K-stabilitet av Fano sorter

Den här artikeln diskuterar specifikt K-stabiliteten hos Fano-varianter. För K-stabilitet mer allmänt, se K-stabilitet .

I matematik , och i synnerhet algebraisk geometri , är K-stabilitet ett algebro-geometriskt stabilitetsvillkor för projektiva algebraiska varianter och komplexa grenrör . K-stabilitet är av särskild betydelse för fallet med Fano-sorter , där det är det korrekta stabilitetsvillkoret för att tillåta bildandet av modulutrymmen , och där det exakt kännetecknar existensen av Kähler–Einstein-mått .

K-stabilitet definierades först för Fano-grenrör av Gang Tian 1997 som svar på en gissning av Shing-Tung Yau från 1993 att det borde existera ett stabilitetstillstånd som kännetecknar existensen av en Kähler-Einstein-metrik på ett Fano-grenrör. Den definierades med hänvisning till K-energifunktionen som tidigare introducerades av Toshiki Mabuchi . Tians definition av K-stabilitet omformulerades av Simon Donaldson 2001 på ett rent algebro-geometriskt sätt.

K-stabilitet har blivit ett viktigt begrepp i studien och klassificeringen av Fano-sorter. 2012 bevisade Xiuxiong Chen , Donaldson och Song Sun och oberoende Gang Tian att ett jämnt Fano-grenrör är K-polystabilt om och bara om det medger Kähler–Einstein-mått. Detta generaliserades senare till singulära K-polystabila Fano-varianter på grund av Berman–Boucksom–Jonssons och andras arbete. K-stabilitet är viktig för att konstruera modulrum av Fano-varianter, där observationer som går tillbaka till den ursprungliga utvecklingen av geometrisk invariantteori visar att det är nödvändigt att begränsa till en klass av stabila objekt för att bilda bra moduli. Det är nu känt genom arbetet av Chenyang Xu och andra att det finns ett projektivt grovt modulutrymme av K-polystabila Fano-varianter av finit typ. Detta arbete bygger på Caucher Birkars bevis på att Fano-sorterna är begränsade, för vilket han tilldelades 2018 års Fields-medalje . På grund av omformuleringarna av K-stabilitetsvillkoret av Fujita–Li och Odaka, kan K-stabiliteten för Fano-varianter explicit beräknas i praktiken. Vilka Fano-sorter som är K-stabila förstås väl i dimension ett, två och tre.

Definition och karakteriseringar

Begreppet K-stabilitet för Fano-grenrör specificerades ursprungligen med hjälp av differentialgeometri av Tian, ​​som utvidgade den rent analytiska föreställningen om Futaki-invarianten av ett vektorfält till fallet med vissa normala varianter med orbifoldiga singulariteter . Detta omformulerades senare i en rent algebro-geometrisk form av Donaldson, men denna allmänna definition förlorade en direkt koppling till Fano-sorternas geometri, och blev istället meningsfull för den bredare klassen av alla projektiva varieteter. Tians arbete visar att Donaldson-Futaki-invarianten som specificerar vikten av $\mathbb {C} ^{*}$ -åtgärden på den centrala fibern i en testkonfiguration kan beräknas i termer av vissa skärningsnummer ( motsvarande vikten av en handling på det så kallade CM-linjepaketet). I Fano-fallet kan dessa skärningsnummer, som involverar den antikanoniska divisorn för sorten och dess testkonfiguration, ges kraftfulla alternativa karaktäriseringar i termer av Fano-sortens algebraiska och birationala geometri .

När det gäller Fano-sorter finns det alltså många olika men likvärdiga karakteriseringar av K-stabilitet, och vissa av dessa karakteriseringar lämpar sig för explicita beräkningar eller enklare resultatbevis.

I det här avsnittet anges alla definitioner i generaliteten för en $\mathbb {Q}$ -Fano-variant, som är en Fano-variant med riklig $\mathbb {Q}$ - Cartier antikanonisk divisor och i värsta fall Kawamata log terminal (klt) singulariteter. Definitionerna av K-stabilitet kan göras för valfri $\mathbb {Q}$ - Gorenstein Fano-variant (det vill säga vilken Fano-variant som helst där den antikanoniska divisorn är $\mathbb {Q}$ -Cartier) , men det bevisades av Odaka att varje K-semistabil Fano-variant i värsta fall har klt-singulariteter, så för att studera K-stabilitet räcker det att i värsta fall anta klt-singulariteter. Varje definition kan utökas på ett enkelt sätt till $\mathbb {Q}$ - log Fano-par , ett par $(X,\Delta )$ av en klt-variant X och klt-divisor så att $-(K_{X}+\Delta )$ är riklig och $\mathbb {Q}$ -Cartier.

Traditionell definition

Se även: K-stabilitet

Definitionen av K-stabilitet för en Fano-grenrör, eller mer allmänt en $\mathbb {Q}$ -Fano-variant, kan ges i många former. Den allmänna definitionen av K-stabilitet i termer av testkonfigurationer (se K-stabilitet för mer detaljer) kan förenklas om den typ av testkonfiguration man anser kan förenklas. Till exempel, i fallet med toriska varianter , kan man alltid ta testkonfigurationer som också är toriska, och detta leder till en omkarakterisering av K-stabilitet i termer av konvexa funktioner på momentpolytopen av den toriska sorten, vilket observerades av Donaldson i sin första artikel om K-stabilitet. När det gäller Fano-grenrör var det redan underförstått i Tians arbete att man kan begränsa till testkonfigurationer med en förenklad centralfiber, i det fallet där centralfibern är en normal sort .

