Kähler–Einstein metrisk

I differentialgeometri är ett Kähler–Einstein-mått på ett komplext grenrör ett Riemann-mått som är både ett Kähler-mått och ett Einstein-mått . En mångfald sägs vara Kähler–Einstein om den medger ett Kähler–Einstein-mått. Det viktigaste specialfallet av dessa är grenrören Calabi–Yau , som är Kähler och Ricci-flat .

Det viktigaste problemet för detta område är förekomsten av Kähler–Einstein-mått för kompakta Kähler-grenrör. Detta problem kan delas upp i tre fall beroende på tecknet för den första Chern-klassen av Kähler-grenröret:

När den första Chern-klassen är negativ finns det alltid Kähler–Einstein-mått, vilket Thierry Aubin och Shing-Tung Yau bevisade oberoende av varandra.
När den första Chern-klassen är noll finns det alltid ett Kähler–Einstein-mått, vilket Yau bevisade i Calabi-förmodan . Det leder till namnet Calabi–Yau grenrör. Han belönades med Fields-medaljen delvis på grund av detta arbete.
Det tredje fallet, det positiva eller Fano-fallet, förblev ett välkänt öppet problem under många år. I det här fallet finns det ett icke-trivialt hinder för tillvaron. 2012 Xiuxiong Chen , Simon Donaldson och Song Sun att i det här fallet motsvarar existensen ett algebro-geometriskt kriterium som kallas K-stabilitet . Deras bevis dök upp i en serie artiklar i Journal of the American Mathematical Society. Ett bevis producerades oberoende av Gang Tian samtidigt.

När den första Chern-klassen inte är bestämd, eller vi har en mellanliggande Kodaira-dimension, förblev att hitta kanonisk metrik som ett öppet problem, vilket kallas algebriseringsförmodan via analytiskt minimal modellprogram.

Definition

Einsteins grenrör

Antag att $(X,g)$ är ett Riemannskt grenrör . Inom fysiken Einsteins fältekvationer en uppsättning partiella differentialekvationer på den metriska tensorn $g$ som beskriver hur grenröret $X$ bör kurva på grund av förekomsten av massa eller energi, en kvantitet inkapslad av stress-energitensor $T$ . I ett vakuum där det inte finns någon massa eller energi, det vill säga $T=0$ , förenklas Einsteins fältekvationer. Ricci-kurvaturen för ${\displaystyle g} är$ nämligen en symmetrisk $(2,0)$ -tensor, liksom själva metriska $g$ , och ekvationerna reduceras till

\operatorname {Ric} _{g}={\frac {1}{2}}R_{g}g

där $R_{g}$ är den skalära krökningen av $g$ . Det vill säga, Ricci-kurvaturen blir proportionell mot metriken. Ett Riemann-grenrör $(X,g)$ som uppfyller ekvationen ovan kallas ett Einstein-grenrör .

Varje tvådimensionell Riemann-grenrör är Einstein. Det kan bevisas med hjälp av Bianchi-identiteterna att, i vilken större dimension som helst, den skalära krökningen för alla anslutna Einstein-grenrör måste vara konstant. Av denna anledning ges Einstein-tillståndet ofta som

\operatörsnamn {Ric} _{g}=\lambda g

för ett reellt tal $\lambda .$

Kähler grenrör

När det riemannska grenröret $(X,g)$ också är ett komplext grenrör , det vill säga kommer det med en integrerbar nästan komplex struktur $J:TX\to TX$ , är det möjligt att be om en kompatibilitet mellan den metriska strukturen $g$ och den komplexa strukturen $J$ . Det finns många likvärdiga sätt att formulera detta kompatibilitetsvillkor, och en kortfattad tolkning är att fråga att $J$ är ortogonal med avseende på ${\displaystyle g},$ så att $g(Ju,Jv)=g(u,v)$ alla vektorfält $u,v\in \Gamma (TM)$ , och att $J$ bevaras av parallelltransporten av Levi-Civita-anslutningen $\nabla$ , fångad av villkoret $\nabla J=0$ . En sådan trippel $(X,g,J)$ kallas Kähler-grenrör .

