin omkrets för att bilda en enhetlig bikaka i sfäriskt utrymme.

Symmetri

En lägre symmetrikonstruktion av index 120, [6,(3,5) ^* ], existerar med vanliga dodekaedriska fundamentala domäner och ett icosaedriskt Coxeter-Dynkin-diagram med 6 axiella oändliga ordningsgrenar (ultraparallella).

Bilder

Den sexkantiga bikakan av ordning 5 liknar den 2D hyperboliska vanliga parakompakta ordning 5 apeirogonala plattorna , {∞,5}, med fem apeirogonala ytor som möts runt varje vertex.

Besläktade polytoper och bikakor

Order-5 hexagonal kakel honeycomb är en vanlig hyperbolisk honeycomb i 3-mellanrum, och en av 11 som är parakompakta.

11 paracompact vanliga honeycombs
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Det finns 15 enhetliga vaxkakor i [6,3,5] Coxeter- gruppfamiljen, inklusive denna vanliga form, och dess vanliga dubbla, den dodekaedriska bikaksformen ordning-6 .

[6,3,5] familjens honungskakor
{6,3,5}	r{6,3,5}	t{6,3,5}	rr{6,3,5}	t _0,3 {6,3,5}	tr{6,3,5}	t _0,1,3 {6,3,5}	t _0,1,2,3 {6,3,5}


{5,3,6}	r{5,3,6}	t{5,3,6}	rr{5,3,6}	2t{5,3,6}	tr{5,3,6}	t _0,1,3 {5,3,6}	t _0,1,2,3 {5,3,6}

Den sexkantiga bikakan av ordning 5 har en besläktad alternerande bikaka, representerad av ↔ , med icosaeder och triangulära kakelceller.

Det är en del av sekvensen av vanliga hyperboliska bikakor av formen {6,3,p}, med hexagonala kakelfasetter:

{6,3,p} honungskakor
Plats	H ³
Form	Paracompact				Icke-kompakt
namn	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
bild
Hönsfigur {3 , p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Det är också en del av en sekvens av vanliga polychora och honungskakor med icosaedriska vertexfigurer:

{p,3,5} polytoper
Plats	S ³	H ³
Form	Ändlig	Kompakt		Paracompact	Icke-kompakt
namn	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Bild
Celler	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Rättad order-5 hexagonal kakel honeycomb

Rättad order-5 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	r{6,3,5} eller t ₁ {6,3,5}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3,5} r{6,3} eller h ₂ {6,3}
Ansikten	triangel {3} sexkant {6}
Vertex figur	femkantigt prisma
Coxeter grupper	${{\overline {HV}}_{3}}$ , [5,3,6] ${{\overline {HP}}_{3}}$ , [5,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv

Den rätade ordning-5 hexagonala kakelbikakan , t ₁ {6,3,5}, har icosaeder och trihexagonala kakelfasetter, med en femkantig prisma vertexfigur .

Det liknar den 2D-hyperboliska oändliga kvadratiska plattsättningen , r{∞,5} med femkantiga och apeirogonala ytor. Alla hörn är på den ideala ytan.

r{p,3,5}
Plats	S ³	H ³
Form	Ändlig	Kompakt		Paracompact	Icke-kompakt
namn	r{3,3,5}	r{4,3,5}	r{5,3,5}	r{6,3,5}	r{7,3,5}	... r{∞,3,5}
Bild
Celler {3,5}	r{3,3}	r{4,3}	r{5,3}	r{6,3}	r{7,3}	r{∞,3}

Stympad order-5 sexkantig kakel bikaka

Stympad order-5 sexkantig kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t{6,3,5} eller t _0,1 {6,3,5}
Coxeter diagram
Celler	{3,5} t{6,3}
Ansikten	triangel {3} dodecagon {12}
Vertex figur	femkantig pyramid
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den avkortade sexkantiga bikakan av ordning 5 , t _0,1 {6,3,5}, har icosaeder och avkortade sexkantiga kakelfasetter, med en femkantig pyramidformad vertexfigur .

Bitruncated order-5 hexagonal kakel bikaka

Bitruncated order-5 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	2t{6,3,5} eller t _1,2 {6,3,5}
Coxeter diagram	↔
Celler	t{3,6} t{3,5}
Ansikten	femkant {5} sexkant {6}
Vertex figur	digonal disfenoid
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6] ${\overline {HP}}_{3}$ , [5, 3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den bitrunkerade ordning-5 hexagonala kakelbikakan , t _1,2 {6,3,5}, har sexkantig plattsättning och trunkerade ikosaederfasetter , med en digonal disfenoid vertexfigur .

Kantellerad ordning-5 hexagonal kakel honeycomb

Kantellerad ordning-5 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	rr{6,3,5} eller t _0,2 {6,3,5}
Coxeter diagram
Celler	r{3,5} rr{6,3} {}x{5}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} femkant {5} sexkant {6}
Vertex figur	kil
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den hexagonala bikakan med kantellerad ordning 5 , t _0,2 {6,3,5}, har icosidodecahedron , rhombitrihexagonal plattsättning och femkantiga prismafasetter, med en kilformad vertexfigur .

