Holomorfisk vektorbunt

Inom matematik är ett holomorft vektorknippe ett komplext vektorknippe över ett komplext grenrör X så att det totala utrymmet E är ett komplext grenrör och projektionskartan π : E → X är holomorf . Grundläggande exempel är det holomorfa tangentknippet av ett komplext grenrör, och dess dubbla, det holomorfa kotangensknippet . Ett holomorft linjeknippe är ett holomorft vektorknippe i rang 1.

Enligt Serres GAGA är kategorin holomorfa vektorbuntar på en jämn komplex projektiv varietet X (sedda som ett komplext grenrör) ekvivalent med kategorin algebraiska vektorbuntar (dvs lokalt fria skivor av finit rang) på X .

Definition genom trivialisering

Specifikt kräver man att trivialiseringen kartläggs

$\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}$

är biholomorfa kartor . Detta motsvarar att kräva att övergången fungerar

$t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )$

är holomorfa kartor. Den holomorfa strukturen på tangentbunten av ett komplext grenrör garanteras av anmärkningen att derivatan (i lämplig betydelse) av en vektorvärderad holomorf funktion i sig själv är holomorf.

Kärven av holomorfa sektioner

Låt E vara en holomorf vektorbunt. En lokal sektion s : U → E | _U sägs vara holomorft om det, i en grannskap av varje punkt av U , är holomorft i någon (motsvarande vilken som helst) trivialisering.

Detta tillstånd är lokalt, vilket betyder att holomorfa sektioner bildar en kärve på X . Denna kärve betecknas ibland ${\mathcal {O}}(E)$ , eller kränkande av E . En sådan kärve är alltid lokalt fri från samma rang som vektorbuntens rang. Om E är den triviala linjebunten ${\underline {\mathbf {C} }},$ så sammanfaller denna bunt med strukturen bunten ${\mathcal {O}}_{X}$ av det komplexa grenröret X .

Grundläggande exempel

Det finns linjebuntar ${\mathcal {O}}(k)$ över $\mathbb {CP} ^{n}$ vars globala sektioner motsvarar homogena polynom av graden ${ \displaystyle k}$ (för $k$ ett positivt heltal). I synnerhet $k=0$ den triviala radbunten. Om vi ​​tar täckningen $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i }\neq 0\}$ då kan vi hitta diagram $\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}$ definierade av

$\phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i }}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\ frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}$

Vi kan konstruera övergångsfunktioner $\phi _{ij}|_{U_{i}\ cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j }^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ definieras av

$\phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{ 1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i }}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{ z_{j}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)$

Om vi ​​nu betraktar den triviala bunten ${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} } kan$ bilda inducerade övergångsfunktioner $\psi _{i,j}$ . Om vi ​​använder koordinaten $z$ på fibern kan vi bilda övergångsfunktioner

$\psi _{i ,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\ frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)$

för valfritt heltal $k$ . Var och en av dessa är associerade med en radbunt ${\mathcal {O}}(k)$ . Eftersom vektorbuntar nödvändigtvis drar tillbaka, har alla holomorfa undergrenar ${\ displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$$\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$ en associerad linjebunt , ibland betecknad ${\mathcal {O}}(k)|_{X}$ .

Dolbeault-operatörer

Antag att E är ett holomorft vektorknippe. Sedan finns det en distingerad operator ${\bar {\partial }}_{E}$ definierad enligt följande. I en lokal trivialisering $U_{\alpha }$ av E , med lokal ram $e_{1},\dots ,e_{n}$ , kan vilket avsnitt som helst skrivas $s=\sum _{i}s^{i}e_{i}$ för vissa smidiga funktioner $s^{i}:U_ {\alpha }\to \mathbb {C}$ . Definiera en operatör lokalt med

${\bar {\partial }}_{E}(s):=\summa _{i}{\bar {\ partiell }}(s^{i})\otimes e_{i}$

där ${\bar {\partial }}$ är den vanliga Cauchy–Riemann-operatorn för basgrenröret. Denna operator är väldefinierad på hela E eftersom på en överlappning av två trivialiseringar $U_{\alpha },U_{\beta }$ med holomorf övergångsfunktion $g_{\ alfa \beta }$ , om $s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}$ där $f_{j}$ är en lokal ram för E på $U_{\beta }$ , då ${\displaystyle s ^{i}=\summa _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}, och$ så

${\bar {\partial }}(s^{i})=\summa _{j}(g_ {\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})$

eftersom övergångsfunktionerna är holomorfa. Detta leder till följande definition: En Dolbeault-operator på en jämn komplex vektorbunt $E\to M$ är en $\mathbb {C}$ -linjär operator

${\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1 }(M)\otimes \Gamma (E)$

Så att

• (Cauchy–Riemann-villkor) ${\bar {\partial }}_{E}^{2}=0$ ,
• (Leibniz-regeln) För alla avsnitt $s\in \Gamma (E)$ och funktion $f$ på $M$ , har man

${\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }} (f)\otimes s+f{\bar {\partial}}_{E}(s)$ .

Genom en tillämpning av Newlander-Nirenberg-satsen får man en omvändning till konstruktionen av Dolbeault-operatorn för en holomorf bunt:

Teorem: Givet en Dolbeault-operator ${\bar {\partial }}_{E}$ på en jämn komplex vektorbunt $E$ , finns det en unik holomorf struktur på $E$ så att ${\bar {\partial }}_{E}$ är den associerade Dolbeault-operatorn som konstruerats ovan.

