Hermitian Yang-Mills-förbindelse

Inom matematik , och i synnerhet mätteori och komplex geometri , är en Hermitian Yang-Mills-förbindelse (eller Hermite-Einstein-förbindelse ) en Chern-koppling associerad med en inre produkt på ett holomorft vektorknippe över ett Kähler-grenrör som uppfyller en analog av Einsteins ekvationer : det krävs nämligen att sammandragningen av förbindelsens krökning 2-form med Kähler-formen är en konstant gånger identitetstransformationen. Hermitiska Yang-Mills-förbindelser är speciella exempel på Yang-Mills-förbindelser , och kallas ofta instantons .

Kobayashi -Hitchin-korrespondensen som bevisats av Donaldson , Uhlenbeck och Yau hävdar att en holomorf vektorbunt över ett kompakt Kähler-grenrör medger en Hermitian Yang-Mills-anslutning om och endast om den är lutningspolystabil .

Hermitiska Yang–Mills ekvationer

Hermite-Einstein-kopplingar uppstår som lösningar av Hermitian Yang-Mills ekvationer. Dessa är ett system av partiella differentialekvationer på en vektorbunt över ett Kähler-grenrör, vilket innebär Yang-Mills ekvationer . Låt $A$ vara en hermitisk koppling på en hermitisk vektorbunt $E$ över ett Kähler-grenrör $X$ med dimensionen $n$ . Då är Hermitian Yang-Mills ekvationer

{\begin{aligned}&F_{A}^{0,2}=0\\&F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatörsnamn {Id} ,\end{aligned}}

för någon konstant $\lambda (E)\in \mathbb {C}$ . Här har vi

F_{A}\wedge \omega ^{n-1}=(F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.

Lägg märke till att eftersom $A$ antas vara en hermitisk anslutning, är krökningen $F_{A}$ skev-hermitisk , och så $F_{A}^{ 0,2}=0$ innebär $F_{A}^{2,0}=0$ . När det underliggande Kähler-grenröret $X$ är kompakt, kan $\lambda (E)$ beräknas med hjälp av Chern-Weil-teori . Det har vi nämligen

{\begin{aligned}\deg(E)&:=\int _{X}c_{1}(E)\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i} {2\pi }}\int _{X}\operatörsnamn {Tr} (F_{A})\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\ int _{X}\operatörsnamn {Tr} (F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.\end{aligned}}

Eftersom $F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatörsnamn {Id} _{E}$ och identitetendomorfismen har spår ges av rangen av $E$ , får vi

\lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{n!\operatörsnamn {Vol} (X)}}\mu (E),

där $\mu (E)$ är lutningen för vektorbunten $E$ , given av

\mu (E)={\frac {\deg(E)}{\operatörsnamn {rank} (E)}},

och volymen för $X$ tas med avseende på volymformen $\omega ^{n}/n!$ .

På grund av likheten mellan det andra villkoret i Hermitian Yang-Mills-ekvationerna med ekvationerna för en Einstein-metrik , kallas lösningar av Hermitian Yang-Mills-ekvationerna ofta Hermite-Einstein-kopplingar , såväl som Hermitian Yang-Mills-kopplingar .

Exempel

Levi-Civita-kopplingen för ett Kähler-Einstein-mått är Hermite-Einstein med avseende på Kähler-Einstein-måttet. (Dessa exempel är dock farligt missvisande, eftersom det finns kompakta Einstein-grenrör , såsom sidmåttet på ${\displaystyle {\mathbb {C} P}^{2}\#{\overline { \mathbb {C} P}}_{2}} ,$ som är hermitiska, men för vilka Levi-Civita-kopplingen inte är Hermite-Einstein.)

När den hermitiska vektorbunten $E$ har en holomorf struktur , finns det ett naturligt val av hermitisk anslutning, Chern-förbindelsen . För Chern-anslutningen är villkoret att $F_{A}^{0,2}=0$ automatiskt uppfyllt. Hitchin -Kobayashi-korrespondensen hävdar att en holomorf vektorbunt $E$ tillåter en hermitisk metrisk $h$ så att den associerade Chern-kopplingen uppfyller Hermitian Yang-Mills ekvationer om och bara om vektorbunten är polystabil . Ur detta perspektiv kan de Hermitiska Yang-Mills-ekvationerna ses som ett ekvationssystem för metriken $h$ snarare än den associerade Chern-kopplingen, och sådana mått som löser ekvationerna kallas Hermite-Einstein-mått .

Hermite-Einstein-villkoret på Chern-förbindelser introducerades först av Kobayashi ( 1980 , avsnitt 6). Dessa ekvationer innebär Yang-Mills ekvationer i vilken dimension som helst, och i verklig dimension fyra är nära besläktade med de självdubbla Yang-Mills ekvationer som definierar instantons . Speciellt när den komplexa dimensionen av Kählers grenrör $X$ är $2$ , sker en uppdelning av formerna i självdual och anti-självdualformer. Den komplexa strukturen interagerar med detta enligt följande:

\Lambda _{+}^{2}=\ }\oplus \Lambda ^{0,2}\oplus \langle \omega \rangle ,\qquad \Lambda _{-}^{2}=\langle \omega \rangle ^{\perp }\subset \Lambda ^{ 1,1}

När graden av vektorbunten $E$ försvinner, blir Hermitian Yang-Mills ekvationer $F_{A}^{0,2 }=F_{A}^{2,0}=F_{A}\cdot \omega =0$ . Med ovanstående representation är detta exakt villkoret att $F_{A}^{+}=0$ . Det vill säga, $A$ är en ASD-instanton . Lägg märke till att när graden inte försvinner kan lösningar av Hermitian Yang-Mills ekvationer inte vara anti-självduala, och det finns faktiskt inga lösningar på ASD-ekvationerna i detta fall.

Se även

Kobayashi, Shoshichi (1980), "First Chern class and holomorphic tensor fields" , Nagoya Mathematical Journal , 77 : 5–11, doi : 10.1017/S0027763000018602 , ISSN 0027-7601 , 6MR201 , 6MR201 , 6MR201 , 6MR201 , 6MR201 , 6MR201 8189
Kobayashi, Shoshichi (1987), Differential geometri of complex vector bundles , Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 15, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08467-1 , MR 0909698