Kritisk punkt (matematik)

Abskissorna (x-koordinaterna) för de röda cirklarna är stationära punkter ; de blå rutorna är böjningspunkter .

Kritisk punkt är ett brett begrepp som används inom många grenar av matematiken .

När man har att göra med funktioner av en reell variabel är en kritisk punkt en punkt i funktionens domän där funktionen antingen inte är differentierbar eller derivatan är lika med noll. När man hanterar komplexa variabler är en kritisk punkt på samma sätt en punkt i funktionsdomänen där den antingen inte är holomorf eller där derivatan är lika med noll. På samma sätt, för en funktion av flera reella variabler , är en kritisk punkt ett värde i dess domän där gradienten är odefinierad eller är lika med noll.

Funktionens värde vid en kritisk punkt är ett kritiskt värde .

Denna typ av definition sträcker sig till differentierbara kartor mellan $\mathbb {R} ^{m}$ och $\mathbb {R} ^{n},$ en kritisk punkt som i detta fall är , en punkt där rangordningen för den jakobianska matrisen inte är maximal. Det sträcker sig vidare till differentierbara kartor mellan differentierbara grenrör , eftersom de punkter där rangen för den jakobiska matrisen minskar. I det här fallet kallas kritiska punkter också för bifurkationspunkter .

I synnerhet, om $C$ är en plan kurva , definierad av en implicit ekvation $f (x, y) = 0$ , är de kritiska punkterna för projektionen på $x$ -axeln, parallellt med $y$ -axeln de punkter där tangenten till $C$ är parallella med $y$ -axeln, det vill säga punkterna där

{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

Med andra ord är de kritiska punkterna de där den implicita funktionssatsen inte gäller.

Begreppet en kritisk punkt tillåter matematisk beskrivning av ett astronomiskt fenomen som var oförklarat före Copernicus tid . En stationär punkt i en planets omloppsbana är en punkt i planetens bana på den himmelska sfären , där planetens rörelse tycks stanna innan den startar om i den andra riktningen. Detta inträffar på grund av en kritisk punkt för projektionen av omloppsbanan in i den ekliptiska cirkeln .

Kritisk punkt för en enda variabel funktion

En kritisk punkt för en funktion av en enstaka reell variabel , $f (x)$ , är ett värde $x 0$ i domänen av $f$ där $f$ inte är differentierbar eller dess derivata är 0 (dvs $f'( x_{0})=0$ ). Ett kritiskt värde är bilden under $f$ av en kritisk punkt. Dessa begrepp kan visualiseras genom grafen för $f$ : vid en kritisk punkt har grafen en horisontell tangent om du kan tilldela en alls.

Lägg märke till hur kritisk punkt för en differentierbar funktion är detsamma som stationär punkt .

Även om det är lätt att visualisera på grafen (som är en kurva), får begreppet kritisk punkt för en funktion inte förväxlas med begreppet kritisk punkt, i någon riktning, av en kurva (se nedan för en detaljerad definition ) . Om $g (x, y)$ är en differentierbar funktion av två variabler, så är $g (x, y) = 0$ den implicita ekvationen för en kurva. En kritisk punkt för en sådan kurva, för projektionen parallell med $y$ -axeln (kartan $(x, y) \to x$ ), är en punkt på kurvan där ${\ displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.} Detta$ betyder att kurvans tangent är parallell med $y$ -axeln och att g vid denna punkt inte definiera en implicit funktion från $x$ till $y$ (se implicit funktionssats ) . Om $00 (x, y)$ är en sådan kritisk punkt, då är $x 0$ motsvarande kritiska värde . En sådan kritisk punkt kallas också en bifurkationspunkt , eftersom det i allmänhet, när $x$ varierar, finns två grenar av kurvan på en sida av $x 0$ och noll på den andra sidan.

Det följer av dessa definitioner att en differentierbar funktion $f (x)$ har en kritisk punkt $x 0$ med kritiskt värde $y 0$ , om och endast om $00 (x, y)$ är en kritisk punkt i dess graf för projektionen parallellt med $x$ -axeln, med samma kritiska värde ₀ y . Om $f$ inte är differentierbar vid $x 0$ på grund av att tangenten blir parallell med $y$ -axeln, så är $x 0$ återigen en kritisk punkt för $f$ , men nu är $00 (x, y)$ en kritisk punkt i dess graf för projektionen parallellt med $y$ - axel.

