K-stabilitet

Inom matematik , och särskilt differentiell och algebraisk geometri , är K-stabilitet ett algebro-geometriskt stabilitetstillstånd, för komplexa grenrör och komplexa algebraiska varianter . Begreppet K-stabilitet introducerades först av Gang Tian och omformulerades mer algebraiskt senare av Simon Donaldson . Definitionen inspirerades av en jämförelse med geometrisk invariant teori (GIT) stabilitet. I det speciella fallet med Fano-sorter kännetecknar K-stabilitet just existensen av Kähler–Einstein-mått . Mer generellt, på alla kompakta komplexa grenrör, antas K-stabilitet vara likvärdig med existensen av Kähler-mått med konstant skalär krökning ( cscK-mått ).

Historia

År 1954 formulerade Eugenio Calabi en gissning om existensen av Kähler-mått på kompakta Kähler-grenrör , nu känd som Calabi-förmodan . En formulering av gissningen är att ett kompakt Kähler-grenrör $X$ tillåter ett unikt Kähler–Einstein-mått i klassen $c_{1}(X)$ . I det speciella fallet där $c_{1}(X)=0$ , skulle ett sådant Kähler–Einstein-mått vara Ricci flat , vilket gör grenröret till ett Calabi–Yau-grenrör . Calabi-förmodan löstes i fallet där $c_{1}(X)<0$ av Thierry Aubin och Shing-Tung Yau , och när $c_{ 1}(X)=0$ av Yau. I fallet där $c_{1}(X)>0$ , det vill säga när $X$ är ett Fano-grenrör , existerar inte alltid ett Kähler–Einstein-mått. Det var nämligen känt av Yozo Matsushima och André Lichnerowicz att ett Kähler-grenrör med $c_{1}(X)>0$ endast kan tillåta en Kähler–Einstein-metrik om Lie-algebra $H^{0}(X,TX)$ är reduktiv . Det kan dock lätt visas att uppblåsningen av det komplexa projektiva planet vid en punkt, ${\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}$ är Fano, men har inte reduktiv Lie-algebra. Därför kan inte alla Fano-grenrör erkänna Kähler–Einstein-mått.

Efter upplösningen av Calabi-förmodan för $c_{1}(X)\leq 0$ vändes uppmärksamheten mot det löst relaterade problemet med att hitta kanoniska mått på vektorbuntar över komplexa grenrör. 1983 producerade Donaldson ett nytt bevis för Narasimhan-Seshadri-satsen . Som bevisats av Donaldson, säger satsen att en holomorf vektorbunt över en kompakt Riemann-yta är stabil om och endast om den motsvarar en irreducerbar enhetlig Yang-Mills- förbindelse . Det vill säga en enhetlig anslutning som är en kritisk punkt för Yang-Mills funktionella

\operatörsnamn {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatörsnamn {vol} .

På en Riemann-yta är en sådan anslutning projektivt platt, och dess holonomi ger upphov till en projektiv enhetsrepresentation av Riemann-ytans fundamentala grupp , vilket återställer det ursprungliga uttalandet av teoremet av MS Narasimhan och CS Seshadri . Under 1980-talet generaliserades denna teorem genom Donaldsons, Karen Uhlenbecks och Yaus arbete , och Jun Li och Yau till Kobayashi-Hitchin-korrespondensen , som relaterar stabila holomorfa vektorbuntar till Hermitian-Einstein-kopplingar över godtyckliga kompakta komplexa grenrör. En viktig observation i inställningen av holomorfa vektorbuntar är att när väl en holomorf struktur är fixerad, ger varje val av hermitisk metrik upphov till en enhetlig anslutning, Chern- kopplingen . Således kan man antingen söka efter en Hermitian-Einstein-koppling eller dess motsvarande Hermitian-Einstein-metrik.

Inspirerad av lösningen av existensproblemet för kanoniska mått på vektorbuntar, motiverades Yau 1993 att anta att existensen av en Kähler–Einstein-metrik på ett Fano-grenrör skulle vara likvärdig med någon form av algebro-geometriskt stabilitetstillstånd på själva sorten. , precis som förekomsten av en Hermitian–Einstein-metrik på en holomorf vektorbunt motsvarar dess stabilitet. Yau föreslog att detta stabilitetstillstånd borde vara en analog till lutningsstabiliteten hos vektorbuntar.