I det här fallet finns det en intersektionsteoretisk formel för Donaldson-Futaki-invarianten för en normal testkonfiguration $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ för $(X,-rK_{X})$ . Explicit utökar man testkonfigurationen $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C}$ till en testkonfiguration över den komplexa projektiven linje $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ trivialt vid punkten $\infty$ , man har en formel

$$\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)(-K_{X})^{n} }}\left(n\left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n+1}+(n+1)K_{{\mathcal {X}} /\mathbb {P} ^{1}}\cdot \left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n}\right).$$

Med avseende på denna invariant, om $X$ är en $\mathbb {Q}$ -Fano-variant, säger vi att $X$ är

• K-semistabil om $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ för alla normala testkonfigurationer $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ .
• K-stabil om $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0$ för alla normala testkonfigurationer ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})} som$ inte är isomorf till den triviala testkonfigurationen $(X\times \mathbb {C} , L)$ utanför en uppsättning av kodimension 2.
• Jämnt K-stabil om $\operatörsnamn {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \ varepsilon \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}$ för alla normala testkonfigurationer $({\mathcal {X}},{ \mathcal {L}})$ , där $\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}$ är minimum norm för testkonfigurationen ${\mathcal {X}}$ och $\varepsilon >0$ är en enhetlig konstant som endast beror på $X$ .
• K-instabil om $(X,L)$ inte är K-semistabil.

Enligt ovanstående definitioner finns det konsekvenser

Jämnt K-stabil $\implies$ K-stabil $\implies$ K-semistabil

Ovanstående definitioner är inte väl lämpade för situationen där Fano-varianten $X$ har automorfismer. När utrymmet för automorfismer är positivt-dimensionellt ${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} (X)>0} ,$ observerades det av Akito Futaki att det finns vissa testkonfigurationer konstruerade av automorfismer av $X$ som är "triviala" för perspektivet att testa K-stabilitet. I detta fall bör man begränsa till de testkonfigurationer som är ekvivarianta med avseende på verkan av en maximal torus ${\displaystyle T\subset \operatorname {Aut} (X)} ,$ och detta leder till begreppet K-polystabilitet eller reducerad K-stabilitet. Vi säger att $X$ är

• K-polystabil om $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ för valfri testkonfiguration och likhet gäller exakt när ${\mathcal {X}}$ är isomorft till $X\times \mathbb {C}$ utanför en uppsättning av kodimension 2.
• Minskad jämnt K-stabil om ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\ geq \varepsilon \operatörsnamn {J} _{T}^{\operatörsnamn {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})} där$ J $\ displaystyle \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})} är den reducerade J {\displaystyle \operatorname$ { J $}$ - normen för testkonfigurationen.

När det gäller fallet där automorfismgruppen inte är positiv-dimensionell, har vi implikationer

Minskad jämnt K-stabil $\implies$ K-polystable $\implies$ K-semistabil

Villkoret för enhetlig stabilitet är a priori starkare än stabilitet, eftersom det antar en enhetlig gräns över noll för Donaldson-Futaki-invarianten i testkonfigurationen. Men det visar sig i fallet med $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter är enhetlig stabilitet faktiskt likvärdig med stabilitet.

Sats (Liu–Xu–Zhuang): — (Reducerad) enhetlig K-stabilitet motsvarar K-(poly)stabilitet för $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter.

Många resultat kan bevisas lättare för enhetlig K-stabilitet eftersom en enhetlig bunden är starkare än en olikformig bunden, så ofta arbetar man med denna definition i motsats till den traditionella K-(poly)stabiliteten. I det mer generella fallet med en polariserad sort som behandlas i artikeln om K-stabilitet är det fortfarande ett öppet och viktigt problem att karakterisera hur (reducerad) enhetlig K-stabilitet relaterar till K-(poly)stabilitet.

Speciella testkonfigurationer

Som nämnts ovan kan ibland typen av testkonfiguration som ska beaktas förenklas. När det gäller Fano-sorter är en speciell testkonfiguration en testkonfiguration $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ så att vi har en rationell ekvivalens av divisorer ${\mathcal {L}}\sim _{\mathbb {Q} }-rK_{\mathcal {X}}$ för vissa $r$ och den centrala fibern ${\mathcal {X}}_{0}$ är också en $\mathbb {Q}$ -Fano-variant.

Man kan bevisa att givet valfri testkonfiguration ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})} ,$ det finns en speciell testkonfiguration $( {\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})$ så att

$$\operatörsnamn {DF} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})\leq \operatörsnamn {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}}).$$

Detta innebär att för att testa K-stabiliteten för $X$ räcker det med att bara titta på ovanstående definitioner av K-stabilitet för speciella testkonfigurationer. Det faktum att man kan anta att den centrala fibern i testkonfigurationen också är Fano leder till starka kopplingar till birational geometri och det minimala modellprogrammet, vilket ger ett antal alternativa karakteriseringar av K-stabilitet som beskrivs i följande avsnitt.