Till exempel är de kritiska punkterna för enhetscirkeln i ekvationen $x^{2}+y^{2}-1=0$ (0, 1) och (0, - 1) för projektionen parallellt med $x$ -axeln, och (1, 0) och (-1, 0) för riktningen parallell med $y$ -axeln. Om man betraktar den övre halvcirkeln som grafen för funktionen ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$ så är $x = 0$ är en kritisk punkt med kritiskt värde 1 på grund av att derivatan är lika med 0, och $x = \pm1$ är kritiska punkter med kritiskt värde 0 på grund av att derivatan är odefinierad.

Exempel

Funktionen $f(x)=x^{2}+2x+3$ är differentierbar överallt, med derivatan $f'(x)=2x+2.$ Denna funktion har en unik kritisk punkt −1, eftersom det är det unika talet $x 0$ för vilket $2x+2=0.$ Denna punkt är ett globalt minimum av $f$ . Motsvarande kritiska värde är $f(-1)=2.$ Grafen för $f$ är en konkav upp parabel , den kritiska punkten är abskissan i vertexet, där tangentlinjen är horisontellt, och det kritiska värdet är ordinatan för vertex och kan representeras av skärningspunkten mellan denna tangentlinje och $y$ -axeln.
Funktionen $f(x)=x^{2/3}$ är definierad för alla $x$ och differentierbar för $x \neq 0$ , med derivatan $f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}.$ Eftersom $f$ inte är differentierbar vid $x = 0$ och $f'( x)\neq 0$ annars är det den unika kritiska punkten. Grafen för funktionen $f$ har en spets vid denna punkt med vertikal tangent. Motsvarande kritiska värde är $f(0)=0.$
Absolutvärdesfunktionen $f(x)=|x|$ _ är differentierbar överallt utom vid kritisk punkt $x = 0$ , där den har en global minimipunkt, med kritiskt värde 0.
Funktionen $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ har inga kritiska punkter. Punkten $x = 0$ är inte en kritisk punkt eftersom den inte ingår i funktionens domän.

Placering av kritiska punkter

Enligt Gauss-Lucas teorem är alla en polynomfunktions kritiska punkter i det komplexa planet inom det konvexa skrovet av funktionens rötter . För en polynomfunktion med endast reella rötter är alltså alla kritiska punkter reella och ligger mellan de största och minsta rötterna.

Sendovs gissning hävdar att om alla en funktions rötter ligger i enhetsskivan i det komplexa planet, så finns det åtminstone en kritisk punkt inom enhetsavstånd från en given rot.

Kritiska punkter i en implicit kurva

Kritiska punkter spelar en viktig roll i studiet av plana kurvor definierade av implicita ekvationer , i synnerhet för att skissa dem och bestämma deras topologi . Begreppet kritisk punkt som används i det här avsnittet kan verka annorlunda än det i föregående avsnitt. I själva verket är det specialiseringen till ett enkelt fall av det allmänna begreppet kritisk punkt som ges nedan .

Således betraktar vi en kurva $C$ definierad av en implicit ekvation ${\displaystyle f(x,y)=0} ,$ där $f$ är en differentierbar funktion av två variabler, vanligtvis ett bivariat polynom . Kurvans punkter är de punkter på det euklidiska planet vars kartesiska koordinater uppfyller ekvationen. Det finns två standardprojektioner π $\displaystyle \pi _{y}}$ och $\pi _{x}$ , definierade av $\pi _ {y}((x,y))=x$ och $\pi _{x}((x,y))=y,$ som kartlägger kurvan på koordinataxlarna . De kallas projektionen parallellt med y-axeln respektive projektionen parallellt med x-axeln .