Kähler–Einstein-mått

En Kähler–Einstein-grenrör är en som kombinerar ovanstående egenskaper att vara Kähler och att tillåta en Einstein-metrik. Kombinationen av dessa egenskaper innebär en förenkling av Einsteins ekvation när det gäller den komplexa strukturen. På ett Kähler-grenrör kan man nämligen definiera Ricci-formen , en verklig $(1,1)$ -form , med uttrycket

\rho (u,v)=\operatörsnamn {Ric} _{g}(Ju,v),

där $u,v$ är alla tangentvektorfält till $X$ .

Den nästan komplexa strukturen $J$ tvingar $\rho$ att vara antisymmetrisk, och kompatibilitetsvillkoret $\nabla J=0$ kombinerat med Bianchi-identiteten innebär att $\rho$ är en sluten differentialform . Associerad till den riemannska metriken $g$ är Kähler-formen $\omega$ definierad av ett liknande uttryck $\omega (u,v)=g(Ju,v)$ . Därför kan Einsteins ekvationer för $g$ skrivas om som

\rho =\lambda \omega ,

Kähler–Einstein-ekvationen.

Eftersom detta är en likhet mellan slutna differentialformer, innebär det en likhet mellan de associerade de Rham-kohomologiklasserna [ $\displaystyle [\rho ]}$ och $[\omega ]$ . Den förra klassen är den första Chern-klassen av $X$ , $c_{1}(X)$ . Därför är en nödvändig förutsättning för att det ska finnas en lösning på Kähler–Einstein-ekvationen att $\lambda \omega \in c_{1}(X)$ , för vissa $\lambda \in \mathbb {R}$ . Detta är ett topologiskt nödvändigt villkor på Kählers grenrör $(X,g,J)$ .

Observera att eftersom Ricci-kurvaturen är $\operatorname {Ric} _{g}$ invariant under skalning ${\displaystyle g\mapsto \lambda ^{-1}g} ,$ om det finns ett mått så att ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)} ,$ man kan alltid normalisera till ett nytt mått med $\ omega \in c_{1}(X)$ , det vill säga $\lambda =-1,0,1$ . Sålunda skrivs ofta Kähler–Einstein-ekvationen

\rho =-\omega ,\quad \rho =0,\quad \rho =\omega

beroende på tecknet för den topologiska konstanten $\lambda$ .

Transformation till en komplex Monge–Ampere-ekvation

Situationen för kompakta Kähler-grenrör är speciell, eftersom Kähler–Einstein-ekvationen kan omformuleras till en komplex Monge–Ampere-ekvation för en jämn Kählerpotential på $X$ . Genom det topologiska antagandet på Kählers grenrör kan vi alltid anta att det finns någon Kähler-metrik $\omega _{0}\in c_{1}(X)$ . Ricci-formen $\rho _{0}$ av $\omega _{0}$ ges i lokala koordinater av formeln

\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log \omega _{0}^{n}.

Enligt antagandet är $\omega _{0}$ och $\rho _{0}$ i samma kohomologiklass $c_{1}(X)$ , så $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma från Hodge-teorin antyder att det finns en jämn funktion $F\in C^{\infty }(X)$ så att $\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}F=\rho _{0}$ .

Alla andra måttenheter $\omega \in c_{1}(X)$ är relaterad till $\omega _{0}$ med en Kähler-potential $\varphi \in C^{\infty }(X)$ så att $\omega =\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi$ . Det följer då att if $\rho$ är Ricci-formen med avseende på $\omega$ , då

\rho -\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}} }.

För att göra $\rho =\lambda \omega$ måste vi alltså hitta $\varphi$ så att

\lambda i\partial {\bar {\partial }}\varphi =i\partial {\bar {\partial}}Fi\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^ {n}}{\omega _{0}^{n}}}.

Detta kommer säkerligen att vara sant om samma ekvation bevisas efter att ha tagit bort derivatorna ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}} ,$ och i själva verket är detta en ekvivalent ekvation av $\ partiell {\bar {\partial }}$ -lemma upp till att ändra $\varphi$ genom tillägg av en konstant funktion. I synnerhet, efter att ha tagit bort $\partial {\bar {\partial }}$ och exponentierat, omvandlas ekvationen till

(\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=e^{F-\lambda \varphi }\omega _{0}^{n} .

