Enhetliga honungskakor i hyperboliskt utrymme

I hyperbolisk geometri är en enhetlig bikaka i hyperbolisk rymd en enhetlig tessellation av enhetliga polyedriska celler . I 3-dimensionell hyperbolisk rymd finns det nio Coxeter- gruppfamiljer av kompakta konvexa enhetliga honeycombs , genererade som Wythoff-konstruktioner , och representerade av permutationer av ringar av Coxeter-diagrammen för varje familj.

Olöst problem i matematik :

Hitta den kompletta uppsättningen av hyperboliska enhetliga honungskakor.

(fler olösta problem i matematik)

Fyra kompakta vanliga hyperboliska honungskakor

Order-4 dodekaedrisk honungskaka {5,3,4}	Order-5 dodekaedrisk honeycomb {5,3,5}
Beställning-5 kubisk honungskaka {4,3,5}	Ikosaedrisk honungskaka {3,5,3}
Poincaré bollmodellprojektioner

Hyperboliska enhetliga bikakefamiljer

Bikakor är uppdelade mellan kompakta och parakompakta former definierade av Coxeter-grupper , den första kategorin inkluderar endast ändliga celler och vertexfigurer (ändliga undergrupper), och den andra inkluderar affina undergrupper.

Kompakta enhetliga bikakefamiljer

De nio kompakta Coxeter-grupperna listas här med sina Coxeter-diagram , i ordning efter de relativa volymerna för deras fundamentala simplexdomäner .

Dessa 9 familjer genererar totalt 76 unika enhetliga honungskakor. Den fullständiga listan över hyperboliska enhetliga bikakor har inte bevisats och ett okänt antal icke-wythoffska former finns. Två kända exempel citeras med {3,5,3}-familjen nedan. Endast två familjer är släkt som en spegelborttagningshalvering: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,3,4,1 ⁺ ].

Indexerad	Fundamental simplex volym	Witt symbol	Coxeter notation	Kommutator undergrupp	Coxeter diagram	Honeycombs
H 1	0,0358850633	${\bar {BH}}_{3}$	[5,3,4]	[(5,3) + ,4,1 + ] = [5,3 1,1 ] +		15 blanketter, 2 vanliga
H 2	0,0390502856	${\bar {J}}_{3}$	[3,5,3]	[3,5,3] +		9 former, 1 vanlig
H 3	0,0717701267	${\bar {DH}}_{3}$	[5,3 1,1 ]	[5,3 1,1 ] +		11 formulär (7 överlappar med [5,3,4] familj, 4 är unika)
H 4	0,0857701820	${\widehat {AB}}_{3}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)] +		9 former
H 5	0,0933255395	${\bar {K}}_{3}$	[5,3,5]	[5,3,5] +		9 former, 1 vanlig
H 6	0,2052887885	${\widehat {AH}}_{3}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)] +		9 former
H 7	0,2222287320	${\widehat {BB}}_{3}$	[(4,3) [2] ]	[(4,3 + ,4,3 + )]		6 former
H 8	0,3586534401	${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)] +		9 former
H 9	0,5021308905	${\widehat {HH}}_{3}$	[(5,3) [2] ]	[(5,3) [2] ] +		6 former

Det finns bara två radikala undergrupper med icke-enkla domäner som kan genereras genom att ta bort en uppsättning av två eller flera speglar separerade av alla andra speglar av jämn ordningsgrenar. Den ena är [(4,3,4,3 ^* )], representerad av Coxeter-diagram, en index 6-undergrupp med en trigonal trapezoeder fundamental domän ↔ , som kan utökas genom att återställa en spegel som . Den andra är [4,(3,5) ^* ], index 120 med en dodekaedrisk fundamental domän.

Paracompact hyperboliska enhetliga bikakor

Ytterligare information: paracompact enhetliga honeycombs

Det finns också 23 parakompakta Coxeter-grupper av rang 4 som producerar parakompakta enhetliga bikakor med oändliga eller obegränsade fasetter eller vertexfigur , inklusive idealiska hörn i oändligheten.