En punkt i $C$ är kritisk för $\pi _{y}$ , om tangenten till $C$ finns och är parallell med y -axeln. I så fall är bilderna av $\pi _{y}$ av den kritiska punkten och av tangenten samma punkt på x -axeln, kallad det kritiska värdet . Således är en punkt kritisk för $\pi _{y}$ om dess koordinater är lösningen av ekvationssystemet :

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

Detta innebär att denna definition är ett specialfall av den allmänna definitionen av en kritisk punkt, som ges nedan .

Definitionen av en kritisk punkt för $\pi _{x}$ är liknande. Om $C$ är grafen för en funktion $y=g(x)$ så är $(x, y)$ kritisk för $\pi _{x}$ om och endast om $x$ är en kritisk punkt för $g$ , och att de kritiska värdena är desamma.

Vissa författare definierar de kritiska punkterna i $C$ som de punkter som är kritiska för antingen $\pi _{x}$ eller ${\displaystyle \pi _{y}} ,$ även om de inte bara beror på $C$ , men också på valet av koordinataxlarna. Det beror också på författarna om singularpunkterna betraktas som kritiska punkter. Faktum är att singularpunkterna är de punkter som uppfyller

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x} }(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

och är således lösningar av båda ekvationssystem som karakteriserar de kritiska punkterna. Med denna mer allmänna definition är de kritiska punkterna för $\pi _{y}$ exakt de punkter där den implicita funktionssatsen inte gäller.

Användning av diskriminanten

När kurvan $C är algebraisk$ , det vill säga när den definieras av ett bivariat polynom $f$ , är diskriminanten ett användbart verktyg för att beräkna de kritiska punkterna.

Här betraktar vi endast projektionen $\pi _{y}$ ; Liknande resultat gäller för $\pi _{x}$ genom att byta ut $x$ och $y$ .

Låt $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ vara diskriminanten av $f$ sett som ett polynom i $y$ med koefficienter som är polynom i $x$ . Denna diskriminant är alltså ett polynom i $x$ som har de kritiska värdena för $\pi _{y}$ bland sina rötter.

Närmare bestämt är en enkel rot av $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ antingen ett kritiskt värde på $\pi _{y}$ så att motsvarande kritisk punkt är en punkt som inte är singular eller en böjningspunkt, eller $x$ -koordinaten för en asymptot som är parallell med $y$ -axeln och tangerar "i oändligheten" till en böjningspunkt (böjningsasymptot).

En multipelrot av diskriminanten motsvarar antingen flera kritiska punkter eller böjningsasymptoter som delar samma kritiska värde, eller till en kritisk punkt som också är en böjningspunkt, eller till en singularis.

Flera variabler

För en funktion av flera reella variabler är en punkt $P$ (det vill säga en uppsättning värden för indatavariablerna, som ses som en punkt i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}})$ kritisk om den är en punkt där gradienten är odefinierad eller gradienten är noll. De kritiska värdena är värdena för funktionen vid de kritiska punkterna.

En kritisk punkt (där funktionen är differentierbar) kan vara antingen ett lokalt maximum , ett lokalt minimum eller en sadelpunkt . Om funktionen är åtminstone två gånger kontinuerligt differentierbar kan de olika fallen särskiljas genom att beakta egenvärdena för den hessiska matrisen av andraderivator.

En kritisk punkt där den hessiska matrisen är icke-singular sägs vara icke-degenererad , och tecknen på hessiskans egenvärden bestämmer funktionens lokala beteende. I fallet med en funktion av en enda variabel är hessian helt enkelt andraderivatan , ses som en 1×1-matris, som är icke-singular om och bara om den inte är noll. I detta fall är en icke-degenererad kritisk punkt ett lokalt maximum eller ett lokalt minimum, beroende på tecknet för den andra derivatan, vilket är positivt för ett lokalt minimum och negativt för ett lokalt maximum. Om den andra derivatan är noll är den kritiska punkten i allmänhet en böjningspunkt , men kan också vara en undulationspunkt , som kan vara ett lokalt minimum eller ett lokalt maximum.