Denna partiella differentialekvation liknar en riktig Monge-Ampere-ekvation , och är känd som en komplex Monge-Ampere-ekvation, och kan därefter studeras med hjälp av verktyg från konvex analys . Dess beteende är mycket känsligt för tecknet för den topologiska konstanten $\lambda =-1,0,1$ . Lösningarna av denna ekvation framstår som kritiska punkter i K-energifunktionen introducerad av Toshiki Mabuchi på utrymmet av Kähler potentialer i klassen $c_{1}(X)$ .

Existens

Existensproblemet för Kähler–Einstein-mått kan delas upp i tre distinkta fall, beroende på tecknet för den topologiska konstanten $\lambda$ . Eftersom Kählerformen $\omega$ alltid är en positiv differentialform beror tecknet på $\lambda$ på om kohomologiklassen $c_{1}(X)$ är positivt, negativt eller noll. I algebraisk geometri detta förstås i termer av den kanoniska bunten av $X$ : $c_{1}(X)<0$ om och endast om den kanoniska bunten $K_{ X}$ är en riklig radbunt , och $c_{1}(X)>0$ om och endast om $K_{X}^{-1}$ är rikligt. Om $K_{X}$ är en trivial radbunt, då $c_{1}(X)=0$ . När Kählers grenrör är kompakt har existensproblemet lösts helt.

Fallet c ₁ (X) <0

När Kählers grenrör $X$ uppfyller det topologiska antagandet ${\displaystyle c_{1}(X)<0} ,$ är den kanoniska bunten riklig och därför måste $\lambda$ vara negativ. Om det nödvändiga topologiska antagandet är uppfyllt, det vill säga att det finns en Kähler-metrik $\omega$ så att $c_{1}(X)=\lambda [\omega ]$ , då bevisades det av Aubin och Yau att en Kähler–Einstein alltid existerar. Förekomsten av en Kähler-metrik som uppfyller det topologiska antagandet är en konsekvens av Yaus bevis på Calabi-förmodan .

Sats (Aubin, Yau): Ett kompakt Kähler-grenrör med $c_{1}(X)<0$ tillåter alltid ett Kähler–Einstein-mått.

Fallet c ₁ (X)=0

När den kanoniska bunten $K_{X}$ är trivial, så att $c_{1}(X)=0$ , sägs grenröret vara Calabi–Yau . Dessa grenrör är av speciell betydelse inom fysiken, där de bör visas som strängbakgrunden i supersträngteorin i 10 dimensioner. Matematiskt motsvarar detta fallet där ${\displaystyle \lambda =0} ,$ det vill säga när det Riemannska grenröret $(X,g)$ är Ricci flat .

Förekomsten av ett Kähler–Einstein-mått bevisades i detta fall av Yau, med en kontinuitetsmetod som liknar fallet där $c_{1}(X)<0$ . Det topologiska antagandet $c_{1}(X)=0$ introducerar nya svårigheter i kontinuitetsmetoden. Delvis på grund av hans bevis på existens, och det relaterade beviset på Calabi-förmodan , belönades Yau med Fields-medaljen .

Sats (Yau): Ett kompakt Kähler-grenrör med trivialt kanoniskt knippe, ett Calabi-Yau-grenrör, medger alltid ett Kähler-Einstein-mått, och i synnerhet ett Ricci-platt mått.

Fallet c ₁ (X)>0

När den antikanoniska bunten $K_{X}^{-1}$ är riklig, eller motsvarande $c_{1}(X)>0$ , sägs grenröret att vara Fano. Till skillnad från fallet $c_{1}(X)\leq 0$ , existerar inte alltid en Kähler–Einstein-metrik i detta fall. Det observerades av Akito Futaki att det finns möjliga hinder för existensen av en lösning som ges av holomorfa vektorfält av $X$ , och det är ett nödvändigt villkor att Futaki-invarianten för dessa vektorfält är icke-negativ. Mycket tidigare hade det faktiskt observerats av Matsushima och Lichnerowicz att ett annat nödvändigt villkor är att Lie-algebra för holomorfa vektorfält $H^{0}(X,TX)$ måste vara reduktiv .

