Idealisk punkt

Den här artikeln handlar om idealiska punkter i hyperbolisk geometri . För liknande punkter i andra geometrier, se Point at infinity .

Tre idealtrianglar i skivmodellen Poincaré ; hörnen är idealiska punkter

I hyperbolisk geometri är en idealpunkt , omegapunkt eller punkt i oändligheten en väldefinierad punkt utanför det hyperboliska planet eller rymden. Givet en linje l och en punkt P inte på l , konvergerar höger- och vänsterbegränsande paralleller till l till P till l vid idealpunkter .

Till skillnad från det projektiva fallet bildar idealpunkter en gräns , inte en undergren. Så dessa linjer skär inte varandra vid en idealisk punkt och sådana punkter, även om de är väldefinierade, tillhör inte själva hyperbolska rummet.

De idealiska punkterna bildar tillsammans Cayleys absoluta eller gräns för en hyperbolisk geometri . Till exempel enhetscirkeln Cayley-absolutet av Poincaré-skivmodellen och Klein-skivmodellen . Medan den verkliga linjen bildar Cayley-absolutet av Poincaré-halvplansmodellen .

Paschs axiom och exteriörvinkelsatsen gäller fortfarande för en omega-triangel, definierad av två punkter i det hyperboliska rummet och en omega-punkt.

Egenskaper

• Det hyperboliska avståndet mellan en idealpunkt och någon annan punkt eller idealpunkt är oändligt.
• Centrum för horocyklar och horoballs är idealiska punkter; två horocykler är koncentriska när de har samma centrum.

Polygoner med idealiska hörn

Idealiska trianglar

Huvudartikel: Ideal triangel

om alla hörn i en triangel är idealpunkter är triangeln en ideal triangel .

Några egenskaper hos ideala trianglar inkluderar:

• Alla idealtrianglar är kongruenta.
• De inre vinklarna i en ideal triangel är alla noll.
• Varje ideal triangel har en oändlig omkrets.
• Varje ideal triangel har arean $\pi /-K$ där K är den (negativa) krökningen av planet.

Idealiska fyrhörningar

om alla hörn på en fyrhörning är idealpunkter, är fyrhörningen en ideal fyrhörning.

Medan alla ideala trianglar är kongruenta, är inte alla fyrhörningar; diagonalerna kan göra olika vinklar med varandra vilket resulterar i icke-kongruenta fyrhörningar. Med detta sagt:

• De inre vinklarna för en ideal fyrhörning är alla noll.
• Varje ideal fyrhörning har en oändlig omkrets.
• Varje ideal (konvex icke skärande) fyrhörning har area $2\pi /-K$ där K är den (negativa) krökningen av planet.

Idealisk kvadrat

Den ideala fyrhörningen där de två diagonalerna är vinkelräta mot varandra bildar en ideal kvadrat.

Det användes av Ferdinand Karl Schweikart i hans memorandum om vad han kallade "astral geometri", en av de första publikationerna som erkänner möjligheten till hyperbolisk geometri .

Idealiska n -goner

En ideal n -gon kan delas in i ( n − 2) idealtrianglar, med arean ( n − 2) gånger arean av en ideal triangel.

Representationer i modeller av hyperbolisk geometri

I Klein-skivmodellen och Poincaré-skivmodellen av det hyperboliska planet är de ideala punkterna på enhetscirkeln (hyperboliskt plan) eller enhetssfären (högre dimensioner) som är den onåbara gränsen för det hyperboliska planet.

När samma hyperboliska linje projiceras till Klein-skivmodellen och Poincaré-skivmodellen går båda linjerna genom samma två idealpunkter (de ideala punkterna i båda modellerna är på samma plats).

Klein diskmodell

Med tanke på två distinkta punkter p och q i den öppna enhetsskivan skär den unika räta linjen som förbinder dem enhetscirkeln i två idealpunkter, a och b , märkta så att punkterna är, i ordning, a , p , q , b så att |aq| > |ap| och |pb| > |qb|. uttrycks det hyperboliska avståndet mellan p och q som

$d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right| \left|bq\right|}},$

Poincaré skiva modell

Med tanke på två distinkta punkter p och q i den öppna enhetsskivan så skär den unika cirkelbågen ortogonal mot gränsen som förbinder dem enhetscirkeln i två idealpunkter, a och b , märkta så att punkterna är, i ordning, a , p , q , b så att |aq| > |ap| och |pb| > |qb|. uttrycks det hyperboliska avståndet mellan p och q som

$d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},$

Där avstånden mäts längs (räta linje) segmenten aq, ap, pb och qb.

Poincaré halvplansmodell

I Poincarés halvplansmodell är de idealiska punkterna punkterna på gränsaxeln. Det finns också en annan ideal punkt som inte är representerad i halvplansmodellen (men strålar parallella med den positiva y-axeln närmar sig den).

Hyperboloid modell

I hyperboloidmodellen finns inga idealpunkter.

Se även

• Idealisk triangel
• Idealisk polyeder
• Pekar på oändligheten för användning i andra geometrier.