Den huvudsakliga alternativa karaktäriseringen är i termer av en annan uppfattning om Ding-stabilitet , som är en variation av K-stabilitetsvillkoret för Ding-invarianten

$$\operatorname {Ding} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-{\frac {({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}})^{n+1 }}{(n+1)(-K_{X})^{n}}}-1+\operatörsnamn {lct} ({\mathcal {X}},{\mathcal {D}}_{({\ mathcal {X}},{\mathcal {L}})};{\mathcal {X}}_{0})$$

där man lägger till på loggen kanonisk tröskel för testkonfigurationen. Ding-invarianten kan endast definieras i inställningen av Fano-varianter. Genom att använda denna nya invariant istället för $\operatorname {DF}$ , kan man definiera varje begrepp om Ding-stabilitet precis som ovan, vilket leder till Ding (semi/poly)stabilitet och enhetliga versioner. Ding-invarianten har bättre formella egenskaper med avseende på algebraisk geometri än Donaldson-Futaki-invarianten. Det är känt att när en testkonfiguration är speciell stämmer Ding-invarianten överens med Donaldson-Futaki-invarianten upp till en konstant faktor, och så för Fano-varianter är Ding-stabilitet ekvivalent med K-stabilitet.

Alfa invariant

De första kända effektiva kriterierna för att testa för K-stabilitet utvecklades av Tian. Ursprungligen designades Tians verk för att direkt ge ett kriterium för existensen av en Kähler–Einstein-metrik på ett Fano-grenrör, och av senare arbete är det känt att varje Kähler–Einstein Fano-grenrör är K-polystabil. Tians ursprungliga definition av alfa-invarianten var analytisk till sin natur, men kan användas för att verifiera förekomsten av ett Kähler–Einstein-mått i praktiken.

Alfa-invarianten av Tian kan definieras relativt en grupp av automorfismer $G$ , och alfa-invarianten $\alpha _{G}$ motsvarar konceptet reducerad K-stabilitet eller K-polystabilitet ovan. Fixa en $G$ -invariant Kähler-metrik $\omega \in c_{1}(X)$ på ett Fano-grenrör. Definiera en speciell klass av Kähler-potentialer genom

$$P_{G}(X,\omega )=\{\varphi \in C^{\infty }(X,\mathbb {R} )\mid \varphi {\text{ är }}G{\text { invariant}},\sup \varphi =0,\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.$$

Då definieras alfa-invarianten av

$$\alpha _{G}(X):=\sup \left\{\alpha >0\mid \exists C(\alpha )>0{\text{ så att }}\int _{X}e ^{-\alpha \varphi }\omega ^{n}<C(\alpha ){\text{ för alla }}\varphi \in P_{G}(X,\omega )\right\}.$$

Vikten av denna invariant är följande:

Sats: (Tian) — Låt $X$ vara ett jämnt Fano-grenrör med dimensionen $\dim X=n$ . Om alfainvarianten $\alpha _{G}(X)>{\frac {n}{n+1}}$ så medger $X$ ett $G$ -invariant Kähler–Einstein-metrik.

Det observerades senare av Odaka–Sano att alfa-invarianten kan ges en rent algebro-geometrisk definition i termer av ett infimum av log kanoniska tröskelvärde över alla G {\displaystyle G} -invarianta $system$ som finns inuti $\left|-mK_{X}\right|$ . Precis, visade Demailly

$$\alpha _{G}(X)=\operatörsnamn {lct} _{G}(X)=\inf _{m\in \mathbb {Z} _{>0}}\inf _{D\ sim -mK_{X}}\operatörsnamn {lct} \left(X,{\frac {1}{m}}D\right).$$

Detta tillåter rent algebro-geometriska bevis på existensen av Kähler–Einstein-mått.

Beta invariant

Beta-invarianten $\beta _{X}(E)$ har nära kontakt med birational geometri . Denna invariant utvecklades av Fujita och Li i ett försök att upptäcka en karakterisering av K-stabilitet i termer av divisorer eller värderingar av Fano-varianten $X$ . Detta arbete inspirerades av tidigare idéer från Ross-Thomas som försökte beskriva K-stabilitet i termer av algebraiska invarianter som kommer ut ur underscheman av sorten $X$ . Även om det inte är möjligt att visa att denna "lutande" K-stabilitet är likvärdig med K-stabilitet, genom att inte bara gå till divisorer inuti $X$ utan divisorer inuti vilken birationalmodell som helst över $X$ , en erhåller "tillräckligt med" objekt för att noggrant testa för K-stabilitet.

Speciellt Fujita insåg att Ross–Thomas begrepp om sluttnings K-stabilitet begränsades genom att bara integreras upp till Seshadri-konstanten för delschemat, där den naturliga delaren på sprängningen blir riklig. Genom kontrakt $\beta$ -invarianten upp till den pseudoeffektiva tröskeln där den naturliga divisorn har positiv volym (eftersom varje ample divisor har positiv volym, går den pseudoeffektiva tröskeln bortom Seshadri-konstanten). Denna extra information ger Fujita och Lis värdefulla kriterium tillräckligt med information för att helt karakterisera K-stabilitet.

