Calabi gissningar

Inom det matematiska fältet av differentialgeometri var Calabi - förmodan en gissning om förekomsten av vissa typer av Riemann-mått på vissa komplexa grenrör , gjord av Eugenio Calabi ( 1954 , 1957 ). Det bevisades av Shing-Tung Yau ( 1977 , 1978 ), som fick Fields-medaljen och Oswald Veblen-priset delvis för sitt bevis. Hans arbete, huvudsakligen en analys av en elliptisk partiell differentialekvation känd som den komplexa Monge-Ampère-ekvationen , var ett inflytelserik tidigt resultat inom området för geometrisk analys .

Mer exakt hävdar Calabis gissningar lösningen av det föreskrivna Ricci-krökningsproblemet inom ramen för Kähler-metrik på slutna komplexa grenrör. Enligt Chern-Weil-teorin är Ricci -formen av någon sådan metrik en sluten differentiell 2-form som representerar den första Chern-klassen . Calabi antog att det för varje sådan differentialform R finns exakt ett Kähler-mått i varje Kähler -klass vars Ricci-form är R. (Vissa kompakta komplexa grenrör tillåter inga Kähler-klasser, i vilket fall gissningarna är oklara.)

I det speciella fallet att den första Chern-klassen försvinner, innebär detta att varje Kähler-klass innehåller exakt ett Ricci-plattmått . Dessa kallas ofta Calabi–Yau-grenrör . Men termen används ofta på lite olika sätt av olika författare - till exempel kan vissa användningar hänvisa till det komplexa grenröret medan andra kan hänvisa till ett komplext grenrör tillsammans med ett visst Ricci-platt Kähler-mått.

Detta specialfall kan på samma sätt betraktas som den fullständiga existens- och unikhetsteorin för Kähler–Einstein-mått om noll skalär krökning på kompakta komplexa grenrör. Fallet med skalär krökning som inte är noll följer inte som ett specialfall av Calabis gissningar, eftersom den "högra sidan" av Kähler–Einstein-problemet beror på den "okända" metriken, och därigenom placerar Kähler–Einstein-problemet utanför domänen av Kähler–Einstein-problemet. förskrivning av Ricci-kurvatur. Yaus analys av den komplexa Monge-Ampère-ekvationen för att lösa Calabi-förmodan var dock tillräckligt generell för att också lösa förekomsten av Kähler-Einstein-mått för negativ skalär krökning. Det tredje och sista fallet av positiv skalär krökning löstes på 2010-talet, delvis genom att använda sig av Calabi-förmodan.

Översikt över beviset för Calabi-förmodan

Calabi omvandlade Calabi-förmodan till en icke-linjär partiell differentialekvation av komplex Monge–Ampère- typ, och visade att denna ekvation har högst en lösning, vilket fastställer det unika med det krävda Kähler-måttet.

Yau bevisade Calabi-förmodan genom att konstruera en lösning av denna ekvation med kontinuitetsmetoden . Detta innebär att man först löser en enklare ekvation och sedan visar att en lösning till den lätta ekvationen kontinuerligt kan deformeras till en lösning av den hårda ekvationen. Den svåraste delen av Yaus lösning är att bevisa vissa a priori uppskattningar för derivaten av lösningar.

Transformation av Calabi-förmodan till en differentialekvation

Antag att $M$ är ett komplext kompakt grenrör med en Kähler-form $\omega$ . Med $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma , är vilken annan Kähler-form som helst i samma de Rham-kohomologiklass av formen

$\omega +dd'\varphi$

för någon jämn funktion $\varphi$ på $M$ , unik upp till addition av en konstant. Calabis gissning motsvarar därför följande problem:

Låt $F=e^{f}$ vara en positiv jämn funktion på $M$ med medelvärde 1. Då finns det en jämn reell funktion $\varphi$ ; med

$(\omega +dd'\varphi )^{m}=e^{f}\omega ^{m}$

och $\ varphi$ ; är unik upp till tillägg av en konstant.

Detta är en ekvation av komplex Monge–Ampère-typ för en enda funktion $\varphi$ . Det är en särskilt svår partiell differentialekvation att lösa, eftersom den är icke-linjär i termer av högsta ordning. Det är lätt att lösa det när $f=0$ , eftersom $\varphi =0$ är en lösning. Tanken med kontinuitetsmetoden är att visa att den kan lösas för alla $f$ genom att visa att den mängd $f$ som den kan lösas för är både öppen och stängd. Eftersom mängden $f$ som den kan lösas för är icke-tom, och mängden av alla $f$ är ansluten, visar detta att den kan lösas för alla $f$ .