1997 föreslog Tian ett sådant stabilitetstillstånd, som han kallade K-stabilitet efter K-energifunktionen introducerad av Toshiki Mabuchi . K : et stod ursprungligen för kinetisk på grund av likheten mellan K-energin och den kinetiska energin, och för tyskan kanonisch för det kanoniska knippet . Tians definition var analytisk till sin natur och specifik för fallet med Fano grenrör. Flera år senare introducerade Donaldson ett algebraiskt tillstånd som beskrivs i den här artikeln kallat K-stabilitet , vilket är vettigt på vilken polariserad sort som helst, och är ekvivalent med Tians analytiska definition i fallet med den polariserade varieteten ( $\displaystyle ( X,-K_{X})}$ där $X$ är Fano.

Definition

I det här avsnittet arbetar vi över de komplexa talen $\mathbb {C}$ , men de väsentliga punkterna i definitionen gäller över alla fält. En polariserad varietet är ett par $(X,L)$ där $X$ är en komplex algebraisk variant och $L$ är en riklig linjebunt på $X$ . En sådan polariserad sort är utrustad med en inbäddning i projektivt utrymme med hjälp av Proj-konstruktionen ,

X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{ 0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)

där $k$ är ett positivt heltal som är tillräckligt stort för att $L^{k}$ är mycket rikligt , och så varje polariserad variation är projektiv . Att ändra valet av riklig linjebunt $L$ på $X$ resulterar i en ny inbäddning av $X$ i ett eventuellt annat projektivt utrymme. Därför kan en polariserad varietet ses som en projektiv variant tillsammans med en fast inbäddning i något projektivt utrymme $\mathbb {CP} ^{N}$ .

Hilbert–Mumford-kriteriet

K-stabilitet definieras i analogi med Hilbert-Mumford-kriteriet från ändlig dimensionell geometrisk invariantteori . Denna teori beskriver stabiliteten hos punkter på polariserade sorter, medan K-stabilitet avser stabiliteten hos den polariserade sorten i sig.

Hilbert–Mumford-kriteriet visar att för att testa stabiliteten för en punkt $x$ i en projektiv algebraisk variant $X\subset \mathbb {CP} ^{N}$ under verkan av en reduktiv algebraisk grupp ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )} ,$ det räcker att ta hänsyn till undergrupperna med en parameter ( 1 -PS ) av $G$ . För att fortsätta tar man en 1-PS av $G$ , säg ${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G} ,$ och tittar på begränsningspunkten

x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.

Detta är en fast punkt för åtgärden av 1-PS $\lambda$ , och så linjen över $x$ i det affina utrymmet $\mathbb {C} ^{ N+1}$ bevaras av $\lambda$ . En åtgärd av den multiplikativa gruppen $\mathbb {C} ^{*}$ på ett endimensionellt vektorutrymme kommer med en vikt , ett heltal vi märker $\mu (x, \lambda )$ , med egenskapen att

\lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}

för alla ${\tilde {x}}$ i fibern över $x_{0}$ . Hilbert-Mumford-kriteriet säger:

Punkten $x$ är halvstabil om $\mu (x,\lambda )\leq 0$ för alla 1-PS $\lambda <G$ .
Punkten $x$ är stabil om $\mu (x,\lambda )<0$ för alla 1-PS $\lambda <G$ .
Punkten $x$ är instabil om $\mu (x,\lambda )>0$ för valfri 1-PS $\lambda <G$ .

Om man vill definiera ett begrepp om stabilitet för sorter, antyder Hilbert-Mumford-kriteriet därför att det räcker med att överväga en parameters deformationer av sorten. Detta leder till föreställningen om en testkonfiguration.

Testa konfigurationer

Generiska fibrer med en testkonfiguration är alla isomorfa för sorten X, medan den centrala fibern kan vara distinkt och till och med singulär.