Antag att $X$ är en normal variant med $\mathbb {Q}$ -Cartier kanonisk divisor $K_{X}$ . Man säger att $E$ är en divisor över $X$ om $E$ är en divisor som ingår i någon normal variant $Y$ så att det finns en riktig birational morfism $\mu :Y\to X$ (till exempel ges av en uppblåsning av $X$ ). Man definierar loggavvikelsen för en divisor $E$ över $X$ som

$$A_{X}(E):=a(E,X)+1$$

där $a(E,X)$ är diskrepansen för divisorn $E$ i betydelsen birational geometri (se kanonisk singularitet ). Diskrepansen för en divisor $E$ över $X$ definieras enligt följande. Bort från det exceptionella stället för birationalmorfismen ${\displaystyle \mu :Y\to X} ,$ överensstämmer de kanoniska divisorerna för $Y$ och ${\displaystyle X} .$ Därför ges deras skillnad av någon summa av primtalsdelare $E_{i}$ som finns i det exceptionella lokuset $\mu$ . Det är,

$$K_{Y}-\mu ^{*}K_{X}=\summa _{i}a_{i}E_{i}$$

där $a_{i}\in \mathbb {Q}$ . Per definition $a(E_{i},X)=-a_{i}$ och $a(E,X)= 0$ när $E$ inte är en av primtalsdivisorerna $E_{i}$ i det exceptionella lokuset. Loggavvikelsen för $X$ mäter singulariteterna för Fano-varianten. I synnerhet är X Kawamata loggterminal om och endast om $A_{X}(E)\geq 0$ för någon $E$ över $X$ .

För att definiera beta-invarianten behöver man också en volymterm. För en divisor $E$ över $X$ , definiera

$$S_{X}(E):={\frac {1}{(-K_{X})^{n}}}\int _{0}^{\infty }\operatörsnamn {Vol} (\ mu ^{*}(-K_{X})-tE)dt.$$

Här mäter volymen av en divisor den hastighet med vilken dess utrymme av sektioner växer i jämförelse med den förväntade dimensionen. Nämligen,

$$\operatorname {Vol} (D)=\limsup _{m\to \infty }{\frac {\dim H^{0}(X,{\mathcal {O}}(mD))}{m ^{n}/n!}}$$

där $\dim X=n$ .

Slutligen definierades beta-invarianten av Fujita och Li som

$$\beta _{X}(E):=A_{X}(E)-S_{X}(E).$$

Trots den komplicerade definitionen, på grund av de kraftfulla verktygen för birational geometri, kan denna invariant explicit beräknas i praktiken för många klasser av Fano-varianter där strukturen av divisorer i deras birationalmodeller är känd. Detta kan ofta uppnås med användning av algebraisk beräkningsgeometri eller manuell beräkning.

Relevansen av $\beta$ -invarianten är i följande karakterisering av K-stabilitet som först observerades (i en riktning) av Fujita och Li oberoende.

Sats: (Fujita–Li, Blum–Xu) — A $\mathbb {Q}$ -Fanovariant $X$ är K-semistabil om och endast om $\ beta _{X}(E)\geq 0$ för alla divisorer $E$ över $X$ . Dessutom $X$ K-stabil om och endast om $\beta _{X}(E)>0$ för alla divisorer över $X$ .

Delta invariant

Delta-invarianten kan definieras som en "multiplikativ" version av den "additiva" beta-invarianten. Deltainvarianten för en divisor $E$ över $X$ definieras av

$$\delta (X,E):={\frac {A_{X}(E)}{S_{X}(E)}}.$$

Deltainvarianten för $X$ ges sedan genom ett enhetligt mått på deltainvarianterna för alla divisorer över $X$ .

$$\delta (X):=\inf _{E{\text{ över }}X}\delta (X,E).$$

Delta-invarianten för en divisor är begreppsmässigt lik beta-invarianten, men det observerades av Fujita–Odaka att man kan beräkna delta-invarianten som en gräns för "kvantiserade" delta-invarianter δ m {\displaystyle \delta _{ $}$ som $m\to \infty$ . De kvantiserade deltainvarianterna kan beräknas i termer av divisorer av m-bastyp som ges genom val av baser i det fixerade änddimensionella vektorutrymmet $H^{0}(X, -mK_{X})$ . Således är delta-invarianten i allmänhet mer beräkningsbar och mer teoretiskt kraftfull än sina föregångare, och mycket framsteg i de explicita beräkningarna av K-stabilitet för Fano-varianter och i teorin om moduli för Fano-varianter har skett sedan dess introduktion. Dess initiala betydelse för teorin om K-stabilitet fångas i följande karakterisering.

Sats: (Fujita–Odaka, Blum–Xu) — A $\mathbb {Q}$ -Fanovariant $X$ är K-semistabil om och endast om $\ delta (X)\geq 1$ . Dessutom är den enhetligt K-stabil om och endast om $\delta (X)>1$ .