Hyperbolisk paracompact gruppsammanfattning

Typ	Coxeter grupper
Linjära grafer	| | | | | |
Tridentala grafer	| |
Cykliska grafer	| | | | | | | |
Loop-n-tail grafer	| | |

Andra parakompakta Coxeter-grupper existerar som Vinberg polytop fundamentala domäner, inklusive dessa triangulära bipyramid fundamentala domäner (dubbla tetraedrar) som rank 5 grafer inklusive parallella speglar. Enhetliga bikakor existerar som alla permutationer av ringar i dessa grafer, med begränsningen att minst en nod måste ringas över grenar av oändlig ordning.

Dimensionera	Rang	Grafer
H 3	5	, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , _ _ _ _

[3,5,3] familj

Det finns 9 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen : [3,5,3] eller

En relaterad icke-wythoffisk form är konstruerad från {3,5,3} vertexfiguren med 4 (tetraedriskt arrangerade) hörn borttagna, vilket skapar femkantiga antiprismor och dodekaedrar som fyller i luckorna, kallad en tetraedriskt förminskad dodekaeder . En annan är konstruerad med 2 antipodala hörn borttagna.

De bitrunkerade och runcinerade formerna (5 och 6) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyeder : {4,10|3} och {10,4|3}.

#	Honeycomb namn Coxeter diagram och Schläfli symboler	Cellantal/vertex och positioner i honeycomb				Vertex figur	Bild
		0	1	2	3
1	0 icosahedral (ikhon) t {3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	rätad icosahedral (rih) t 1 {3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	trunkerad icosahedral (tih) t 0,1 {3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	kantellerad icosahedral (srih) t 0,2 {3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	runcinerad icosahedral (spiddih) t 0,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	bitruncated icosahedral (dih) t 1,2 {3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	cantitruncated icosahedral (grih) t 0,1,2 {3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	runcitruncated icosahedral (prih) t 0,1,3 {3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	omnitruncated icosahedral (gipiddih) t 0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram och Schläfli symboler	Cellantal/vertex och positioner i honeycomb					Vertex figur	Bild
		0	1	2	3	Alt
[77]	delvis minskad icosahedral pd{3,5,3}				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
[78]	delvis minskad icosahedral spd{3,5,3}				(6) (3.3.3.5) (6) (3.3.3.3.3)	(2) (5.5.5)
Olikformigt	omnisnub icosahedral (snih) ht 0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,4] familj

Det finns 15 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen : [5,3,4] eller .

Denna familj är relaterad till gruppen [5,3 ^1,1 ] med en halvsymmetri [5,3,4,1 ⁺ ], eller ↔ , när den sista spegeln efter ordning-4-grenen är inaktiv, eller som en alternering om den tredje spegeln är inaktiv ↔ .

#	Namn på honeycomb Coxeter diagram	Celler efter plats och antal per vertex				Vertex figur	Bild
		0	1	2	3
10	order-4 dodecahedral (doehon) ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	korrigerad ordning-4 dodekaedral (riddoh) ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	korrigerad ordning-5 kubik (ripech) ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	order-5 kubik (pechon)	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	trunkerad ordning-4 dodekaedrisk (tiddoh) ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	bitrunkerad ordning-5 kubik (ciddoh) ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	trunkerad ordning - 5 kubik (tipech)	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	kantellerad ordning-4 dodekaedral (sriddoh) ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	kantellerad order-5 kubik (sripech)	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	runcinerad ordning - 5 kubik (sidpicdoh)	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	cantitruncated order-4 dodecahedral (griddoh) ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21	cantitruncated order-5 cubic (gripech)	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	runcitruncated order-4 dodecahedral (pripech)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	runcitruncated order-5 kubik (priddoh)	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	omnitruncerad ordning - 5 kubik (gidpicdoh)	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Namn på honeycomb Coxeter diagram	Celler efter plats och antal per vertex					Vertex figur	Bild
		0	1	2	3	Alt
[34]	omväxlande ordning-5 kubik (apech) ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	cantic order-5 kubik (tapech) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	runkisk ordning-5 kubik (birapech) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	runcicantic order-5 kubik (bitapech) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
Olikformigt	snub korrigerad order-4 dodekaedral	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)	Irr. treförminskad icosahedron
Olikformigt	runcic snub rätad order-4 dodekaedrisk	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+ (3.3.3)
Olikformigt	omnisnub order-5 kubik	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,5] familj

Det finns 9 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen : [5,3,5] eller

De bitrunkerade och runcinerade formerna (29 och 30) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyedrar : {4,6|5} och {6,4|5}.