Det antogs av Yau 1993, i analogi med det liknande problemet med existensen av Hermite–Einstein-mått på holomorfa vektorbuntar , att hindret för existensen av ett Kähler–Einstein-mått skulle vara likvärdigt med ett visst algebro-geometriskt stabilitetstillstånd liknande lutningsstabilitet för vektorbuntar. 1997 Tian Gang ett möjligt stabilitetstillstånd, som kom att kallas K-stabilitet .

Förmodan om Yau löstes 2012 av Chen – Donaldson – Sun med hjälp av tekniker som till stor del skiljer sig från den klassiska kontinuitetsmetoden för fallet ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0} ,$ och vid samma gång av Tian. Chen–Donaldson–Sun har ifrågasatt Tians bevis och hävdat att det innehåller matematiska felaktigheter och material som borde tillskrivas dem. Tian har bestritt dessa påståenden. Veblenpriset 2019 tilldelades Chen–Donaldson–Sun för deras bevis. Donaldson tilldelades 2015 års genombrottspris i matematik delvis för sitt bidrag till beviset, och 2021 års genombrottspris för New Horizons tilldelades Sun delvis för sitt bidrag.

Sats: Ett kompakt Fano-grenrör $X$ tillåter ett Kähler–Einstein-mått om och endast om paret $(X,K_{X}^{-1})$ är K-polystabil.

Ett bevis baserat i linje med kontinuitetsmetoden som löste fallet $c_{1}(X)\leq 0$ gavs senare av Datar–Székelyhidi, och flera andra bevis är nu kända. Se Yau–Tian–Donaldsons gissning för mer information.

Kähler–Ricci flow och det minimala modellprogrammet

Ett centralt program inom birational geometri är det minimala modellprogrammet , som försöker generera modeller av algebraiska varianter inom varje birationalitetsklass, som i någon mening är minimala , vanligtvis genom att de minimerar vissa komplexitetsmått (som det aritmetiska släktet i fallet). av kurvor). I högre dimensioner söker man en minimal modell som har nef canonical bunt . Ett sätt att konstruera minimala modeller är att dra ihop vissa kurvor $C\subset X$ inuti en algebraisk variant $X$ som har negativ självskärning. Dessa kurvor bör ses geometriskt som undervarianter på vilka $X$ har en koncentration av negativ krökning.

I denna mening kan det minimala modellprogrammet ses som en analogi av Ricci-flödet i differentialgeometri, där regioner där krökningskoncentrat expanderas eller dras ihop för att reducera det ursprungliga Riemannska grenröret till ett med enhetlig krökning (exakt till en ny Riemann-grenrör som har enhetlig Ricci-krökning, vilket vill säga ett Einstein-grenrör). I fallet med 3-grenrör, användes detta berömt av Grigori Perelman för att bevisa Poincaré-förmodan .

I miljön med Kählers grenrör skrevs Kähler–Ricci-flödet först ned av Cao. Här fixar man en Kähler-metrik $g_{i{\bar {j}}}$ med Ricci-formen $\rho _{i{\bar {j}}}$ , och studerar det geometriska flödet för en familj av Kähler-mått ${\tilde {g}}_{ij}(t)$ parametriserad av $t\in [0,\infty )$ :

{\frac {\partial {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}}{\partial t}}=-{\tilde {\rho }}_{i{\bar {j}}}+\rho _{i{\bar {j}}},\quad {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}(0)=g_{i{\bar {j}}}.

När en projektiv variant $X$ är av allmän typ , tillåter den minimala modellen $X'$ en ytterligare förenkling till en kanonisk modell $X''$ , med gott om kanoniskt paket. I miljöer där det bara finns milda ( orbifold ) singulariteter för denna kanoniska modell, är det möjligt att fråga om Kähler–Ricci-flödet av $X$ konvergerar till en (möjligen milt singular) Kähler–Einstein-metrik på $X''$ , som borde existera av Yau och Aubins existensresultat för $c_{1}(X'')<0$ .

Ett exakt resultat längs dessa linjer bevisades av Cascini och La Nave, och ungefär samtidigt av Tian-Zhang.