Kartan från jämna funktioner till jämna funktioner som tar $\varphi$ till $F$ definierad av

$F=(\omega +dd'\varphi )^{m}/\omega ^{m}$

är varken injektiv eller surjektiv. Det är inte injektivt eftersom att lägga till en konstant till $\varphi$ ändrar inte ${\displaystyle F} ,$ och det är inte surjektivt eftersom $F$ måste vara positivt och ha medelvärde 1. Så vi överväger kartan är begränsad till funktioner $\varphi$ som är normaliserade till att ha medelvärde 0, och fråga om denna karta är en isomorfism på uppsättningen positiva $F=e^{f}$ med medelvärde 1. Calabi och Yau bevisade att det verkligen är en isomorfism. Detta görs i flera steg, som beskrivs nedan.

Det unika med lösningen

Att bevisa att lösningen är unik innebär att visa att om

$(\omega +dd'\varphi _{1})^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2})^{m}$

då skiljer sig φ ₁ och φ ₂ med en konstant (så måste vara samma om de båda är normaliserade till att ha medelvärde 0). Calabi bevisade detta genom att visa att medelvärdet av

$|d(\varphi _{1}-\varphi _{2})|^{2}$

ges av ett uttryck som är högst 0. Eftersom det uppenbarligen är minst 0 måste det vara 0, så

$d(\varphi _{1}-\varphi _{2})=0$

vilket i sin tur tvingar φ ₁ och φ ₂ att skilja sig åt med en konstant.

Uppsättningen av F är öppen

Att bevisa att mängden möjliga F är öppen (i mängden jämna funktioner med medelvärde 1) innebär att visa att om det är möjligt att lösa ekvationen för någon F , så är det möjligt att lösa den för alla tillräckligt nära F . Calabi bevisade detta genom att använda den implicita funktionssatsen för Banach-rum : för att tillämpa detta är huvudsteget att visa att lineariseringen av differentialoperatorn ovan är inverterbar.

Uppsättningen av F är stängd

Detta är den svåraste delen av beviset, och var den del som Yau gjorde. Antag att F är i stängningen av bilden av möjliga funktioner φ. Detta betyder att det finns en sekvens av funktioner φ ₁ , φ ₂ , ... så att motsvarande funktioner F ₁ , F ₂ ,... konvergerar till F , och problemet är att visa att någon underföljd av φ:erna konvergerar till F . en lösning φ. För att göra detta hittar Yau några a priori-gränser _för funktionerna φ _i och deras högre derivator i termer av de högre derivatorna av log( fi ). Att hitta dessa gränser kräver en lång sekvens av hårda uppskattningar, som var och en förbättras något jämfört med den tidigare uppskattningen. Gränserna Yau får räcker för att visa att funktionerna φ _i alla ligger i en kompakt delmängd av ett lämpligt Banach-rum av funktioner, så det är möjligt att hitta en konvergent delsekvens. Denna undersekvens konvergerar till en funktion φ med bild F , som visar att uppsättningen av möjliga bilder F är stängd.

•   Thierry Aubin , Icke-linjär analys av grenrör, Monge–Ampère-ekvationer ISBN 0-387-90704-1 Detta ger ett bevis på Calabi-förmodan och för Aubins resultat på Kähler–Einstein-mått.
•    Bourguignon, Jean-Pierre (1979), "Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et ST Yau]", Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78) , Lecture Notes in Math ., vol. 710, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 1–21, doi : 10.1007/BFb0069970 , ISBN 978-3-540-09243-8 , MR 0554212 Detta ger en översikt över Aubins och Yaus arbete.
• Calabi, E. (1954). "Rymden av Kähler-mått" (PDF) . I Gerretsen, Johan CH; De Groot, Johannes (red.). Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volym II . Amsterdam: North-Holland Publishing Co. s. 206–207.
•     Calabi, Eugenio (1957). "På Kähler grenrör med försvinnande kanonklass". I Fox, RH ; Spencer, DC ; Tucker, AW (red.). Algebraisk geometri och topologi . Ett symposium till S. Lefschetz ära. Princeton Mathematical Series. Vol. 12. Princeton, NJ: Princeton University Press . s. 78–89. doi : 10.1515/9781400879915-006 . ISBN 9781400879915 . MR 0085583 . Zbl 0080.15002 .
•   Dominic D. Joyce kompakta grenrör med speciell holonomi (Oxford Mathematical Monographs) ISBN 0-19-850601-5 Detta ger ett förenklat bevis på Calabi-förmodan.
•      Yau, Shing Tung (1977), "Calabis förmodan och några nya resultat i algebraisk geometri", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 ( 5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS...74.1798 Y , doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , ISSN 0027-8424 , MR 0451180 , PMC 431004 , PMID 16592394
•   Yau, Shing Tung (1978), "On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère-equation. I", Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10.1002/cpa .3160310304 , MR 0480350

externa länkar

• Yau, Shing Tung (2009), "Calabi-Yau manifold", Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ...4.6524Y , doi : 10.4249/scholarpedia.6524