#	Namn på honeycomb Coxeter diagram	Celler efter plats och antal per vertex				Vertex figur	Bild
		0	1	2	3
25	0 (Vanlig) Order-5 dodecahedral (pedhon) t {5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	korrigerad ordning-5 dodekaedrisk (rippad) t 1 {5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	trunkerad ordning-5 dodekaedrisk (tippad) t 0,1 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28	kantellerad ordning-5 dodekaedrisk (avriven) t 0,2 {5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	Runcinerad ordning-5 dodekaedrisk (spiddad) t 0,3 {5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	bitruncated order-5 dodecahedral (diddoh) t 1,2 {5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31	cantitruncated order-5 dodecahedral (gripen) t 0,1,2 {5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	runcitruncated order-5 dodecahedral (pripped) t 0,1,3 {5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	omnitruncerad ordning-5 dodekaedrisk (gipidded) t 0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Namn på honeycomb Coxeter diagram	Celler efter plats och antal per vertex					Vertex figur	Bild
		0	1	2	3	Alt
Olikformigt	omnisnub order-5 dodecahedral ht 0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3 ^1,1 ] familj

Det finns 11 former (och endast 4 som inte delas med familjen [5,3,4]), genererade av ringpermutationer från Coxeter-gruppen : [5,3 ^1,1 ] eller . Om grenringens tillstånd matchar, kan en utökad symmetri fördubblas till [5,3,4]-familjen, ↔ .

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)				vertex figur	Bild
		0	1	0'	3
34	omväxlande ordning-5 kubik (apech) ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35	kantisk ordning-5 kubik (tapech) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	runkisk ordning-5 kubik (birapech) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	runcicantic order-5 kubik (bitapech) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram ↔	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)				vertex figur	Bild
		0	1	3	Alt
[10]	Ordning-4 dodekaedral (doehon) ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	korrigerad ordning-4 dodekaedral (riddoh) ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	korrigerad ordning-5 kubik (ripech) ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	bitrunkerad ordning-5 kubik (ciddoh) ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	trunkerad ordning-4 dodekaedrisk (tiddoh) ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	kantellerad ordning-4 dodekaedral (sriddoh) ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	cantitruncated order-4 dodecahedral (griddoh) ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
Olikformigt	snub rätad ordning-4 dodekaedrisk ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) + (3.3.3)	Irr. treförminskad icosahedron

[(4,3,3,3)] familj

Det finns 9 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen :

De bitrunkerade och runcinerade formerna (41 och 42) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyeder : {8,6|3} och {6,8|3}.

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)					vertex figur	Bild
		0	1	2	3	Alt
38	tetraedrisk-kubisk (gadtatdisk) {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	tetraedrisk-oktaedrisk (gacocaddit) {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	cyklotrunkerad tetraedrisk-kubisk (cytitch) ct{(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41	cyklotrunkerad kub-tetraeder (cyticth) ct{(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	cyklotrunkerad tetraedrisk-oktaedrisk (cytitoh) ct{(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43	rätad tetraedrisk-kubisk (ritch) r{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44	trunkerad tetraedrisk-kubisk (titch) t{(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	trunkerad tetraedrisk-oktaedrisk (titdoh) t{(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	omnitrunkerad tetraedrisk-kubisk (otitch) tr{(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
Olikformigt	omnisnub tetraedrisk-kubisk sr{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,3,3)] familj

Det finns 9 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen :

De bitrunkerade och runcinerade formerna (50 och 51) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyeder : {10,6|3} och {6,10|3}.

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)				vertex figur	Bild
		0	1	2	3
47	tetraedrisk-dodekaedrisk	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	tetraedrisk-ikosaedrisk	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	cyklotrunkerad tetraedrisk-dodekaedrisk	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	rätad tetraedrisk-dodekaedrisk	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	trunkerad tetraedrisk-dodekaedrisk	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	trunkerad tetraedrisk-icosahedral	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)			vertex figur	Bild
		0,1	2,3	Alt
50	cyklotrunkerad dodekaedrisk-tetraedrisk	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	cyklotrunkerad tetraedrisk-ikosaedrisk	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	omnitruncated tetraedral-dodecahedral	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
Olikformigt	omnisnub tetraedral-dodecahedral	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,4,3)] familj

Det finns 6 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen : . Det finns fyra utökade symmetrier möjliga baserat på ringarnas symmetri: , , , och .

