Order-4 hexagonal kakel bikaka

Order-4 hexagonal kakel honeycomb
Perspektiv projektionsvy inom Poincaré diskmodell
Typ	Hyperbolisk vanlig honeycomb Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	{6,3,4} {6,3 1,1 } t 0,1 {(3,6) 2 }
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔
Celler	{6,3}
Ansikten	hexagon {6}
Kantfigur	kvadrat {4}
Vertex figur	oktaeder
Dubbel	Beställ-6 kubisk honungskaka
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6, 3 1,1 ] ${\widehat {VV}}_{3}$ , [(6,3) [2] ]
Egenskaper	Regelbunden, nästan regelbunden

Inom området hyperbolisk geometri uppstår den sexkantiga bikakan av ordning 4 som en av 11 vanliga parakompakta bikakor i 3-dimensionell hyperbolisk rymd . Den är parakompakt eftersom den har celler som består av ett oändligt antal ansikten. Varje cell är en hexagonal plattsättning vars hörn ligger på en horosfär : ett platt plan i hyperbolisk rymd som närmar sig en enda idealpunkt i oändligheten.

En geometrisk bikaka är en rymdfyllning av polyedriska eller högre dimensionella celler , så att det inte finns några luckor. Det är ett exempel på den mer allmänna matematiska plattsättningen eller tessellationen i valfritt antal dimensioner.

Bikakor konstrueras vanligtvis i vanligt euklidiskt ("platt") utrymme, som de konvexa enhetliga bikakorna . De kan också konstrueras i icke-euklidiska utrymmen , såsom hyperboliska enhetliga honeycombs . Vilken ändlig enhetlig polytop som helst kan projiceras till sin omkrets för att bilda en enhetlig bikaka i sfäriskt utrymme.

Schläfli -symbolen för den sexkantiga bikakan av ordning 4 är {6,3,4}. Eftersom den för den sexkantiga plattsättningen är {6,3} har denna bikaka fyra sådana sexkantiga plattor som möts vid varje kant. Eftersom Schläfli-symbolen för oktaedern är {3,4}, är vertexfiguren för denna bikake en oktaeder. Således möts åtta hexagonala plattor vid varje vertex av denna bikaka, och de sex kanterna som möts vid varje vertex ligger längs tre ortogonala axlar.

Bilder

Perspektivprojektion	En cell, sett från utanför Poincare-sfären
Topparna av en t{(3,∞,3)} , plattsättning existerar som en 2- hypercykel inom denna bikaka	Bikakan är analog med H 2 order-4 apeirogonal plattsättning , {∞,4}, som visas här med en grön apeirogon som beskrivs av dess horocykel

Symmetri

Undergruppsrelationer

Order-4 hexagonala bikakeplattor har tre reflekterande simplexsymmetrikonstruktioner.

Den halvsymmetriska enhetliga konstruktionen {6,3 ^1,1 } har två typer (färger) av hexagonala plattor, med Coxeter-diagram ↔ . En kvartssymmetrisk konstruktion finns också, med fyra färger av sexkantiga plattor: .

Ytterligare två reflekterande symmetrier finns med icke-enkla fundamentala domäner: [6,3 ^* ,4], vilket är index 6, med Coxeter-diagram ; och [6,(3,4) ^* ], vilket är index 48. Det senare har en kubisk fundamental domän och ett oktaedriskt Coxeter-diagram med tre axiella oändliga grenar: . Det kan ses som att man använder åtta färger för att färga de hexagonala plattorna på honungskakan.

Order-4 hexagonala bikakeplattor innehåller , som belägger 2- hypercykelytor och liknar den trunkerade triangulära plattsättningen i oändlig ordning , :

Besläktade polytoper och bikakor

Order-4 hexagonal kakel honeycomb är en vanlig hyperbolisk honeycomb i 3-utrymmen, och en av 11 som är parakompakta.

Det finns femton enhetliga bikakor i [6,3,4] Coxeter- gruppfamiljen, inklusive denna vanliga form, och dess dubbla , ordningen -6 kubiska honeycomb .

Den sexkantiga bikakan av ordning 4 har en besläktad alternerad bikaka, ↔ , med triangulär plattsättning och oktaederceller .

Det är en del av sekvensen av vanliga bikakor av formen {6,3,p}, som alla är sammansatta av hexagonala kakelceller:

{6,3,p} honungskakor
Plats	H 3
Form	Paracompact				Icke-kompakt
namn	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
bild
Hönsfigur {3 , p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Denna honeycomb är också relaterad till 16-cells , kubisk honeycomb och order-4 dodecahedral honeycomb , som alla har oktaedriska vertexfigurer.