En testkonfiguration för en polariserad variant $(X,L)$ är ett par $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ där ${\mathcal {X}}$ är ett schema med en platt morfism $\pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C}$ och ${\ displaystyle {\mathcal {L}}}$ är en relativt riklig linjebunt för morfismen $\pi$ , så att:

För varje $t\in \mathbb {C}$ , Hilbertpolynomet för fibern $({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})$ är lika med Hilbertpolynomet ${\mathcal {P}}(k)$ av $(X,L)$ . Detta är en konsekvens av planheten hos $\pi$ .
Det finns en åtgärd av $\mathbb {C} ^{*}$ på familjen ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})} som$ täcker standardåtgärden för $\mathbb {C} ^{*}$ på $\mathbb {C}$ .
För alla (och därmed varje) $t\in \mathbb {C} ^{*}$ , $({\mathcal {X }}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)$ som polariserade varianter. I synnerhet bort från $0\in \mathbb {C}$ är familjen trivial: $( {\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr } _{1}^{*}L)$ där $\operatörsnamn {pr} _{1}:X\ gånger \mathbb {C} ^{*}\till X$ är projektion på den första faktorn.

Vi säger att en testkonfiguration $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ är en produktkonfiguration om ${\mathcal {X }}\cong X\times \mathbb {C}$ , och en trivial konfiguration om ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}-$ åtgärden på ${\mathcal {X }}\cong X\times \mathbb {C}$ är trivialt på den första faktorn.

Donaldson–Futaki Invariant

För att definiera ett begrepp om stabilitet som är analogt med Hilbert–Mumford-kriteriet, behöver man ett viktbegrepp $\mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ på fibern över $0$ av en testkonfiguration $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C}$ för en polariserad sort $(X,L)$ . Per definition är denna familj utrustad med en åtgärd av $\mathbb {C} ^{*}$ som täcker åtgärden på basen, och så fibern i testkonfigurationen över $0\in \ mathbb {C}$ är fixerad. Det vill säga, vi har en åtgärd av $\mathbb {C} ^{*}$ på den centrala fibern $({\mathcal {X}}_{0},{\ mathcal {L}}_{0})$ . I allmänhet är denna centrala fiber inte slät, eller ens en sort. Det finns flera sätt att definiera vikten på den centrala fibern. Den första definitionen gavs genom att använda Ding-Tians version av generaliserad Futaki-invariant. Denna definition är differentialgeometrisk och är direkt relaterad till existensproblemen i Kählers geometri. Algebraiska definitioner gavs genom att använda Donaldson-Futaki-invarianter och CM-vikter definierade av skärningsformel.

Per definition kommer en åtgärd av $\mathbb {C} ^{*}$ på ett polariserat schema med en åtgärd av $\mathbb {C} ^{*}$ på den stora radbunten ${\mathcal {L}}_{0}$ , och inducerar därför en åtgärd på vektorrymden $H^{0}({\mathcal {X}}_{ 0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})$ för alla heltal $k\geq 0$ . En åtgärd av $\mathbb {C} ^{*}$ på ett komplext vektorrum $V$ inducerar en direkt summasönderdelning $V=V_{ 1}\oplus \cdots \oplus V_{n}$ till viktutrymmen , där varje $V_{i}$ är ett endimensionellt delrum av $V$ och verkan av ${\ displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ när den är begränsad till $V_{i}$ har en vikt $w_{i}$ . Definiera den totala vikten av åtgärden till att vara heltal $w=w_{1}+\cdots +w_{n}$ . Detta är samma som vikten av den inducerade verkan av $\mathbb {C} ^{*}$ på det endimensionella vektorutrymmet ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ där $n=\dim V$ .

Definiera viktfunktionen $) {\displaystyle w(k)}$ testkonfigurationen $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ för att vara funktionen där $w(k)$ är den totala vikten av ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}-$ åtgärden på vektorrymden $H ^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})$ för varje icke-negativt heltal $k\geq 0$ . Medan funktionen $w(k)$ inte är ett polynom i allmänhet, blir den ett polynom av grad $n+1$ för alla $k>k_ {0}\gg 0$ för ett fast heltal $k_{0}$ , där $n=\dim X$ . Detta kan ses med hjälp av en ekvivariant Riemann-Roch-sats. Kom ihåg att Hilbertpolynomet ${\mathcal {P}}(k)$ uppfyller likheten ${\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0} ,{\mathcal {L}}_{0}^{k})$ för alla $k>k_{1}\gg 0$ för något fast heltal $k_{1 }$ , och är ett polynom av grad $n$ . För sådana $k\gg 0$ , låt oss skriva

{\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w (k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).