Denna symmetrifamilj är också relaterad till en radikal undergrupp, index 6, ↔ , konstruerad av [(4,3,4,3 ^* )], och representerar en trigonal trapezhedron fundamental domän .

De trunkerade formerna (57 och 58) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyedrar : {6,6|4} och {8,8|3}.

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)				vertex figur	Bilder
		0	1	2	3
56	kubisk oktaedrisk (cohon)	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	trunkerad cubic-octahedral (tucoh)	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)			vertex figur	Bild
		0,3	1,2	Alt
57	cyklotrunkerad oktaedrisk-kubisk (cytok)	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
Olikformigt	cyklosnub oktaedrisk-kubisk	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) + (3.3.3.3)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)		vertex figur	Bild
		0,1	2,3
58	cyklotrunkerad kubisk-oktaedrisk (cytacoh)	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)		vertex figur	Bild
		0,2	1,3
59	rätad cubic-octahedral (racoh)	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)		vertex figur	Bild
		0,1,2,3	Alt
61	omnitruncated cubic-octahedral (otacoh)	(4) (4.6.8)
Olikformigt	omnisnub kubisk-oktaedrisk	(4) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,5,3)] familj

Det finns 9 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen :

De trunkerade formerna (65 och 66) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyedrar : {10,6|3} och {6,10|3}.

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)				vertex figur	Bild
		0	1	2	3
62	oktaedral-dodekaedral	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	kubisk-icosahedral	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	cyklotrunkerad oktaedrisk-dodekaedrisk	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	rätad oktaedrisk-dodekaedral	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	stympad oktaedral-dodekaedral	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	stympad kubisk-dodekaedral	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)			vertex figur	Bild
		0,1	2,3	Alt
65	cyklotrunkerad dodekaedrisk-oktaedrisk	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	cyklotrunkerad kubisk-icosahedral	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	omnitruncated octahedral-dodecahedral	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
Olikformigt	omnisnub oktaedral-dodekaedral	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,5,3)] familj

Det finns 6 former, genererade av ringpermutationer av Coxeter-gruppen : . Det finns fyra utökade symmetrier möjliga baserat på ringarnas symmetri: , , , och .

De trunkerade formerna (72 och 73) innehåller ytorna på två vanliga sneda polyeder : {6,6|5} och {10,10|3}.

#	Honeycomb namn Coxeter diagram	Celler efter plats (och räkna runt varje vertex)					vertex figur	Bild
		0	1	2	3	Alt
71	dodekaedral-icosahedral	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	cyklotrunkerad icosahedral-dodecahedral	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	cyklotrunkerad dodekaedrisk-ikosaedrisk	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	korrigerad dodekaedrisk-ikosaedrisk	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	stympad dodekaedral-icosahedral	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	omnitruncated dodecahedral-icosahedral	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
Olikformigt	omnisnub dodecahedral-icosahedral	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

Andra icke-Wythoffianer

Det finns flera andra kända icke-wythoffska enhetliga kompakta hyperboliska bikakor, och det är inte känt hur många som återstår att upptäcka. Två har listats ovan som förminskningar av den icosaedriska bikakan {3,5,3}.

1997 upptäckte Wendy Krieger en oändlig serie av enhetliga hyperboliska bikakor med pseudoicosahedriska vertexfigurer, gjorda av 8 kuber och 12 p -gonala prismor vid en vertex för vilket heltal p som helst . I fallet p = 4 är alla celler kuber och resultatet är ordningen-5 kubisk honungskaka.