Den algebraiska $\delta$ -invarianten kan komma i kontakt med de explicita analytiska egenskaperna hos Kähler–Einstein-mått. I synnerhet kan man definiera den största Ricci nedre gränsen $R(X)$ som det högsta av alla $0\leq t\leq 1$ så att det finns en Kähler-metrik $\omega \in c_{1}(X)$ så att $\operatorname {Ric} \omega >t\omega$ . Detta är gränsen för hur långt man kan passera den naturliga kontinuitetsmetoden för att lösa Kähler–Einstein-ekvationen. Om den största nedre Ricci-gränsen tar värdet $t=1$ kan man slutföra kontinuitetsmetoden för att härleda existensen av en Kähler–Einstein-metrik. Det visar sig att exakt hur långt du kan gå längs denna kontinuitetsmetod, den största Ricci-undergränsen, ges exakt av δ {\ $\delta }$ -invarianten. Det är,

$$R(X)=\min\{1,\delta (X)\}.$$

I fallet med toriska Fano-grenrör härleddes en ännu mer geometrisk tolkning av deltainvarianten av Li. För en sådan torisk Fano ${\displaystyle X_{P}} finns alltid$ ursprunget $O$ i det inre av momentpolytopen $P$ . Om $B$ betecknar barycentret för polytopen $visade$$\$ displaystyle $}$ , Li att den största nedre gränsen för Ricci ges av förhållandet $|BQ|/|OQ|$ . I synnerhet den toriska Fano har $R(X)=1$ om och endast om dess barycentrum är ursprunget. Tolkat med hjälp av deltainvarianten (och faktiskt med tidigare resultat), drar man slutsatsen att ett toriskt Fano-grenrör är K-stabilt om och endast om barycentret för dess polytop P {\ $P}$ är ursprunget.

Förekomsten av Kähler–Einstein-mått

Från den första introduktionen har begreppet K-stabilitet varit intimt kopplat till förekomsten av Kähler–Einstein-mått på Fano-grenrör. Det finns nu många satser som relaterar vissa K-stabilitetsantaganden till existensen av lösningar. Dessa gissningar faller i stort sett under titeln Yau–Tian–Donaldsons gissning . När det gäller Fano-sorter hävdar denna gissning:

Gissningar (Yau–Tian–Donaldson) — En Fano-manifold medger ett Kähler–Einstein-mått om och bara om det är K-polystabilt.

För Fano grenrör föreslogs denna gissning ursprungligen av Yau och Tian, ​​och en mer allmän form angavs av Donaldson som sträcker sig längre än bara fallet med Fano grenrör. Ändå har gissningarna även i fallet Fanos kommit att bli känd som Yau-Tian-Donaldson-förmodan. Se K-stabilitet för mer diskussion om den allmänna gissningen.

När det gäller Fano-grenrör, medger YTD-förmodan generaliseringar utöver fallet med jämna varianter och gissningsformer är nu kända för singulära Fanos och log Fanos .

Släta Fano-varianter

Den framåtriktade riktningen av gissningen, att ett Fano-grenrör med en Kähler–Einstein-metrik är K-polystabil, bevisades av Tian i sin originalartikel när Fano-grenröret har en diskret automorfismgrupp, det vill säga $\left|\operatörsnamn {Aut} (X)\right|<\infty$ . Denna riktning bevisades i full allmänhet, vilket tog bort antagandet att automorfismgruppen var diskret av Berman.

Den omvända riktningen av Yau-Tian-Donaldson-förmodan löstes först i det smidiga fallet som nämnts ovan av Chen-Donaldson-Sun, och samtidigt av Tian. Chen, Donaldson och Sun har hävdat att Tians påstående om lika prioritet för beviset är felaktigt, och de har anklagat honom för akademiskt oredlighet. Tian har bestridit deras anspråk. Chen, Donaldson och Sun erkändes av American Mathematical Societys prestigefyllda Veblen-pris 2019 för att ha löst gissningen. Genombrottspriset har belönat Donaldson med genombrottspriset i matematik och Sun med New Horizons genombrottspris, delvis baserat på deras arbete med Chen om gissningen.

Teorem — Om ett Fano-grenrör är K-polystabilt, medger det ett Kähler–Einstein-mått.

Bevisen för Chen–Donaldson–Sun och Tian baserades på en delikat studie av Gromov–Hausdorffs gränser för Fano-grenrör med Ricci-krökningsgränser . På senare tid gavs ett bevis baserat på den "klassiska" kontinuitetsmetoden av Ved Datar och Gabor Székelyhidi, följt av ett bevis av Chen, Sun och Bing Wang med Kähler–Ricci-flödet.

Robert Berman , Sébastien Boucksom och Mattias Jonsson gav också ett bevis från ett nytt variationssätt , som tolkar K-stabilitet i termer av icke-arkimedisk geometri . Av särskilt intresse är att beviset för Berman–Boucksom–Jonsson också gäller fallet med ett jämnt stock Fano-par och inte använder begreppet K-polystabilitet utan om enhetlig K-stabilitet som introducerats av Dervan och Boucksom–Hisamoto– Jonsson. Det är nu känt att enhetlig K-stabilitet är likvärdig med K-stabilitet och så BBJ:s bevis ger ett nytt bevis på den fullständiga YTD-förmodan.

Byggande på variationsteknikerna Berman–Boucksom–Jonsson och de så kallade kvantiserade deltainvarianterna i Fujita–Odaka, producerade Zhang ett kort kvantiseringsbaserat bevis på YTD-förmodan för smidiga Fano-grenrör.

Genom att helt använda andra tekniker har Berman också tagit fram ett bevis på en gissning av YTD-typ med hjälp av en termodynamisk metod som kallas enhetlig Gibbs-stabilitet , där en Kähler–Einstein-metrik konstrueras genom en slumpmässig punktprocess.

