Beställ-6 kubisk honungskaka

Order-6 kubisk honeycomb
Perspektivprojektionsvy inom Poincaré skivmodell
Typ	Hyperbolisk vanlig honeycomb Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	{4,3,6} {4,3 [3] }
Coxeter diagram	↔ ↔
Celler	{4,3}
Ansikten	kvadrat {4}
Kantfigur	hexagon {6}
Vertex figur	triangulär plattsättning
Coxeter grupp	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4, 3 [3] ]
Dubbel	Order-4 hexagonal kakelkaka
Egenskaper	Regelbunden, nästan regelbunden

Order -6 cubic honeycomb är en parakompakt vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) i hyperboliskt 3-mellanslag . Den är parakompakt eftersom den har vertexfigurer sammansatta av ett oändligt antal fasetter, med alla hörn som idealpunkter i oändligheten. Med Schläfli-symbolen {4,3,6} har honungskakan sex idealiska kuber som möts längs varje kant. Dess vertexfigur är en oändlig triangulär plattsättning . Dess dubbla är ordnings-4 hexagonal kakel honeycomb .

En geometrisk bikaka är en rymdfyllning av polyedriska eller högre dimensionella celler , så att det inte finns några luckor. Det är ett exempel på den mer allmänna matematiska plattsättningen eller tessellationen i valfritt antal dimensioner.

Bikakor konstrueras vanligtvis i vanligt euklidiskt ("platt") utrymme, som de konvexa enhetliga bikakorna . De kan också konstrueras i icke-euklidiska utrymmen , såsom hyperboliska enhetliga honeycombs . Vilken ändlig enhetlig polytop som helst kan projiceras till sin omkrets för att bilda en enhetlig bikaka i sfäriskt utrymme.

Bilder

En cell sedd utanför Poincaré-sfärmodellen

Ordnings-6 kubisk bikaka är analog med den 2D hyperboliska oändliga ordningens kvadratiska plattsättning , {4,∞} med fyrkantiga ytor. Alla hörn är på den ideala ytan.

Symmetri

En halvsymmetrisk konstruktion av ordningen-6 kubisk honungskaka existerar som {4,3 ^[3] }, med två alternerande typer (färger) av kubiska celler. Denna konstruktion har Coxeter-Dynkin diagram ↔ .

En annan konstruktion med lägre symmetri, [4,3 ^* ,6], av index 6, finns med en icke-simplex fundamental domän, med Coxeter-Dynkin-diagram .

Denna honeycomb innehåller 2- hypercykelytor som liknar paracompact order-3 apeirogonal plattsättning , :

Besläktade polytoper och bikakor

Order-6 cubic honeycomb är en vanlig hyperbolisk honeycomb i 3-mellanrum, och en av 11 som är parakompakta.

Den har en relaterad växlingsbikaka , representerad av ↔ . Denna alternerade form har hexagonal kakel och tetraederceller .

Det finns femton enhetliga bikakor i [6,3,4] Coxeter-gruppfamiljen , inklusive själva ordningen-6 kubiska honungskakan.

Order-6 kubiska honeycomb är en del av en sekvens av vanliga polychora och honeycombs med kubiska celler .

{4,3,p} vanliga honungskakor
Plats	S 3	E 3	H 3
Form	Ändlig	Affine	Kompakt	Paracompact	Icke-kompakt
namn	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
Bild
Vertex figur	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Det är också en del av en sekvens av bikakor med triangulära kakelformade vertexfigurer .

Hyperboliska enhetliga bikakor : {s,3,6}

Form	Paracompact				Icke-kompakt
namn	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Bild
Celler	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Rättad ordning-6 kubisk honungskaka

Rättad ordning-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	r{4,3,6} eller t 1 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔
Celler	r{3,4} {3,6}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4}
Vertex figur	sexkantigt prisma
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ , [6, 3 1,1 ] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 [3] ] ${\overline {DP}}_{3 }$ , [3 []×[] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv

Den rätade ordningen-6 kubiska bikakan , r{4,3,6}, har cuboctaedriska och triangulära kakelfasetter, med en sexkantig prisma vertexfigur .