Ytterligare två kända är relaterade till icke-kompakta familjer. Tessellationen består av trunkerade kuber och oändlig ordning-8 triangulära plattsättningar . Den senare skär emellertid sfären i oändligheten ortogonalt, med exakt samma krökning som det hyperboliska utrymmet, och kan ersättas av spegelbilder av resten av tessellationen, vilket resulterar i en kompakt enhetlig bikaka som endast består av de trunkerade kuberna . (Så de är analoga med halvytorna på sfäriska hemipolyedrar. ) Något liknande kan göras med tessellationen som består av små rhombicuboctaedra , oändlig ordning-8 triangulära plattsättningar och oändlig ordning-8 kvadratiska plattor . Order-8 kvadratiska plattsättningar skär redan sfären i oändligheten ortogonalt, och om order-8 triangulära plattsättningar utökas med en uppsättning triangulära prismor , skär ytan som passerar genom deras mittpunkter också sfären i oändlighet ortogonalt. Efter att ha ersatts med spegelbilder blir resultatet en kompakt bikaka som innehåller de små rhombicuboctaedrarna och de triangulära prismorna.

En annan icke-Wythoffian upptäcktes 2021. Den har som vertexfigur en snubbkub med 8 spetsar borttagna och innehåller två oktaedrar och åtta snubkuber vid varje vertex. Därefter fann Krieger en icke-Wythoffian med en snubbkub som vertexfigur, innehållande 32 tetraedrar och 6 oktaedrar vid varje vertex, och att de trunkerade och rätade versionerna av denna bikaka fortfarande är enhetliga. År 2022 generaliserade Richard Klitzing denna konstruktion till att använda vilken som helst snubb som vertexfigur: resultatet är kompakt för p=4 eller 5, parakompakt för p=6 och hyperkompakt för p>6.

Sammanfattande uppräkning av kompakta enhetliga bikakor

Detta är den fullständiga uppräkningen av de 76 Wythoffian uniforms honungskakor. Alternativen de flesta är olikformiga.

Index	Coxeter grupp	Utökad symmetri	Honeycombs		Kiral utökad symmetri	Alternerande honungskakor
H 1	${\bar {BH}}_{3}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	| | | | | | | | | | | |	[1 + ,4,(3,5) + ]	(2)	(= )
					[4,3,5] +	(1)
H 2	${\bar {J}}_{3}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6	| | | | |
		[2 + [3,5,3]]	5	| |	[2 + [3,5,3]] +	(1)
H 3	${\bar {DH}}_{3}$ [5,3 1,1 ]	[5,3 1,1 ]	4	| | |
		[1[5,3 1,1 ]]=[5,3,4] ↔	(7)	| | | | | |	[1[5,3 1,1 ]] + =[5,3,4] +	(1)
H 4	${\widehat {AB}}_{3}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(4,3,3,3)]]	3	| |	[2 + [(4,3,3,3)]] +	(1)
H 5	${\bar {K}}_{3}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6	| | | | |
		[2 + [5,3,5]]	3	| |	[2 + [5,3,5]] +	(1)
H 6	${\widehat {AH}}_{3}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(5,3,3,3)]]	3	| |	[2 + [(5,3,3,3)]] +	(1)
H 7	${\widehat {BB}}_{3}$ [(3,4) [2] ]	[(3,4) [2] ]	2	|
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1		[2 + [(3 + ,4) [2] ]]	(1)
		[(2,2) + [(3,4) [2] ]]	1		[(2,2) + [(3,4) [2] ]] +	(1)
H 8	${\widehat {BH}}_{3}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(5,3,4,3)]]	3	| |	[2 + [(5,3,4,3)]] +	(1)
H 9	${\widehat {HH}}_{3}$ [(3,5) [2] ]	[(3,5) [2] ]	2	|
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[(2,2) + [(3,5) [2] ]]	1		[(2,2) + [(3,5) [2] ]] +	(1)

Se även

• Enhetliga plattsättningar i hyperboliskt plan
• Lista över vanliga polytoper#Tessellations av hyperboliskt 3-rum

Anteckningar

• James E. Humphreys , Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
•     The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space )
•   Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
•   Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (kapitel 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II) [3]
• Coxeter Decompositions of Hyperbolic Tetrahedra , arXiv / PDF , A. Felikson, december 2002
• CWL Garner, Regular Skew Polyhedra i Hyperbolic Three-Space Burk. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [4]
• Norman Johnson , Geometries and Transformations (2018), kapitel 11,12,13
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex , Transformation Groups 1999, Volym 4, Issue 4, s 329–353 [5]
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Kommensurabilitetsklasser för hyperboliska Coxeter-grupper H ³ : p130. [6]
• Klitzing, Richard. "Hyperboliska honeycombs H3 compact" .