Horosfär
I hyperbolisk geometri är en horosfär (eller parasfär ) en specifik hyperyta i hyperboliskt n -utrymme . Det är gränsen för en horoball , gränsen för en sekvens av ökande bollar som delar (på ena sidan) ett tangenthyperplan och dess tangenspunkt. För n = 2 kallas en horosfär en horocykel .
En horosfär kan också beskrivas som gränsen för de hypersfärer som delar ett tangenthyperplan vid en given punkt, eftersom deras radier går mot oändligheten. I euklidisk geometri skulle en sådan "hypersfär med oändlig radie" vara ett hyperplan, men i hyperbolisk geometri är det en horosfär (en krökt yta).
Historia
Konceptet har sina rötter i en föreställning som FL Wachter uttryckte 1816 i ett brev till sin lärare Gauss . När han noterade att gränsen för en sfär i euklidisk geometri, eftersom dess radie tenderar till oändligheten, är ett plan, bekräftade Wachter att även om det femte postulatet var falskt, skulle det ändå finnas en geometri på ytan som är identisk med den för det vanliga planet. Termerna horosfär och horocykel beror på Lobatsjovskij , som etablerade olika resultat som visar att geometrin hos horocykler och horosfären i det hyperboliska rymden var likvärdiga med linjerna och planet i det euklidiska rymden. Termen "horoball" beror på William Thurston , som använde den i sitt arbete med hyperboliska 3-grenrör . Termerna horosfär och horoball används ofta i 3-dimensionell hyperbolisk geometri.
Modeller
I den konforma bollmodellen representeras en horosfär av en sfär som tangerar horisontsfären. I den övre halvrumsmodellen kan en horosfär visas antingen som en sfär som tangerar horisontplanet eller som ett plan parallellt med horisontplanet. I hyperboloidmodellen representeras en horosfär av ett plan vars normala ligger i den asymptotiska konen.
Krökning
En horosfär har en kritisk mängd (isotropisk) krökning: om krökningen var större skulle ytan kunna stängas, vilket ger en sfär, och om krökningen var mindre skulle ytan vara en ( N − 1 ) - dimensionell hypercykel .
- Appendix, rymdteorin Janos Bolyai, 1987, s.143