Singular Fano-varianter och svaga Kähler–Einstein-mått

Det nya beviset på Yau–Tian–Donaldsons gissning av Berman–Boucksom–Jonsson med hjälp av variationstekniker öppnade för möjliga studier av K-stabilitet och Kähler–Einstein-mått för singulära Fano-varianter. Variationsteknikerna som används förlitar sig på enhetlig K-stabilitet som beskrivits ovan.

Resultatet av Berman att ett Fano-grenrör som medger ett Kähler–Einstein-mått är K-polystabilt bevisades i den fulla allmänningen av ett $\mathbb {Q}$ -log Fano-par, vilket medgav ett svagt Kähler-Einstein-mått. Ett svagt Kähler–Einstein-mått på en $\mathbb {Q}$ -Fano-variant $X$ är en positiv $(1,1)$ - aktuell ${\ displaystyle \theta _{\operatörsnamn {KE} }}$ som begränsar till att ge ett jämnt Kähler–Einstein-mått $\omega _{\operatörsnamn {KE} }$ på det jämna stället $X_{\ operatornamn {reg} }$ av $X$ . Genom att kräva en kompatibilitet med en divisor $\Delta$ , kan denna definition utökas till ett svagt Kähler–Einstein-mått på ett par ( $\displaystyle (X,\Delta )}$ .

I denna generalitet bevisades den omvända riktningen av YTD-förmodan av Li-Tian-Wang i fallet där automorfismgruppen är diskret, och i full generalitet av Li.

Sats (Li–Tian–Wang, Li) — Ett $\mathbb {Q}$ -log Fano-par $(X,\Delta )$ som reduceras likformigt K-stabilt medger en svag Kähler–Einstein-metrik.

Genom upplösningen av den finita generationens gissningar av Liu–Xu–Zhuang är det känt att reducerad enhetlig K-stabilitet är likvärdig med K-polystabilitet, så i kombination med Bermans resultat är Yau–Tian–Donaldsons gissning sann i fullständig allmänhet för singular Fano olika sorter.

Teorem (Li–Tian–Wang, Li, Berman, Liu–Xu–Zhuang) — A $\mathbb {Q}$ -log Fano-par $(X,\Delta )$ medger ett svagt Kähler–Einstein-mått om och bara om det är K-polystabilt.

Moduli utrymmen av K-stable Fano sorter

Konstruktionen av modulrum är ett centralt problem inom algebraisk geometri. Konstruktionen av moduler av algebraiska kurvor sporrade utvecklingen av geometrisk invariant teori , stackar och klassificering av algebraiska ytor har motiverat resultat genom hela algebraisk geometri. Fallet med modulutrymmen av kanoniskt polariserade varianter avgjordes med hjälp av tekniker som härrörde från det minimala modellprogrammet av Kollár – Shepherd-Barron, vilket ledde till de så kallade KSB modulutrymmena för varianter av allmän typ. En nyckelegenskap hos sorter av allmän typ som tillåter konstruktion av moduler är avsaknaden av automorfismer hos sådana sorter. Detta gäller inte för Fano-sorter, som ofta kan ha mycket stora automorfismgrupper, så det minimala modellprogrammet fann inte direkt tillämpningar för konstruktionen av moduler av Fano-sorter, och det blev tydligt att K-stabilitet var den korrekta algebro-geometriska idé att tillåta bildandet av moduler i detta fall. Moduli utrymmen av K-stabila varianter är kända som K-moduli .

Smidigt fodral

I fallet med jämna Fano-grenrör kan man använda tekniker som härrör från Yau-Tian-Donaldson-förmodan för att konstruera modulutrymmet analytiskt. Särskilt arbete av Odaka och Donaldson som bygger på idéerna om Gromov-kompaktheten hos Kähler–Einstein Fanos som användes i beviset för YTD-förmodan innebär att det finns modulutrymmen av jämna Fano Kähler–Einstein-grenrör med diskreta automorfismgrupper. Dessa modulrum är Hausdorff och har i värsta fall kvotsingulariteter. Enligt YTD-förmodan är dessa alternativa modulutrymmen av jämna K-polystabila Fano-varianter med diskreta automorfismgrupper. En Gromov–Hausdorff-gräns för jämna Fano Kähler–Einstein-grenrör kan dock leda till en singulär $\mathbb {Q}$ -Fano-variant, så modulutrymmena som beskrivs av Odaka och Donaldson är inte kompakta , ett kriterium som är ofta önskvärda vid bildandet av modulutrymmen. En metod för att komprimera modulutrymmet för släta K-polystabila Fanos är att övergå till ett modulutrymme av singulära K-polystabila Fanos och använda algebraisk geometri för att bevisa dess projektivitet. Yau–Tian–Donaldsons gissning för singulära Fano-sorter skulle ge denna kompaktering en alternativ synvinkel eftersom den består av singulära Fano-sorter med svag Kähler-Einstein-mått.