Med avseende på den holomorfa strukturen inducerad av en Dolbeault-operator ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}} ,$ en jämn sektion $s\in \Gamma (E )$ är holomorft om och endast om ${\bar {\partial }}_{E}(s)=0$ . Detta liknar moraliskt definitionen av ett jämnt eller komplext grenrör som ett ringmärkt utrymme . Det räcker nämligen att specificera vilka funktioner på ett topologiskt grenrör som är jämna eller komplexa, för att genomsyra den med en jämn eller komplex struktur.

Dolbeault - operatören har lokal invers i termer av homotopi - operatör .

Formskivorna med värden i ett holomorft vektorknippe

Om ${\mathcal {E}}_{X}^{p,q}$ betecknar kärven av C ^∞ differentialformer av typ ( p , q ) , då kärven av typ ( p ) , q ) former med värden i E kan definieras som tensorprodukten

${\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.$

Dessa skivor är bra , vilket betyder att de tillåter uppdelningar av enhet . En grundläggande skillnad mellan släta och holomorfa vektorbuntar är att i de senare finns det en kanonisk differentialoperator, given av Dolbeault-operatorn definierad ovan:

${\overline {\partial}}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}( E).$

Kohomologi av holomorfa vektorbuntar

Se även: Dolbeault cohomology

Om E är ett holomorft vektorknippe, definieras kohomologin för E som kärvkohomologin för ${\mathcal {O}}(E)$ . I synnerhet har vi

$H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\ mathcal {O}}(E)),$

utrymmet för globala holomorfa sektioner av E. Vi har också att $H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))$ parametriserar gruppen av förlängningar av den triviala linjebunten av X med E , det vill säga exakta sekvenser av holomorfa vektorbuntar 0 → E → F → X × C → 0 . För gruppstrukturen, se även Baer sum samt sheaf extension .

Genom Dolbeaults sats kan denna kohomologi alternativt beskrivas som kohomologin av kedjekomplexet som definieras av formskivorna med värden i den holomorfa bunten $E$ . Det har vi nämligen

$H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet}(E),{\ stapel {\partial}}_{E})).$

Picard-gruppen

I sammanhanget av komplex differentialgeometri är Picard-gruppen Pic( X ) i det komplexa grenröret X gruppen av isomorfismklasser av holomorfa linjebuntar med grupplag given av tensorprodukt och inversion ges av dualisering. Den kan definieras på samma sätt som den första kohomologigruppen $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ i kärven av icke-försvinnande holomorfa funktioner.

Hermitiska mått på en holomorfisk vektorbunt

Se även: Eremitisk anslutning

Låt E vara ett holomorft vektorknippe på ett komplext grenrör M och anta att det finns en hermitisk metrik på E ; det vill säga fibrer E _x är utrustade med inre produkter <·,·> som varierar jämnt. Sedan finns det en unik koppling ∇ på E som är kompatibel med både komplex struktur och metrisk struktur, kallad Chern-kopplingen ; det vill säga ∇ är en sådan koppling

(1) För alla jämna sektioner s av E , $\pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s$ där π _0,1 tar (0, 1)-komponenten av en E -värderad 1-form .

(2) För alla jämna sektioner s , t av E och ett vektorfält X på M ,

${\displaystyle X\cdot \ langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle } där vi skrev ∇ X s {\displaystyle \$

nabla $} s}$ för sammandragningen av $\nabla s$ med X . (Detta motsvarar att säga att parallelltransporten med ∇ bevarar metriken <·,·>.)

Om u = ( e ₁ , …, e _n ) är en holomorf ram, låt $h_{ij}=\langle e_{i},e_{j }\rangle$ och definiera ω _u med ekvationen $\sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j }^{k}=\partial h_{ij}$ , som vi skriver enklare som:

$\omega _{u}=h^{-1}\partial h.$

Om u' = ug är en annan ram med en holomorf förändring av basen g , då

$\omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},$

och så är ω verkligen en kopplingsform som ger upphov till ∇ med ∇ s = ds + ω · s . Nu, eftersom ${\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}$ ,

$d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{ k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_ {j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .$

Det vill säga, ∇ är kompatibel med metrisk struktur. Slutligen, eftersom ω är en (1, 0)-form, är (0, 1)-komponenten av $\nabla s$${\bar {\partial }}_{ E}s$ .

Låt $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ vara krökningsformen för ∇. Eftersom $\pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}$ kvadrater till noll enligt definitionen av en Dolbeault-operator, har Ω ingen (0, 2)-komponent och eftersom Ω lätt visar sig vara skew-hermitian, har den inte heller någon (2, 0)-komponent. Följaktligen är Ω en (1, 1)-form som ges av

$\Omega ={\bar {\partial}}_{E}\omega .$

Krökningen Ω framträder framträdande i försvinnande teorem för högre kohomologi av holomorfa vektorbuntar; t.ex. Kodairas försvinnande teorem och Nakanos försvinnande teorem .

Anteckningar

•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523
• "Vector bundle, analytic" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Se även

• Birkhoff–Grothendiecks sats
• Quillen metrisk
• Serre dualitet

externa länkar

• Uppdelningsprincip för holomorfa vektorbuntar