Donaldson -Futaki-invarianten för testkonfigurationen $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ är det rationella talet

\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_ {0}^{2}}}.

Speciellt $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}$ där ${\ displaystyle f_{1}}$ är första ordningens term i expansionen

{\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2 }).

Donaldson-Futaki-invarianten förändras inte om $L$ ersätts med en positiv potens ${\displaystyle L^{r}} ,$ och därför diskuteras K-stabilitet i litteraturen ofta med $\ mathbb {Q}$ -radsbuntar .

Det är möjligt att beskriva Donaldson-Futaki-invarianten i termer av intersektionsteori , och detta var det tillvägagångssätt som Tian tog för att definiera CM-vikten. Alla testkonfigurationer $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ tillåter en naturlig kompaktering $({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})$ över $\mathbb {P} ^{1}$ (t.ex. se ), då definieras CM-vikten av

{\ displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}

där $\mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}$ . Denna definition av skärningsformel används nu ofta i algebraisk geometri.

Det är känt att $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ sammanfaller med $\ operatornamn {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ , så vi kan ta vikten $\mu ({\mathcal {X}},{ \mathcal {L}})$ vara antingen $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ eller $\operatörsnamn {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ . Vikten $\mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ kan också uttryckas i termer av Chow-formen och hyperdiskriminerande. När det gäller Fano-grenrör finns det en tolkning av vikten i termer av ny $\beta$ -invariant på värderingar som hittats av Chi Li och Kento Fujita.

K-stabilitet

För att definiera K-stabilitet måste vi först utesluta vissa testkonfigurationer. Inledningsvis antogs det att man bara skulle ignorera triviala testkonfigurationer enligt definitionen ovan, vars Donaldson-Futaki-invariant alltid försvinner, men det observerades av Li och Xu att mer omsorg behövs i definitionen. Ett elegant sätt att definiera K-stabilitet ges av Székelyhidi med hjälp av normen för en testkonfiguration, som vi först beskriver.

För en testkonfiguration ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})} ,$ definiera normen enligt följande. Låt $A_{k}$ vara den infinitesimala generatorn för ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}-$ åtgärden på vektorrymden $H^{ 0}(X,L^{k})$ . Då $\operatörsnamn {Tr} (A_{k})=w(k)$ . På samma sätt som polynomen $w(k)$ och ${\mathcal {P}}(k)$ , funktionen $\operatorname {Tr} (A_{k}^{2})$ är ett polynom för tillräckligt stora heltal ${\displaystyle k} ,$ i detta fall av grad $n+2$ . Låt oss skriva dess expansion som

\operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).

Normen för en testkonfiguration definieras av uttrycket

\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{ 0}}}.

Enligt analogin med Hilbert-Mumford-kriteriet, när man väl har en uppfattning om deformation (testkonfiguration) och vikt på den centrala fibern (Donaldson-Futaki invariant), kan man definiera ett stabilitetstillstånd, kallat K- stabilitet .

Låt $(X,L)$ vara en polariserad algebraisk variant. Vi säger att $(X,L)$ är:

K-semistabil om $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ för alla testkonfigurationer $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ för $(X,L)$ .
K-stabil om $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ för alla testkonfigurationer $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ för $(X,L)$ , och dessutom ${\ displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ när $\|({\mathcal {X}}, {\mathcal {L}})\|>0$ .
K-polystabil om $(X,L)$ är K-semistabil, och dessutom när $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X} },{\mathcal {L}})=0$ , testkonfigurationen $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ är en produktkonfiguration.
K-instabil om den inte är K-semistabil.

Yau–Tian–Donaldsons gissning

K-stabilitet introducerades ursprungligen som ett algebro-geometriskt tillstånd som skulle karakterisera förekomsten av en Kähler–Einstein-metrik på ett Fano-grenrör. Detta kom att bli känt som Yau-Tian-Donaldson-förmodan (för Fano-grenrör). Gissningen löstes på 2010-talet i verk av Xiuxiong Chen , Simon Donaldson och Song Sun. Strategin är baserad på en kontinuitetsmetod med avseende på konvinkeln för en Kähler–Einstein-metrik med konsingulariteter längs en fast antikanonisk divisor, som samt en djupgående användning av Cheeger-Colding-Tian-teorin om Gromov-Hausdorffs gränser för Kählers grenrör med Ricci-gränser.