{s,3,4} vanliga bikakor
Plats	S 3	E 3	H 3
Form	Ändlig	Affine	Kompakt	Paracompact	Icke-kompakt
namn	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Bild
Celler	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Ovannämnda bikakor är också kvasiregelbundna:

Regelbundna och kvasiregelbundna bikakor: {p,3,4} och {p,3 1,1 }
Plats	Euklidiskt 4-utrymme	Euklidiskt 3-utrymme	Hyperboliskt 3-mellanslag
namn	{3,3,4} {3,3 1,1 } = $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$
Coxeter diagram	=	=	=	=
Bildceller {s
, 3}

Rättad order-4 hexagonal kakel honeycomb

Rättad order-4 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	r{6,3,4} eller t 1 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔
Celler	{3,4} r{6,3}
Ansikten	triangel {3} sexkant {6}
Vertex figur	fyrkantigt prisma
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4, 3 [3] ] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 1,1 ] ${\overline {DP}}_{3 }$ , [3 []×[] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv

Den rätade ordnings-4 hexagonala bikakan , t ₁ {6,3,4}, har oktaedriska och trihexagonala kakelfasetter, med en kvadratisk prisma vertexfigur .

Det liknar den 2D hyperboliska tetraapeirogonala plattsättningen , r{∞,4}, som alternerar apeirogonala och kvadratiska ytor:

Stympad order-4 sexkantig kakel bikaka

Stympad order-4 sexkantig kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t{6,3,4} eller t 0,1 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3,4} t{6,3}
Ansikten	triangel {3} dodecagon {12}
Vertex figur	fyrkantig pyramid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6, 3 1,1 ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den avkortade sexkantiga bikakan av ordning 4 , t _0,1 {6,3,4}, har oktaeder och avkortade sexkantiga kakelfasetter, med en fyrkantig pyramidformad vertexfigur .

Det liknar den 2D hyperboliska trunkerade ordningen-4 apeirogonala plattorna , t{∞,4}, med apeirogonala och kvadratiska ytor:

Bitruncated order-4 hexagonal kakel bikaka

Bitruncated order-4 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	2t{6,3,4} eller t 1,2 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔
Celler	t{4,3} t{3,6}
Ansikten	kvadratisk {4} sexkant {6}
Vertex figur	digonal disfenoid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4, 3 [3] ] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 1,1 ] ${\overline {DP}}_{3 }$ , [3 []×[] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den bitrunkerade ordning-4 hexagonala plattsättningsbikakan , t _1,2 {6,3,4}, har trunkerade oktaederceller och hexagonala tegelceller , med en digonal disfenoid vertexfigur .

Kantellerad order-4 hexagonal kakel bikaka

Kantellerad order-4 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	rr{6,3,4} eller t 0,2 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	r{3,4} {}x{4} rr{6,3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6}
Vertex figur	kil
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6, 3 1,1 ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den hexagonala bikakan med kantellerad ordning 4 , t _0,2 {6,3,4}, har cuboctahedron- , kub- och rhombitrihexagonala kakelceller, med en kilformad vertexfigur .

Cantitruncated order-4 hexagonal kakel bikaka

Cantitruncated order-4 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	tr{6,3,4} eller t 0,1,2 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	t{3,4} {}x{4} tr{6,3}
Ansikten	fyrkantig {4} hexagon {6} dodecagon {12}
Vertex figur	spegelvänd sphenoid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6, 3 1,1 ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den cantitruncated order-4 hexagonala plattsättningsbikakan , t _0,1,2 {6,3,4}, har trunkerade oktaeder- , kub- och trunkerade trihexagonala kakelceller, med en spegelvänd sphenoid vertexfigur .

Runcinated order-4 hexagonal kakel honeycomb

Runcinated order-4 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t 0,3 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	{4,3} {}x{4} {6,3} {}x{6}
Ansikten	kvadratisk {4} sexkant {6}
Vertex figur	oregelbunden triangulär antiprisma
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcinerade ordning-4 hexagonala kakelhonungskakan , t _0,3 {6,3,4}, har kub , hexagonal plattsättning och hexagonala prismaceller , med en oregelbunden triangulär antiprisma vertexfigur .

Den innehåller den 2D hyperboliska rhombitetrahexagonala plattsättningen , rr{4,6}, med fyrkantiga och sexkantiga ytor. Kakelplattan har även en halvsymmetrikonstruktion .