Allmänt fall

Den vanliga algebraiska tekniken för att konstruera modulrum använder geometrisk invariant teori . Vanligtvis för att tillämpa Mumfords geometriska invarianta teori för att konstruera moduler, måste man bädda in en familj av varianter i ett fixerat ändligt dimensionellt projektivt utrymme . En sådan familj definierar sedan en plats av punkter i det motsvarande Hilbert-schemat i det projektiva rummet, vilket är ett projektivt schema på vilket gruppen av projektiva automorfismer verkar. GIT-stabilitet med avseende på denna linearisering kallas Hilbert-stabilitet . Om detta lokus bildar en öppen uppsättning, kan GIT användas för att konstruera en kvot som parametriserar dessa objekt. Under goda omständigheter kan denna kvot vara korrekt och projektiv.

Det är inte alltid möjligt att bädda in en familj av sorter i ett fast projektivt utrymme och därför beskriva deras moduler med geometrisk invariantteori, och denna speciella egenskap kallas boundedness . En grundläggande egenskap hos Fano-varieteterna är att de inte kan begränsas, och därför kan deras stabilitet inte rimligen fångas av någon ändlig dimensionell geometrisk invariantteori. Detta förklarar varför K-stabilitet kräver att man överväger testkonfigurationer $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ för vilka det relativt stora radpaketet ${ \mathcal {L}}$ kan motsvara någon potens $L^{k}$ för $k$ godtyckligt stor. Resultat från Caucher Birkar visade dock att vissa familjer av Fano-varieteter med volym avgränsad nedan bildar avgränsade familjer, vilket antyder att det kan vara möjligt att studera stabiliteten hos volymbundna familjer av Fano-sorter för att bilda modulutrymmen. För detta arbete belönades Birkar med Fields-medaljen 2018.

Det bevisades av Jiang att K-semistabil $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter med volym avgränsad nedan bildar en avgränsad familj. För en given volym $V>0$ finns det alltså ett enhetligt heltal $N>0$ så att varje K-semistabil $\mathbb {Q}$ -Fano med antikanonisk volym större än eller lika med $V$ tillåter en inbäddning i det fasta projektiva utrymmet $\mathbb {CP} ^{N}$ . Öppenheten i detta ställe av K-semistabil Fanos bevisades av Blum–Liu–Xu och Xu. Detta innebär att det finns en Artin-stack av ändlig typ betecknad ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatörsnamn {Kss} }} som$ parametriserar K-semistabil $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter med volym som begränsas nedan av $V$ .

För att hitta ett äkta modulrum som en projektiv variation eller schema måste man bevisa vissa egenskaper om S -fullständighet och $\Theta$ -reduktivitet hos K-semistabila Fanos inuti stacken ${\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatörsnamn {Kss} }$ . Genom att använda egenskaper för K-polystabilitet är dessa egenskaper hos modulstacken sanna och det finns ett grovt modulutrymme $X_{n,V}^{\operatörsnamn {Kps} }$ för stacken ${\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }$ som parametrar K-polystabil $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter med volym avgränsad nedan av $V$ . Det bevisades att $X_{n,V}^{\operatörsnamn {Kps} }$ är korrekt och att CM-linjebunten är riklig, vilket betyder att det grova modulutrymmet också är projektivt. Existensresultatet för K-moduler kan sammanfattas i följande sats.

Sats — Det finns ett separerat, korrekt, projektivt, bra modulrum $X_{n,V}^{\operatörsnamn {Kps} }$ parametriserande $n$ -dimensionell K-polystabil $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter med antikanonisk volym avgränsad nedan av $V>0$ .

Konstruktionen av modulutrymmet hos K-polystable Fanos kan generaliseras till inställningen av stock Fano-varianter. Fallet med singular $\mathbb {Q}$ -Fano-varianter som är utjämningsbara (det vill säga de är gränser för algebraiska familjer av jämna K-polystabila Fano-grenrör) löstes tidigare av Li–Wang–Xu med en kombination av analytiska tekniker, som också förlitar sig på tidigare arbeten av Odaka, Donaldson och Codogni-Patakfalvi. Där visas det grova modulutrymmet som ett schema , men i allmänhet garanterar existensresultaten för K-moduler endast existensen av ett algebraiskt utrymme .

Explicit K-stabilitet för Fano-sorter

Den explicita studien av K-stabila Fano-varianter föregår den algebraiska uppfattningen om K-stabilitet, och i låga dimensioner var av intresse enbart på grund av studiet av Kähler–Einsteins grenrör. Till exempel, antingen genom explicit konstruktion eller användning av Tians alfa-invariant, var alla släta Kähler–Einstein-grenrör av dimension 1 och 2 kända innan definitionen av K-stabilitet introducerades. I dimension 3 och högre blir explicita konstruktioner av Kähler–Einstein-mått svårare, men framsteg som härrör från den algebraiska studien av K-stabilitet har möjliggjort explicita beräkningar av K-polystabil Fano trefaldigt och vissa familjer av högre dimensionella varianter, och därefter upptäckten av nya Kähler–Einstein-grenrör.

Dimension 1

I dimension ett finns en unik jämn Fano-variant, den komplexa projektiva linjen $\mathbb {CP} ^{1}$ . Denna variant kan lätt ses som K-stabil på grund av förekomsten av Fubini–Study-måttet , som är ett Kähler-Einstein-mått, vilket antyder K-polystabiliteten för $\mathbb {CP} ^{1}$ . Ett rent algebrogeometriskt bevis på K-stabiliteten hos släta Riemann-ytor följer av Ross–Thomas arbete om sluttnings K-stabilitet, vilket motsvarar K-stabilitet i dimension ett. I detta fall kan man konstruera testkonfigurationer av samlingar av punkter på kurvan, och när kurvan är jämn destabiliseras inga punkter.

