Kanoniskt paket

I matematik är den kanoniska bunten av en icke-singular algebraisk variant $V$ av dimensionen $n$ över ett fält linjebunten Ω $\displaystyle \,\!\Omega ^{n }=\omega }$ , vilket är den n :te yttre potensen av cotangensknippet Ω på V .

Över de komplexa talen är det determinantknippet av holomorfa n -former på V . Detta är dualiseringsobjektet för Serre-dualitet på V . Den kan lika gärna betraktas som en vändbar kärve .

Den kanoniska klassen är divisorklassen för en Cartier divisor K på V som ger upphov till den kanoniska bunten - det är en ekvivalensklass för linjär ekvivalens på V , och vilken divisor som helst i den kan kallas en kanonisk divisor . En antikanonisk divisor är vilken divisor som helst − K med K kanonisk.

Det antikanoniska knippet är det motsvarande inversa knippet ω ⁻¹ . När den antikanoniska bunten av V är riklig kallas V en Fano-variant .

Adjunktionsformeln

Antag att X är en jämn variant och att D är en jämn divisor på X . Adjunktionsformeln relaterar de kanoniska buntarna av X och D . Det är en naturlig isomorfism

\omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).

När det gäller kanoniska klasser är det det

K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.

Denna formel är en av de mest kraftfulla formlerna inom algebraisk geometri. Ett viktigt verktyg för modern birational geometri är inversion av adjunktion , vilket gör att man kan härleda resultat om singulariteter av X från singulariteter av D.

Singular fall

På en singularis $X$ finns det flera sätt att definiera den kanoniska divisorn. Om sorten är normal är den jämn i kodimension ett. I synnerhet kan vi definiera kanonisk divisor på det jämna stället. Detta ger oss en unik Weil divisor klass på $X$ . Det är denna klass, betecknad med $K_{X}$ som hänvisas till som den kanoniska divisorn på $X.$

Alternativt, återigen på en normal variant $X$ , kan man betrakta $h^{-d}(\omega _{X}^{.})$ , $-d$ :e kohomologin av det normaliserade dualiserande komplexet av $X$ . Denna bunt motsvarar en Weil divisorklass , som är lika med divisorklassen $K_{X}$ definierad ovan. I avsaknad av normalitetshypotesen gäller samma resultat om $X$ är S2 och Gorenstein i dimension ett.

Kanoniska kartor

Om den kanoniska klassen är effektiv , bestämmer den en rationell karta från V till projektivt utrymme. Denna karta kallas kanonkartan . Den rationella kartan som bestäms av den n: te multipeln av den kanoniska klassen är den n -kanoniska kartan . Den n -kanoniska kartan skickar V in i ett projektivt utrymme med dimension ett mindre än dimensionen för de globala sektionerna av den n :te multipeln av den kanoniska klassen. n -kanoniska kartor kan ha baspunkter, vilket betyder att de inte är definierade överallt (dvs. de kanske inte är en morfism av varianter). De kan ha positiva dimensionella fibrer, och även om de har nolldimensionella fibrer behöver de inte vara lokala analytiska isomorfismer.

Kanoniska kurvor

Det bäst studerade fallet är kurvor. Här är den kanoniska bunten densamma som den (holomorfa) cotangensbunten . En global del av det kanoniska paketet är därför detsamma som en överallt vanlig differentialform. Klassiskt kallades dessa differentialer av det första slaget . Graden av den kanoniska klassen är 2 g − 2 för en kurva av släktet g .

Lågt släkte

Antag att C är en jämn algebraisk kurva av släktet g . Om g är noll är C P ¹ , och den kanoniska klassen är klassen −2 P , där P är vilken punkt som helst i C . Detta följer av kalkylformeln d (1/ t ) = − dt / t ² , till exempel en meromorf differential med dubbelpol i punkten vid oändligheten på Riemanns sfär . Speciellt K _C och dess multipler är inte effektiva. Om g är ett, så är C en elliptisk kurva och K _C är den triviala bunten. De globala sektionerna av den triviala bunten bildar ett endimensionellt vektorrum, så den n -kanoniska kartan för vilket n som helst är kartan till en punkt.

Hyperelliptisk fall

Om C har släktet två eller fler, är den kanoniska klassen stor , så bilden av en n -kanonisk karta är en kurva. Bilden av den 1-kanoniska kartan kallas en kanonkurva . En kanonisk kurva av släktet g sitter alltid i ett projektivt utrymme med dimensionen g − 1 . När C är en hyperelliptisk kurva är den kanoniska kurvan en rationell normalkurva och C en dubbel täckning av dess kanoniska kurva. Till exempel om P är ett polynom av grad 6 (utan upprepade rötter) då

y ² = P ( x )

är en affin kurvrepresentation av en släkte 2-kurva, nödvändigtvis hyperelliptisk, och en grund för differentialerna av det första slaget ges i samma notation av

dx / √ P ( x ) , x dx / √ P ( x ) .

Detta innebär att den kanoniska kartan ges av homogena koordinater [1: x ] som en morfism till den projektiva linjen. Den rationella normalkurvan för hyperelliptiska kurvor av högre släkt uppstår på samma sätt med monomer med högre effekt i x .