Teorem (Yau–Tian–Donaldson gissningar för Kähler–Einstein-mått) : En Fano-grenrör $X$ tillåter ett Kähler-Einstein-mått i klassen $c_{1}(X)$ om och endast om paret $(X,-K_{X})$ är K-polystabilt.

Chen, Donaldson och Sun har hävdat att Tians påstående om lika prioritet för beviset är felaktigt, och de har anklagat honom för akademiskt oredlighet. Tian har bestridit deras anspråk. Chen, Donaldson och Sun erkändes av American Mathematical Societys prestigefyllda Veblen-pris 2019 för att ha löst gissningen. Genombrottspriset har belönat Donaldson med genombrottspriset i matematik och Sun med New Horizons genombrottspris, delvis baserat på deras arbete med Chen om gissningen.

På senare tid gavs ett bevis baserat på den "klassiska" kontinuitetsmetoden av Ved Datar och Gabor Székelyhidi, följt av ett bevis av Chen, Sun och Bing Wang med Kähler–Ricci-flödet. Robert Berman, Sébastien Boucksom och Mattias Jonsson gav också ett bevis från det variationsmässiga upplägget.

Utvidgning till Kähler-mått med konstant skalär krökning

Det förväntas att Yau-Tian-Donaldson-förmodan bör gälla mer generellt för cscK-mått över godtyckliga jämna polariserade varianter. Faktum är att Yau-Tian-Donaldsons gissningar hänvisar till denna mer allmänna miljö, där fallet med Fano-manifolds är ett specialfall, vilket antogs tidigare av Yau och Tian. Donaldson byggde på förmodan från Yau och Tian från Fano-fallet efter att hans definition av K-stabilitet för godtyckliga polariserade sorter introducerades.

Yau–Tian–Donaldson gissningar för konstant skalär krökningsmetrik : En jämn polariserad variant $(X,L)$ tillåter en Kähler-metrik med konstant skalär krökning i klassen $c_ {1}(L)$ om och endast om paret $(X,L)$ är K-polystabilt.

Som diskuterats har Yau–Tian–Donaldsons gissning lösts i Fano-miljön. Det bevisades av Donaldson 2009 att Yau-Tian-Donaldsons gissningar gäller för toriska varianter av komplex dimension 2. För godtyckliga polariserade sorter bevisades det av Stoppa, även med hjälp av Arezzo och Pacard, att förekomsten av en cscK-metrik innebär K-polystabilitet. Detta är i någon mening den lätta riktningen för gissningarna, eftersom den antar att det finns en lösning på en svår partiell differentialekvation och kommer fram till det jämförelsevis lätta algebraiska resultatet. Den betydande utmaningen är att bevisa den omvända riktningen, att ett rent algebraiskt tillstånd innebär att det finns en lösning på en PDE.

Exempel

Släta kurvor

Pierre Delignes och David Mumfords ursprungliga arbete att släta algebraiska kurvor är asymptotiskt stabila i betydelsen geometrisk invariant teori, och i synnerhet att de är K-stabila. I den här inställningen är Yau-Tian-Donaldsons gissning ekvivalent med uniformeringssatsen . Varje jämn kurva medger nämligen ett Kähler–Einstein-mått med konstant skalär krökning antingen $+1$ i fallet med den projektiva linjen ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} ,$ { $\ displaystyle 0}$ i fallet med elliptiska kurvor , eller $-1$ i fallet med kompakta Riemann-ytor av släktet $g>1$ .

Fano sorter

Inställningen där $L=-K_{X}$ är tillräcklig så att $X$ är ett Fano-grenrör är av särskild betydelse, och i den inställningen är många verktyg kända för att verifiera K. - stabilitet hos Fano-sorter. Till exempel genom att använda rent algebraiska tekniker kan det bevisas att alla Fermats hyperytor

$F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP } ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}$

är K-stabila Fano-varianter för $3\leq d\leq n+1$ .