För en funktion av $n$ variabler kallas antalet negativa egenvärden för den hessiska matrisen vid en kritisk punkt för den kritiska punktens index . En icke-degenererad kritisk punkt är ett lokalt maximum om och endast om indexet är $n$ , eller, ekvivalent, om den hessiska matrisen är negativ definitiv ; det är ett lokalt minimum om indexet är noll, eller, ekvivalent, om den hessiska matrisen är positiv definitiv . För de andra värdena i indexet är en icke-degenererad kritisk punkt en sadelpunkt , det vill säga en punkt som är ett maximum i vissa riktningar och ett minimum i andra.

Applikation för optimering

Enligt Fermats teorem uppträder alla lokala maxima och minima för en kontinuerlig funktion vid kritiska punkter. Därför, för att hitta de lokala maxima och minima för en differentierbar funktion, räcker det teoretiskt sett att beräkna gradientens nollställen och egenvärdena för den hessiska matrisen vid dessa nollställen. Detta fungerar inte bra i praktiken eftersom det kräver lösningen av ett olinjärt system av samtidiga ekvationer , vilket är en svår uppgift. De vanliga numeriska algoritmerna är mycket effektivare för att hitta lokala extrema, men kan inte intyga att alla extrema har hittats. I synnerhet, vid global optimering , kan dessa metoder inte intyga att resultatet verkligen är det globala optimala.

När funktionen att minimera är ett multivariat polynom är de kritiska punkterna och de kritiska värdena lösningar av ett system av polynomekvationer, och moderna algoritmer för att lösa sådana system tillhandahåller konkurrenskraftiga certifierade metoder för att hitta det globala minimumet.

Kritisk punkt för en differentierbar karta

Givet en differentierbar karta $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$ de kritiska punkterna för $f$ är punkterna för $\mathbb {R} ^{m},$ där rangordningen för den jakobiska matrisen för $f$ inte är maximal. Bilden av en kritisk punkt under $f$ kallas ett kritiskt värde . En punkt i komplementet till uppsättningen kritiska värden kallas ett reguljärt värde . Sards teorem säger att uppsättningen av kritiska värden för en jämn karta har måttet noll .

Vissa författare ger en något annorlunda definition: en kritisk punkt på $f$ är en punkt på $\mathbb {R} ^{m}$ där rangordningen för den jakobiska matrisen för $f$ är mindre än $n$ . Med denna konvention är alla punkter kritiska när $m < n$ .

Dessa definitioner sträcker sig till differentialkartor mellan differentierbara grenrör på följande sätt. Låt $f:V\to W$ vara en differentialkarta mellan två grenrör $V$ och $W$ med respektive dimensioner $m$ och $n$ . I närheten av en punkt $p$ av $V$ och $f (p)$ är diagram diffeomorfismer $\to \mathbb {R} ^{m}}$ V och $\psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.$ Punkten $p$ är kritisk för $f$ om $\varphi (p)$ är kritisk för $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ Denna definition beror inte på valet av diagrammen eftersom övergångskartorna är diffeomorfismer, deras jakobianska matriser är inverterbara och multiplicering med dem ändrar inte rangen för den jakobiska matrisen för $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ Om $M$ är ett Hilbert-grenrör (inte nödvändigtvis ändligt dimensionellt) och $f$ är en verkligt värderad funktion så säger vi att $p$ är en kritisk punkt för $f$ om $f$ inte är en nedsänkning vid $p$ .

Applikation på topologi

Kritiska punkter är grundläggande för att studera topologin hos grenrör och verkliga algebraiska varianter . I synnerhet är de det grundläggande verktyget för morseteori och katastrofteori .

Kopplingen mellan kritiska punkter och topologi förekommer redan på en lägre abstraktionsnivå. Låt till exempel $V$ vara en undergren av $\mathbb {R} ^{n},$ och $P$ vara en punkt utanför $V.$ Kvadraten på avståndet till $P$ för en punkt i $V$ är en differentialkarta så att varje ansluten komponent i $V$ innehåller åtminstone en kritisk punkt, där avståndet är minimal. Det följer att antalet anslutna komponenter i $V$ begränsas ovanför av antalet kritiska punkter.

När det gäller verkliga algebraiska varieteter tillåter denna observation associerad med Bézouts sats oss att binda antalet sammankopplade komponenter med en funktion av graderna av polynomen som definierar varieteten.

Se även