Det liknar den 2D hyperboliska tetraapeirogonala plattsättningen , r{4,∞}, alternerande apeirogonala och fyrkantiga ytor:

r{p,3,6}

Plats	H 3
Form	Paracompact				Icke-kompakt
namn	r{3,3,6}	r{4,3,6}	r{5,3,6}	r{6,3,6}	r{7,3,6}	... r{∞,3,6}
Bild
Celler {3,6}	r{3,3}	r{4,3}	r{5,3}	r{6,3}	r{7,3}	r{∞,3}

Trunkerad ordning-6 kubisk honungskaka

Trunkerad ordning-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	t{4,3,6} eller t 0,1 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔
Celler	t{4,3} {3,6}
Ansikten	triangel {3} oktagon {8}
Vertex figur	sexkantig pyramid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4, 3 [3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den stympade kubiska honungskakan av ordning 6 , t{4,3,6}, har stympad kub och triangulära kakelfasetter, med en sexkantig pyramidform .

Det liknar den 2D hyperboliska trunkerade oändliga ordningens kvadratiska plattsättning , t{4,∞}, med apeirogonala och åttkantiga (stympade kvadratiska) ytor:

Bitruncated order-6 kubisk honungskaka

Den bitruncated order-6 cubic honeycomb är densamma som bitruncated order-4 hexagonal kakel honeycomb .

Kantellerad ordning-6 kubisk honungskaka

Kantellerad ordning-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	rr{4,3,6} eller t 0,2 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔
Celler	rr{4,3} r{3,6} {}x{6}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6}
Vertex figur	kil
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4, 3 [3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den kantellerade ordningen-6 kubiska bikakan , rr{4,3,6}, har rhombicuboctahedron , trihexagonal kakel och sexkantiga prismafacetter , med en kilformad vertexfigur .

Cantitruncated order-6 kubisk honungskaka

Cantitruncated order-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	tr{4,3,6} eller t 0,1,2 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔
Celler	tr{4,3} t{3,6} {}x{6}
Ansikten	kvadratisk {4} sexkant {6} oktagon {8}
Vertex figur	spegelvänd sphenoid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ , [4, 3 [3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den cantitruncated ordning-6 kubiska honungskakan , tr{4,3,6}, har trunkerad cuboctahedron , hexagonal kakel , och hexagonala prismafacetter , med en spegelvänd sphenoid vertexfigur .

Runcinated order-6 kubisk honungskaka

Den runcinerade ordningen-6 kubiska bikakan är densamma som den runcinerade ordningen-4 hexagonala kakelhonungskakan .

Runcitruncated order-6 kubisk honungskaka

Kantellerad ordning-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	t 0,1,3 {4,3,6}
Coxeter diagram
Celler	t{4,3} rr{3,6} {}x{6} {}x{8}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6} oktagon {8}
Vertex figur	likbent-trapesformad pyramid
Coxeter grupper	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runda kubiska bikakan av ordning 6 , rr{4,3,6}, har en trunkerad kub , rhombitrihexagonal plattsättning , hexagonal prisma och åttkantiga prismafasetter, med en likbent trapetsformad pyramidformad vertexfigur .

Runcicantellated order-6 kubisk honungskaka

Den runcikantellerade ordningen-6 kubiska bikakan är densamma som den runcikantella ordnings-4 hexagonala bikakan .

Omnitruncated order-6 kubisk honungskaka

Den omnitruncerade ordningen-6 kubiska bikakan är densamma som den omnitruncerade ordnings-4 hexagonala kubiska kakelplattan .