Cantitruncated order-5 hexagonal kakel bikaka

Cantitruncated order-5 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	tr{6,3,5} eller t _0,1,2 {6,3,5}
Coxeter diagram
Celler	t{3,5} tr{6,3} {}x{5}
Ansikten	kvadratisk {4} femkant {5} sexkant {6} tvåhörning {12}
Vertex figur	spegelvänd sphenoid
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den cantitruncated order-5 hexagonala plattsättningsbikakan , t _0,1,2 {6,3,5}, har trunkerad icosahedron , trunkerad trihexagonal plattsättning och femkantiga prismafasetter, med en spegelvänd sphenoid vertexfigur .

Runcinated order-5 hexagonal kakel honeycomb

Runcinated order-5 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t _0,3 {6,3,5}
Coxeter diagram
Celler	{6,3} {5,3} {}x{6} {}x{5}
Ansikten	kvadratisk {4} femkant {5} sexkant {6}
Vertex figur	oregelbunden triangulär antiprisma
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcinerade ordning-5 hexagonala kakelbikakan , t _0,3 {6,3,5}, har dodekaeder , hexagonal plattsättning , femkantig prisma och hexagonala prismafasetter, med en oregelbunden triangulär antiprisma vertexfigur .

Runcitruncated order-5 hexagonal kakel bikaka

Runcitruncated order-5 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t _0,1,3 {6,3,5}
Coxeter diagram
Celler	t{6,3} rr{5,3} {}x{5} {}x{12}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} femkant {5} tvåhörning {12}
Vertex figur	likbent-trapesformad pyramid
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcitruncated order-5 hexagonala plattsättningsbikakan , t _0,1,3 {6,3,5}, har trunkerad hexagonal plattsättning , rhombicosidodecahedron , pentagonal prisma och todekagonala prismaceller , med en likbent trapetsformad vertexform p .

Runcicantellated order-5 hexagonal kakel bikaka

Den runcikantellerade ordning-5 hexagonala kakelbikakan är densamma som den runcikantellerade ordnings-6 dodekaedriska honungskakan .

Omnitruncated order-5 hexagonal kakel honeycomb

Omnitruncated order-5 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t _0,1,2,3 {6,3,5}
Coxeter diagram
Celler	tr{6,3} tr{5,3} {}x{10} {}x{12}
Ansikten	kvadratisk {4} sexkant {6} dekagon {10} tvåhörning {12}
Vertex figur	oregelbunden tetraeder
Coxeter grupper	${\overline {HV}}_{3}$ , [5,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den omnitruncerade ordningen-5 hexagonala plattsättningsbikakan , t _0,1,2,3 {6,3,5}, har trunkerad trihexagonal plattsättning , trunkerad icosidodecahedron , dekagonal prisma , och todekagonala prismafacetter , med en oregelbunden vertexral tetrahed .

Alternerad ordning-5 hexagonal kakel bikaka

Alternerad ordning-5 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact uniform honeycomb Halvregelbunden honeycomb
Schläfli symbol	h{6,3,5}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3 ^[3] } {3,5}
Ansikten	triangel {3}
Vertex figur	stympad icosahedron
Coxeter grupper	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv, kvasiregelbunden

Den hexagonala bikakan med alternerande ordning 5 , h{6,3,5}, ↔ , har triangulära kakel och icosahedron- facetter, med en stympad icosahedron vertexfigur . Det är en kvasiregelbunden honungskaka .

Cantic order-5 hexagonal kakel honeycomb

Cantic order-5 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	h ₂ {6,3,5}
Coxeter diagram	↔
Celler	h ₂ {6,3} t{3,5} r{5,3}
Ansikten	triangel {3} femkant {5} sexkant {6}
Vertex figur	trekantsprisma
Coxeter grupper	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den cantic order-5 hexagonala kakelformade honeycomb , h ₂ {6,3,5}, ↔ , har trihexagonal plattsättning , trunkerad icosahedron , och icosidodecahedron facetter, med en triangulär prisma vertex figur .

Runcic order-5 hexagonal kakel bikaka

Runcic order-5 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	h ₃ {6,3,5}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3 ^[3] } rr{5,3} {5,3} {}x{3}
Ansikten	triangel {3} kvadratisk {4} femkant {5}
Vertex figur	trekantig kupol
Coxeter grupper	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runkiska ordningen-5 hexagonala kakelbikakan , h ₃ {6,3,5}, ↔ , har triangulära plattor , rhombicosidodecahedron , dodecahedron och triangulära prismafacetter , med en triangulär kupolvertexfigur .

Runcicantic order-5 hexagonal kakel bikaka

Runcicantic order-5 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	h _2,3 {6,3,5}
Coxeter diagram	↔
Celler	h ₂ {6,3} tr{5,3} t{5,3} {}x{3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6} dekagon {10}
Vertex figur	rektangulär pyramid
Coxeter grupper	${\overline {HP}}_{3}$ , [5,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcicantic order-5 hexagonala plattsättningsbikakan , h _2,3 {6,3,5}, ↔ , har trihexagonal plattsättning , stympad icosidodecahedron , trunkerad dodecahedron och triangulära prismafasetter , med en rektangulär pyramidpunktsfigur .

Se även

^ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Kapitel 10, Tabell III

Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space ) Tabell III
Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitel 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II)
Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuskript
- NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Kapitel 13: Hyperboliska Coxeter-grupper

[1] Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Kapitel 10, Tabell III