	=

Runcitruncated order-4 hexagonal kakel honeycomb

Runcitruncated order-4 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t 0,1,3 {6,3,4}
Coxeter diagram
Celler	rr{3,4} {}x{4} {}x{12} t{6,3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} dodecagon {12}
Vertex figur	likbent-trapesformad pyramid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcitrunkerade ordnings-4 hexagonala plattsättningsbikakan , t _0,1,3 {6,3,4}, har rombikuboktaeder , kub , tvåsidigt prisma och avkortade sexkantiga kakelceller, med en likbent trapetsformad pyramidformad vertexform .

Runcicantellated order-4 hexagonal kakel bikaka

Den runcikantella ordning-4 hexagonala bikakan är densamma som den runcikantella ordningen-6 kubiska bikakan .

Omnitruncated order-4 hexagonal kakel bikaka

Omnitruncated order-4 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	t 0,1,2,3 {6,3,4}
Coxeter diagram
Celler	tr{4,3} tr{6,3} {}x{12} {}x{8}
Ansikten	kvadratisk {4} sexkant {6} oktagon {8} tvåhörning {12}
Vertex figur	oregelbunden tetraeder
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den omnitrunkerade ordnings-4 hexagonala kakelhonungskakan , t _0,1,2,3 {6,3,4}, har stympad kuboktaeder , stympad trihexagonal plattsättning , tvåsidigt prisma och oktagonala prismaceller , med en oregelbunden tetrahedron vertexfigur .

Alternerad ordning-4 hexagonal kakel bikaka

Alternerad ordning-4 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact uniform honeycomb Halvregelbunden honeycomb
Schläfli symboler	h{6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3 [3] } {3,4}
Ansikten	triangel {3}
Vertex figur	stympad oktaeder
Coxeter grupper	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 [3] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv, kvasiregelbunden

Den alternerade ordningen-4 hexagonala plattsättningsbikakan , ↔ , är sammansatt av triangulära plattsättnings- och oktaederceller , i en stympad oktaederformad vertexfigur .

Cantic order-4 hexagonal kakel honeycomb

Cantic order-4 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	h 2 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	h 2 {6,3} t{3,4} r{3,4}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6}
Vertex figur	kil
Coxeter grupper	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 [3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den cantic order-4 hexagonala tegel honeycomb , ↔ , är sammansatt av trihexagonal plattsättning , trunkerade octahedron , och cuboctahedron celler, med en kil vertex figur .

Runcic order-4 hexagonal kakel honeycomb

Runcic order-4 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	h 3 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3 [3] } rr{3,4} {4,3} {}x{3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4}
Vertex figur	trekantig kupol
Coxeter grupper	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 [3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcic order-4 hexagonala tegel honeycomb , ↔ , är sammansatt av triangulära kakel , rhombicuboctahedron , kub och triangulära prisma celler, med en triangulär kupol vertex figur .

Runcicantic order-4 hexagonal kakel bikaka

Runcicantic order-4 hexagonal kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	h 2,3 {6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	h 2 {6,3} tr{3,4} t{4,3} {}x{3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6} oktagon {8}
Vertex figur	rektangulär pyramid
Coxeter grupper	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 [3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcicantic ordning-4 hexagonala tegel honeycomb , ↔ , är sammansatt av trihexagonal plattsättning , trunkerad cuboctahedron , trunkerad kub och triangulära prisma celler, med en rektangulär pyramid vertex figur .

Quarter order-4 hexagonal kakel honeycomb

Quarter order-4 hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	q{6,3,4}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3 [3] } {3,3} t{3,3} h 2 {6,3}
Ansikten	triangel {3} sexkant {6}
Vertex figur	trekantig kupol
Coxeter grupper	${\overline {DP}}_{3}$ , [3 []x[] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Kvartsordningen -4 hexagonala tetrahedronceller , q{6,3,4}, eller , består av triangulärt kakel , trihexagonalt plattsättning , tetraeder och trunkerade tetraederceller , med en triangulär kupolvertexfigur .

Se även

• Konvexa enhetliga bikakor i hyperboliskt utrymme
• Regelbundna tesselleringar av hyperboliskt 3-mellanslag
• Paracompact enhetliga honungskakor

•   Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
•     The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space ) Tabell III
•   Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitel 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II)
• Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuskript
  • NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
  • NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Kapitel 13: Hyperboliska Coxeter-grupper