Alternerad ordning-6 kubisk honungskaka

Alternerad ordning-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact uniform honeycomb Halvregelbunden honeycomb
Schläfli symbol	h{4,3,6}
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔ ↔
Celler	{3,3} {3,6}
Ansikten	triangel {3}
Vertex figur	trihexagonal plattsättning
Coxeter grupp	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 1,1 ] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 []x[] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv, kvasiregelbunden

I tredimensionell hyperbolisk geometri är den hexagonala bikakan med alternerande ordning 6 en enhetlig kompakt utrymmesfyllande tessellation (eller honeycomb ). Som en växling , med Schläfli-symbolen h{4,3,6} och Coxeter-Dynkin-diagram eller , kan det betraktas som en kvasiregelbunden bikaka , alternerande triangulära plattsättningar och tetraedrar runt varje vertex i en trihexagonal plattformad vertexfigur.

Symmetri

En halvsymmetrikonstruktion från formen {4,3 ^[3] } finns, med två alternerande typer (färger) av triangulära kakelceller. Denna form har Coxeter-Dynkin-diagram ↔ . En annan form av lägre symmetri av index 6, [4,3 ^* ,6], finns med en icke-simplex fundamental domän, med Coxeter-Dynkin-diagram .

Relaterade honungskakor

Den alternerade ordningen-6 kubiska bikakan är en del av en serie av kvasiregulära polychora och honungskakor.

Kvasiregelbunden polychora och honeycombs: h{4,p,q}
Plats	Ändlig	Affine	Kompakt	Paracompact
Schläfli symbol	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	$\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{5 \atop 3}\right\}$	$\left\{3,{6 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 3}\right\}$	$\left\{4,{4 \atop 4}\right\}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Bild
Vertex figur r{p,3}

Den har också 3 relaterade former: cantic order-6 cubic honeycomb , h ₂ {4,3,6}, ; den runkiska ordningen-6 kubisk honungskaka , h ₃ {4,3,6}, ; och runcicantic order-6 kubisk honungskaka , h _2,3 {4,3,6}, .

Cantic order-6 kubik honeycomb

Cantic order-6 kubik honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	h 2 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔
Celler	t{3,3} r{6,3} t{3,6}
Ansikten	triangel {3} sexkant {6}
Vertex figur	rektangulär pyramid
Coxeter grupp	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 1,1 ] ${\overline {DP}}_{3}$ , [3 []x[] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den cantic order-6 cubic honeycomb är en enhetlig kompakt utrymmesfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen h ₂ {4,3,6}. Den är sammansatt av trunkerad tetraeder , trihexagonal belägga med tegel , och hexagonal beläggning facetter, med en rektangulär pyramid vertex figur .

Runcic order-6 kubisk honungskaka

Runcic order-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	h 3 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3,3} {6,3} rr{6,3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6}
Vertex figur	trekantig kupol
Coxeter grupp	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 1,1 ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcic order-6 cubic honeycomb är en enhetlig kompakt utrymmesfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen h ₃ {4,3,6}. Den är sammansatt av tetrahedron , sexkantigt belägga med tegel och rhombitrihexagonal belägga med tegelfacetter, med en triangulär kupol vertex figur .

Runcicantic order-6 kubisk honungskaka

Runcicantic order-6 kubisk honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symbol	h 2,3 {4,3,6}
Coxeter diagram	↔
Celler	t{6,3} tr{6,3} t{3,3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} hexagon {6} dodecagon {12}
Vertex figur	spegelvänd sphenoid
Coxeter grupp	${\overline {DV}}_{3}$ , [6,3 1,1 ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcicantic order-6 cubic honeycomb är en enhetlig kompakt utrymmesfyllande tessellation (eller honeycomb ), med Schläfli-symbolen h _2,3 {4,3,6}. Den består av avkortat sexkantigt belägga med tegel , trunkerat trihexagonalt belägga med tegel och trunkerade tetraederfasetter , med en spegelvänd sphenoid vertexfigur .

Se även

• Konvexa enhetliga bikakor i hyperboliskt utrymme
• Regelbundna tesselleringar av hyperboliskt 3-mellanslag
• Paracompact enhetliga honungskakor

•   Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
•     The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space ) Tabell III
•   Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitel 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II)
• Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuskript
  • NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
  • NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Kapitel 13: Hyperboliska Coxeter-grupper