Toriska sorter

K-stabilitet introducerades ursprungligen av Donaldson i samband med toriska sorter . I den toriska miljön förenklar många av de komplicerade definitionerna av K-stabilitet att ges av data om ögonblicket polytop $P$ av den polariserade toriska varianten $(X_{P}, L_{P})$ . Först är det känt att för att testa K-stabilitet räcker det att överväga toriska testkonfigurationer , där det totala utrymmet för testkonfigurationen också är en torisk variant. Varje sådan torisk testkonfiguration kan elegant beskrivas med en konvex funktion på momentpolytopen, och Donaldson definierade ursprungligen K-stabilitet för sådana konvexa funktioner. Om en torisk testkonfiguration $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ för ${\displaystyle (X_{P},L_$ ges av en konvex funktion $f$ på $P$ , då kan Donaldson-Futaki-invarianten skrivas som

\operatorname {DF} ({\mathcal {X}}, {\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P }f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),

där $d\mu$ är Lebesgue-måttet på $P$ , $d\sigma$ är det kanoniska måttet på gränsen för $P$ som härrör från dess beskrivning som en momentpolytop (om en kant av $P$ ges av en linjär olikhet $h(x)\leq a$ för någon affin linjär funktionell h på $\ mathbb {R} ^{n}$ med heltalskoefficienter, då $d\mu =\pm dh\wedge d\sigma$ ), och $a=\operatörsnamn {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatörsnamn {Vol} (P,d\mu )$ . Dessutom kan normen för testkonfigurationen ges av

\left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\| f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},

där ${\bar {f}}$ är medelvärdet av $f$ på $P$ med avseende på $d\mu$ .

Det visades av Donaldson att det för toriska ytor räcker att testa konvexa funktioner av en särskilt enkel form. Vi säger att en konvex funktion på $P$ är bitvis linjär om den kan skrivas som ett maximum $f=\max(h_{1},\ prickar ,h_{n})$ för vissa affina linjära funktionaler $h_{1},\dots ,h_{n}$ . Lägg märke till att enligt definitionen av konstanten ${\displaystyle a} är$ Donaldson-Futaki-invarianten ${\mathcal {L}}(f)$ invariant under tillägg av en affin linjär funktion, så vi kan alltid ta en av $h_{i}$ för att vara konstantfunktionen $0$ . Vi säger att en konvex funktion är enkel bitvis-linjär om den är maximalt två funktioner, och så ges av $\displaystyle f=\max(0,h)}$ för någon affin linjär funktion $h$ , och enkel rationell styckvis-linjär om $h$ har rationella koficienter. Donaldson visade att för toriska ytor räcker det att testa K-stabilitet endast på enkla rationella styckvis-linjära funktioner. Ett sådant resultat är kraftfullt i den mån det är möjligt att enkelt beräkna Donaldson-Futaki-invarianterna för sådana enkla testkonfigurationer, och därför beräkningsmässigt bestämma när en given torisk yta är K-stabil.

Ett exempel på ett K-instabilt grenrör ges av den toriska ytan $\mathbb {F} _{1}=\operatörsnamn {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^ {2}$ , den första Hirzebruch-ytan , som är uppblåsningen av det komplexa projektiva planet vid en punkt, med avseende på polarisationen som ges av ${\textstyle L= {\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}}(2)-E)}$ , där $\pi :\mathbb { F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}$ är sprängningen och $E$ den exceptionella divisorn.

Ögonblicket polytop av den första Hirzebruch ytan .

Måtten $d\sigma$ på polytopens horisontella och vertikala gränsytor är bara $dx$ och $dy$ . På diagonalsidan $x+y=2$ ges måttet av $(dx-dy)/2$ . Betrakta den konvexa funktionen $f(x,y)=x+y$ på denna polytop. Sedan

\int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _ {\partial P}f\,d\sigma =6,

och

\operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}} ,\qquad \operatörsnamn {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,

Således

{\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{ 9}}<0,

och så den första Hirzebruch-ytan $\mathbb {F} _{1}$ är K-instabil.

Alternativa föreställningar

Hilbert och Chow Stabilitet

K-stabilitet uppstår från en analogi med Hilbert-Mumford-kriteriet för änddimensionell geometrisk invariantteori. Det är möjligt att använda geometrisk invariant teori direkt för att få andra begrepp om stabilitet för varieteter som är nära besläktade med K-stabilitet.