Sats: Kähler–Ricci-flödet på en projektiv variant $X$ av allmän typ existerar för all tid, och efter högst ett ändligt antal singularitetsformationer, om den kanoniska modellen $X''$ av $X$ har i värsta fall orbifoldiga singulariteter, då konvergerar Kähler–Ricci-flödet på $X$ till Kähler–Einstein-metriken på $X''$ , upp till en avgränsad funktion som är jämn bort från en analytisk undervarietet av $X$ .

I det fall där sorten $X$ är av dimension två, så är en yta av allmän typ, så får man konvergens till Kähler–Einstein-måttet på $X''$ .

Senare studerade Jian Song och Tian fallet där den projektiva varianten $X$ har log-terminalsingulariteter.

Kähler–Ricci-flödet och existensen av Kähler–Einstein-mått

Det är möjligt att ge ett alternativt bevis för Chen-Donaldson-Sun-satsen om existensen av Kähler-Einstein-metrik på ett jämnt Fano-grenrör med Kähler-Ricci-flödet, och detta utfördes 2018 av Chen-Sun-Wang. Nämligen, om Fano-grenröret är K-polystabilt, så existerar Kähler-Ricci-flödet för all framtid och konvergerar till en Kähler-Einstein-metrik på Fano-grenröret.

Generaliseringar och alternativa föreställningar

Konstant skalär krökning Kähler-mått

När den kanoniska bunten $K_{X}$ inte är trivial, riklig eller anti-ample, är det inte möjligt att be om ett Kähler–Einstein-mått, eftersom klassen $c_ {1}(X)$ kan inte innehålla ett Kähler-mått och därför kan det nödvändiga topologiska villkoret aldrig uppfyllas. Detta följer av Kodairas inbäddningssats .

En naturlig generalisering av Kähler–Einstein-ekvationen till den mer allmänna inställningen av ett godtyckligt kompakt Kähler-manifold är att fråga att Kähler-metriken har konstant skalär krökning (man säger att måttet är cscK ). Den skalära krökningen är det totala spåret av den riemannska krökningstensorn , en jämn funktion på grenröret $(X,g)$ , och i Kähler-fallet tillåter villkoret att den skalära krökningen är konstant en transformation till en ekvation som liknar den komplexa Monge-Ampere-ekvationen i Kähler-Einstein-miljön. Många tekniker från Kähler–Einstein-fallet fortsätter till cscK-inställningen, om än med ökad svårighet, och det antas att ett liknande algebro-geometriskt stabilitetstillstånd skulle innebära att det finns lösningar på ekvationen i denna mer allmänna miljö.

När det kompakta Kähler-grenröret uppfyller de topologiska antaganden som krävs för att Kähler-Einstein-tillståndet ska vara meningsfullt, reduceras Kähler-ekvationen med konstant skalär krökning till Kähler-Einstein-ekvationen.

Hermite–Einstein-mått

Istället för att fråga Ricci-krökningen av Levi-Civita-förbindelsen på tangentbunten av en Kähler-grenrör $X$ är proportionell mot själva metriska metriken, kan man istället ställa denna fråga för krökningen av en Chern-förbindelse associerad med en Hermitian metrisk på valfri holomorf vektorbunt över $X$ (observera att Levi-Civita-kopplingen på det holomorfa tangentknippet är just Chern-förbindelsen för den hermitiska metriken som kommer från Kähler-strukturen). Den resulterande ekvationen kallas Hermite–Einstein-ekvationen, och är av särskild betydelse i gauge-teorin , där den framstår som ett specialfall av Yang–Mills-ekvationerna , som kommer från kvantfältteorin , i motsats till de vanliga Einsteinsekvationerna som kommer. från allmän relativitetsteori .

I det fall där den holomorfa vektorbunten återigen är den holomorfa tangentbunten och den Hermitiska metriken är Kähler-metriken, reduceras Hermite–Einstein-ekvationen till Kähler–Einstein-ekvationen. Generellt sett är geometrin hos Kähler-grenröret ofta fixerad och endast buntmetriken tillåts variera, och detta gör att Hermite–Einstein-ekvationen är lättare att studera än Kähler–Einstein-ekvationen i allmänhet. I synnerhet ges en fullständig algebro-geometrisk karaktärisering av existensen av lösningar av Kobayashi-Hitchin-korrespondensen .