Allmänt fall

Annars, för icke-hyperelliptiskt C , vilket betyder att g är minst 3, är morfismen en isomorfism av C med dess bild, som har graden 2 g − 2. För g = 3 är alltså de kanoniska kurvorna (icke-hyperelliptiska fallet) kvartiska plana kurvor . Alla icke-singulära plana kvartiker uppstår på detta sätt. Det finns explicit information för fallet g = 4, när en kanonisk kurva är en skärningspunkt mellan en kvadratisk och en kubisk yta ; och för g = 5 när det är en skärningspunkt mellan tre kvadriker. Det finns en motsats, som är en följd av Riemann-Roch-satsen : en icke-singular kurva C av släktet g inbäddad i projektivt utrymme av dimensionen g − 1 som en linjärt normal kurva av grad 2 g − 2 är en kanonisk kurva, förutsatt att dess linjära spännvidd är hela utrymmet. Faktum är att förhållandet mellan kanoniska kurvor C (i det icke-hyperelliptiska fallet av g åtminstone 3), Riemann-Roch och teorin om speciella divisorer är ganska nära. Effektiva divisorer D på C som består av distinkta punkter har ett linjärt spann i den kanoniska inbäddningen med dimension som är direkt relaterad till den för det linjära system i vilket de rör sig; och med lite mer diskussion gäller detta även fallet med punkter med mångfald.

Mer förfinad information är tillgänglig, för större värden av g , men i dessa fall är kanoniska kurvor i allmänhet inte fullständiga skärningar och beskrivningen kräver mer hänsyn till kommutativ algebra . Fältet började med Max Noethers teorem : dimensionen av utrymmet av kvadriker som passerar genom C så inbäddad som en kanonisk kurva är ( g − 2)( g − 3)/2. Petris teorem , ofta citerad under detta namn och publicerad 1923 av Karl Petri (1881–1955), säger att för g 4 genereras det homogena idealet som definierar den kanoniska kurvan av dess element av grad 2, förutom fallen av ( a) trigonala kurvor och (b) icke-singulära plana quintics när g = 6. I undantagsfallen genereras idealet av elementen i graderna 2 och 3. Historiskt sett var detta resultat till stor del känt före Petri, och har varit kallas Babbage-Chisini-Enriques sats (för Dennis Babbage som slutförde beviset, Oscar Chisini och Federigo Enriques ). Terminologin är förvirrad, eftersom resultatet också kallas Noether–Enriques teorem . Utanför de hyperelliptiska fallen bevisade Noether att (i modernt språk) den kanoniska bunten normalt genereras : de symmetriska krafterna i utrymmet av sektioner av den kanoniska bunten kartlägger sektionerna av dess tensorkrafter. Detta innebär till exempel generering av kvadratskillnaderna på sådana kurvor genom differentialerna av det första slaget; och detta får konsekvenser för den lokala Torelli-satsen. Petris arbete gav faktiskt uttryckliga kvadratiska och kubiska generatorer av idealet, vilket visar att bortsett från undantagen kunde kubiken uttryckas i termer av kvadraterna. I undantagsfallen är skärningen av kvadriken genom den kanoniska kurvan en regerad yta respektive en veronesisk yta .

Dessa klassiska resultat bevisades över de komplexa talen, men modern diskussion visar att teknikerna fungerar över fält av vilken egenskap som helst.

Kanoniska ringar

Den kanoniska ringen av V är den graderade ringen

R=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,K_{V}^{d}).

Om den kanoniska klassen av V är en riklig linjebunt , är den kanoniska ringen den homogena koordinatringen av bilden av den kanoniska kartan. Detta kan vara sant även när den kanoniska klassen av V inte är tillräcklig. Till exempel, om V är en hyperelliptisk kurva, är den kanoniska ringen återigen den homogena koordinatringen av bilden av den kanoniska kartan. I allmänhet, om ringen ovan genereras ändligt, så är det elementärt att se att det är den homogena koordinatringen av bilden av en k -kanonisk karta, där k är vilket som helst tillräckligt delbart positivt heltal.

Det minimala modellprogrammet föreslog att den kanoniska ringen för varje jämn eller milt singulär projektiv sort genererades ändligt. I synnerhet var detta känt för att antyda existensen av en kanonisk modell , en speciell birational modell av V med milda singulariteter som kunde konstrueras genom att blåsa ner V. När den kanoniska ringen är ändligt genererad är den kanoniska modellen Proj av den kanoniska ringen. Om den kanoniska ringen inte genereras ändligt, så Proj R inte en varietet, och den kan därför inte vara birational till V ; i synnerhet V ingen kanonisk modell.

En grundläggande sats av Birkar-Cascini-Hacon-McKernan från 2006 är att den kanoniska ringen av en jämn eller milt singular projektiv algebraisk variant genereras ändligt.

Kodaira -dimensionen för V är dimensionen för den kanoniska ringen minus ett. Här kan dimensionen av den kanoniska ringen tolkas som Krulldimension eller transcendensgrad .

Se även

Anteckningar