Ta en polariserad variant $(X,L)$ med Hilbertpolynom ${\mathcal {P}}$ , och fixa en $r>0$ så att $L^{r}$ är mycket riklig med försvinnande högre kohomologi. Paret $(X,L^{r})$ kan sedan identifieras med en punkt i Hilbert-schemat av delscheman till $\mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}$ med Hilbert polynom ${\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P }}(Kr)$ .

Detta Hilbert-schema kan bäddas in i projektivt utrymme som ett underschema av en Grassmannian (som är projektiv via Plücker-inbäddningen ). Den allmänna linjära gruppen $\operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )$ verkar på detta Hilbert-schema och två punkter i Hilbert-schemat är likvärdiga om och endast om motsvarande polariserade varianter är isomorfa. Således kan man använda geometrisk invariant teori för denna grupphandling för att ge en uppfattning om stabilitet. Denna konstruktion beror på ett val av $r>0$ , så man säger att en polariserad sort är asymptotiskt Hilbert-stabil om den är stabil med avseende på denna inbäddning för alla $r>r_{0 }\gg 0$ tillräckligt stor, för vissa fasta $r_{0}$ .

Det finns en annan projektiv inbäddning av Hilbert-schemat som kallas Chow-inbäddning, som ger en annan linjärisering av Hilbert-schemat och därför ett annat stabilitetstillstånd. Man kan därför på liknande sätt definiera asymptotisk Chow-stabilitet . Explicit kan Chow-vikten för en fast $r>0$ beräknas som

\operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}}) ={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}

för $r$ tillräckligt stor. Till skillnad från Donaldson-Futaki-invarianten ändras Chow-vikten om linjebunten $L$ ersätts med någon potens $L^{k}$ . Dock från uttrycket

\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}

man observerar det

\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\ lim _{k\to \infty }\operatörsnamn {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),

och så är K-stabilitet i någon mening gränsen för Chow-stabilitet eftersom dimensionen av det projektiva utrymmet $X$ är inbäddat i närmar sig oändligheten.

Man kan på liknande sätt definiera asymptotisk Chow semistabilitet och asymptotisk Hilbert semistabilitet, och de olika begreppen stabilitet är relaterade enligt följande:

Asymptotiskt Chow stabil $\implies$ Asymptotiskt Hilbert stabil $\implies$ Asymptotiskt Hilbert semistabel $\implies$ Asymptotiskt Chow semistabel $\implies$ K-semistabil

Det är dock inte känt om K-stabilitet innebär asymptotisk Chow-stabilitet.

Slope K-Stabilitet

Det förutspåddes ursprungligen av Yau att den korrekta uppfattningen om stabilitet för sorter skulle vara analog med sluttningsstabilitet för vektorbuntar. Julius Ross och Richard Thomas utvecklade en teori om sluttningsstabilitet för sorter, känd som lutning K-stabilitet . Det visades av Ross och Thomas att alla testkonfigurationer i huvudsak erhålls genom att spränga varianten $X\times \mathbb {C}$ längs en sekvens av $\mathbb {C} ^{ *}$ invarianta ideal, som stöds på den centrala fibern. Detta resultat beror i huvudsak på David Mumford. Explicit domineras varje testkonfiguration av en uppblåsning av $X\times \mathbb {C}$ längs ett ideal av formen

I=I_{0}+tI_{1 }+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\ ibland \mathbb {C} [t],

där $t$ är koordinaten på $\mathbb {C}$ . Genom att ta stöd av idealen motsvarar detta att blåsa upp längs en flagga av delsystem

Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X

inuti kopian $X\times \{0\}$ av $X$ . Man erhåller denna nedbrytning i huvudsak genom att ta viktrumsuppdelningen av det invarianta idealet $I$ under ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}-$ åtgärden.

I det speciella fallet där denna flagga av delscheman är av längd ett, kan Donaldson-Futaki-invarianten lätt beräknas och man kommer fram till sluttningens K-stabilitet. Givet ett underschema $Z\subset X$ definierat av en idealisk bunt $I_{Z}$ , ges testkonfigurationen av

{\mathcal {X}}=\operatörsnamn {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),

vilket är deformationen till den normala konen av inbäddningen $Z\hookrightarrow X$ .

Om sorten $X$ har Hilbertpolynom ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_ {0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})} ,$ definiera lutningen för $X$ som

\mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.

