Konstant skalär krökning Kähler-metrisk

I differentialgeometri är en Kähler-metrik med konstant skalär krökning (cscK-metrik) ( som namnet antyder) en Kähler-metrik på ett komplext grenrör vars skalära krökning är konstant. Ett specialfall är Kähler–Einstein metrisk , och ett mer allmänt fall är extrem Kähler metrisk .

Donaldson (2002) , Tian ^{[ citat behövs ]} och Yau ^{[ citat behövs ]} förmodade att förekomsten av en cscK-metrik på ett polariserat projektivt grenrör är likvärdigt med att det polariserade grenröret är K-polystabilt . Den senaste utvecklingen inom området tyder på att den korrekta ekvivalensen kan vara att det polariserade grenröret är enhetligt K-polystabilt [ ^{citat behövs ]} . När polariseringen ges av det (anti)kanoniska linjeknippet (dvs i fallet med Fano- eller Calabi–Yau-grenrören ) sammanfaller begreppen K-stabilitet och K-polystabilitet, cscK-mått är just Kähler-Einstein-mått och Yau -Tian-Donaldsons gissningar är kända för att hålla ^{[ citat behövs ]} .

Extrema Kähler-mått

Kähler-mått med konstant skalär krökning är specifika exempel på en mer allmän uppfattning om kanonisk metrik på Kählers grenrör, extrema Kähler-mått . Extrema mått, som namnet antyder, extremiserar en viss funktionalitet på utrymmet för Kähler-mått, Calabi-funktionen, introducerad av Calabi .

Calabi funktionell

Kähler-potentialernas utrymme i en specifik Kähler de Rham-kohomologiklass på ett kompakt Kähler-grenrör. Låt nämligen $[\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)$ vara en Kähler-klass på ett kompakt Kähler-grenrör $(X,\omega )$ , och låt $\omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }} \varphi$ vara någon Kähler-metrik i denna klass, som skiljer sig från $\omega$ med potentialen $\varphi$ . Calabi funktionella $C$ definieras av

C(\omega _{\varphi })=\int _{X}S(\omega _{\varphi })^{2 }\omega _{\varphi }^{n}

där $S(\omega _{\varphi })$ är den skalära krökningen för den associerade Riemann-metriken till $\omega _{\varphi }$ och $\dim X=n$ . Denna funktion är i huvudsak kvadratisk norm för den skalära krökningen för Kähler-mått i Kähler-klassen [ $\displaystyle [\omega ]}$ . Att förstå flödet av denna funktion, Calabi-flödet , är ett nyckelmål för att förstå existensen av kanoniska Kähler-mått.

Extrema mått

Per definition är ett extremt Kähler-mått en kritisk punkt för Calabi funktionella., antingen lokala eller globala minimerare. I denna mening kan extrema Kähler-mått ses som det bästa eller kanoniska valet av Kähler-metrik på alla kompakta Kähler-grenrör.

Konstant skalär krökning Kähler-mått är exempel på extrema Kähler-mått som är absoluta minimering av Calabi-funktion. I denna mening liknar Calabi-funktionaliteten Yang-Mills-funktionella och extrema mått liknar Yang-Mills-kopplingar . Rollen av konstant skalär krökningsmetrik spelas av vissa absoluta minimerare av Yang-Mills funktionella, anti-själv dubbla anslutningar eller Hermitian Yang-Mills anslutningar .

I vissa fall existerar inte Kähler-mått med konstant skalär krökning på ett kompakt Kähler-grenrör, men extrema mätvärden kan fortfarande existera. Till exempel kan vissa grenrör tillåta Kähler-Ricci-solitoner, som är exempel på extrema Kähler-mått, och explicita extrema metriker kan konstrueras i fallet med ytor.

De absoluta minimeringarna av Calabi-funktionella, de konstanta skalära krökningsmåtten, kan alternativt karakteriseras som de kritiska punkterna för en annan funktionell, Mabuchi-funktionen . Detta alternativa variationsperspektiv på konstant skalär krökningsmetrik har bättre formella egenskaper än Calabi-funktionella, på grund av dess relation till momentkartor på Kähler-metrik.

Holomorfi potentialer

Det finns en alternativ karaktärisering av de kritiska punkterna hos Calabi-funktionella när det gäller så kallade holomorfipotentialer. Holomorfipotentialer är vissa mjuka funktioner på ett kompakt Kähler-grenrör vars Hamilton-flöde genererar automorfismer av Kähler-grenröret. Med andra ord är deras gradientvektorfält holomorfa.

En holomorfipotential är en komplext värderad funktion $f:X\to \mathbb {C}$ så att vektorfältet $\xi$ definierat av ${\displaystyle \xi ^{j}=g^{j{\bar {k}}}\partial _{\bar {k}}f} är ett holomorft vektorfält, där g$ { \ displaystyle $}$ är den riemannska metriken som associeras med Kähler-formen, och summeringen här är tagen med Einsteins summationsnotation . Vektorutrymmet för holomorfipotentialer, betecknat med ${\mathfrak {h}}$ , kan identifieras med Lie-algebra för automorfismgruppen i Kählers grenrör $(X,\omega) )$ .

En Kähler-metrik $\omega$ är extremal, en minimering av Calabi-funktionalen, om och endast om den skalära krökningen $S(\omega )$ är en holomorfipotential. Om den skalära krökningen är konstant så att $\omega$ är cscK, så är den associerade holomorfipotentialen en konstant funktion, och det inducerade holomorfa vektorfältet är nollvektorfältet. I synnerhet på ett Kähler-grenrör som inte tillåter några holomorfa vektorfält som inte är noll, är de enda holomorfipotentialerna konstanta funktioner och varje extremmetrik är en Kähler-metrik med konstant skalär krökning.

Förekomsten av konstant krökningsmetrik är intimt kopplad till hinder som härrör från holomorfa vektorfält, vilket leder till Futaki-invariant och K-stabilitet . Denna teori är välstuderad för det specifika fallet med Kähler–Einstein-mått .

Se även

Biquard, Olivier (2006), "Métriques kählériennes à courbure scalaire constante: unicité, stabilité", Astérisque , Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005 Exp. nr 938 (307): 1–31, ISSN 0303-1179 , MR 2296414
Donaldson, SK (2001), "Scalar curvature and projective embeddings. I" , Journal of Differential Geometry , 59 (3): 479–522, ISSN 0022-040X , MR 1916953
Donaldson, SK (2002), "Scalar curvature and stability of toric varieties" , Journal of Differential Geometry , 62 (2): 289–349, ISSN 0022-040X , MR 1988506