För att definiera lutningen för delschemat $Z$ , betrakta Hilbert-Samuel-polynomet för delschemat $Z$ ,

\chi (L^{r}\otimes I_ {Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),

för $r\gg 0$ och $x$ ett rationellt tal så att $xr\in \mathbb {N}$ . Koefficienterna $a_{i}(x)$ är polynom i $x$ av graden $ni$ och K-lutningen för $I_ {Z}$ med avseende på $c$ definieras av

\mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0 }'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.

Denna definition är meningsfull för alla val av reellt tal $\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ där $\epsilon (Z)$ är Seshadri -konstanten för $Z$ . Lägg märke till att med $Z=\emptyset$ återställer vi lutningen för $X$ . Paret $(X, L)$ är lutning K-semistabil om för alla korrekta delscheman $Z\subset X$ , $\mu _{c}(I_{Z} )\leq \mu (X)$ för alla $c\in (0,\epsilon (Z)]$ (man kan även definiera lutning K-stabilitet och lutning K-polystabilitet genom att kräva att denna ojämlikhet är strikt, med några extra tekniska villkor).

Det visades av Ross och Thomas att K-semistabilitet innebär sluttnings K-semistabilitet. Till skillnad från i fallet med vektorbuntar är det dock inte så att lutnings K-stabilitet innebär K-stabilitet. När det gäller vektorbuntar räcker det att endast överväga enstaka underskivor, men för varianter är det nödvändigt att också överväga flaggor som är längre än en. Trots detta kan sluttnings K-stabilitet fortfarande användas för att identifiera K-instabila varianter, och därför genom resultaten av Stoppa, ge hinder för förekomsten av cscK-mått. Till exempel använder Ross och Thomas sluttnings K-stabilitet för att visa att projektiviseringen av en instabil vektorbunt över en K-stabil bas är K-instabil, och tillåter därför inte ett cscK-mått. Detta är en motsats till resultaten från Hong, som visar att projektiviseringen av en stabil bunt över en bas som tillåter ett cscK-mått, också tillåter ett cscK-mått och därför är K-stabilt.

Filtrering K-Stabilitet

Verk av Apostolov–Calderbank–Gauduchon–Tønnesen-Friedman visar att det finns ett grenrör som inte tillåter någon extrem metrik, men som inte verkar vara destabiliserad av någon testkonfiguration. Detta tyder på att definitionen av K-stabilitet som ges här kanske inte är tillräckligt exakt för att antyda Yau-Tian-Donaldson-förmodan i allmänhet. Detta exempel är emellertid destabiliserat av en gräns för testkonfigurationer. Detta gjordes exakt av Székelyhidi , som introducerade filtrering K-stabilitet . En filtrering här är en filtrering av koordinatringen

R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})

av den polariserade sorten $(X,L)$ . Filtreringarna som beaktas måste vara kompatibla med graderingen på koordinatringen i följande mening: En filtrering $\chi$ av $R$ är en kedja av ändliga dimensionella delrum

\mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R

så att följande villkor gäller:

Filtreringen är multiplikativ . Det vill säga $(F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R$ för alla $i,j\geq 0$ .
Filtreringen är kompatibel med graderingen på $R$ som kommer från de graderade bitarna $R_{k}=H^{0}(X,L^{k} )$ . Det vill säga, om ${\displaystyle f\in F_{i}R} , så$ är varje homogen del av ${\displaystyle f} i$ $F_{i}R$ .
Filtreringen släpper ut $R$ . Det vill säga, vi har $\bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R$ .

Givet en filtrering $\chi$ definieras dess Rees-algebra av

\operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].

Vi säger att en filtrering genereras ändligt om dess Rees-algebra är ändligt genererad. Det bevisades av David Witt Nyström att en filtrering genereras ändligt om och endast om den härrör från en testkonfiguration, och av Székelyhidi att all filtrering är en gräns för ändligt genererade filtreringar. Genom att kombinera dessa resultat observerade Székelyhidi att exemplet Apostolov-Calderbank-Gauduchon-Tønnesen-Friedman inte skulle bryta mot Yau-Tian-Donaldsons förmodan om K-stabilitet ersattes av filtrerings K-stabilitet. Detta tyder på att definitionen av K-stabilitet kan behöva redigeras för att ta hänsyn till dessa begränsande exempel.

Se även

Anteckningar