Dimension 2

I dimension två klassificerades utrymmena som tillåter Kähler–Einstein-mått av Tian. Det finns 10 deformationsfamiljer av släta Fano-varianter i dimension två, del Pezzo-ytorna . Med hjälp av alfa-invarianten visade Tian att en slät Fano-yta tillåter en Kähler–Einstein-metrik och är K-polystabil om och endast om det inte är uppblåsningen av det komplexa projektiva planet C P 2 {\displaystyle \ mathbb $^ {2}}$ i en eller två punkter. Således består 8 av dessa 10 klasser av K-polystabila Fano-ytor.

Fano-ytornas K-moduler studerades i explicita exempel av Tian och Mabuchi-Mukai. Explicita konstruktioner av kompakta modulutrymmen av Kähler–Einstein Fano-ytor uppnåddes av Odaka–Spotti–Sun. Dessa utrymmen konstruerades som Gromov-Hausdorff-komprimering men identifierades med explicita algebraiska utrymmen av log Fano-ytor.

Till exempel är det bevisat av Odaka–Spotti–Sun att det kompakta modulutrymmet för utjämningsbara Kähler–Einstein-ytor av grad fyra ges av det viktade projektiva utrymmet $\mathbb {P} ( 1,2,3)$ med de släta Kähler–Einstein-ytorna av grad fyra som motsvarar platsen $\mathbb {P} (1,2,3)\backslash D$ där $D$ är en riklig divisor som består av de punkter som uppfyller ekvationen $z_{1}^{2}=128z_{2}$ .

Dimension 3

I dimension 3 kan rent algebraiska tekniker användas för att hitta exempel på K-stabila Fano-varianter som inte på förhand är kända för att erkänna Kähler–Einstein-mått. Iskovskikh–Mori–Mukai-klassificeringen av smidig Fano-trefald ger ett naturligt sätt att bryta ner problemet med att studera K-stabil Fano-trefald i dess komponenter. Det är känt att det finns 105 deformationsfamiljer av slät Fano-trefald, och explicita beräkningar med Fujita–Lis beta-invariant och Fujita–Odakas delta-invariant kan användas för att bestämma vilka deformationsfamiljer som innehåller K-stabila representanter.

För varje deformationsfamilj är det känt om den generiska delen av familjen är K-(poly)stabil. Det är särskilt känt att 78 av 105 familjer innehåller en K-polystabil representant i sin deformationsklass. För 71 av 105 familjer är det känt för varje enskild medlem av deformationsklassen om den är K-polystabil eller inte. För många exempel på de 105 deformationsfamiljerna kan K-stabiliteten hos representativa trefaldiga tolkar tolkas i termer av ett naturligt GIT-problem som beskriver den familjen, och så explicita exempel på K-moduler av Fano-trefaldiga kan också hittas som GIT-kvoter.

För vissa klasser av Fano trefaldiga klassificeringsproblemet förblir öppet. Till exempel är det känt att Mukai–Umemura trefaldiga $X_{\operatörsnamn {MU} }$ i deformationsklassen $V_{22}$ medger ett Kähler–Einstein-mått och därför är K -polystable genom arbete av Donaldson, som beräknade Tians alfa-invariant explicit med hjälp av kriteriet ovan. Detta grenrör har en icke-diskret automorfismgrupp $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ och vilka närliggande deformationer av $X_{\operatorname {MU} }$ är också K-polystabila är inte känt. Det antas att deformationerna som motsvarar GIT-polystabila punkter inom det versala deformationsutrymmet för $\mathbb {X} _{\operatörsnamn {MU} }$ bör motsvara närliggande K-polystabila varianter.

Högre dimensioner

Det första och enklaste exemplet på en K-polystabil Fano-grenrör i vilken dimension som helst är komplext projektivt utrymme , som alltid tillåter Fubini-Study-metriken som är Kähler-Einstein i vilken dimension som helst och därför är alla projektiva utrymmen K-polystabila.

I allmänhet finns det inte många sådana "uppenbara" Kähler–Einstein-mått i högre dimensioner, och man måste använda nyare stabilitetstekniker för att hitta exempel. För vissa familjer av Fano-varianter kan K-stabilitet bevisas i högre dimensioner med antingen analytiska tekniker genom alfa-invariant eller rent algebro-geometrisk teknik med beta- eller delta-invarianter. Som ett exempel är en Fermat-hyperyta en variation av formen

$$F_{n,d}=\left\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots +z_{n+1}^{ d}=0\right\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}.$$

Dessa hyperytor är släta Fano-grenrör med diskret automorfismgrupp för ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1} ,$ och det bevisades av Tian med hjälp av alfa-invarianten att ${\displaystyle \alpha _{G}(F_{n,d})>{\frac {2}{n+2-d}}} vilket$ innebär $F_ {n,d}$ medger en Kähler–Einstein för $n\leq d\leq n+1$ , och med hjälp av mer detaljerade argument bevisade Tian förekomsten av ett Kähler–Einstein-mått när $d\leq n$ . Å andra sidan gav användningen av deltainvarianten Zhuang ett fullständigt algebraiskt bevis på att $F_{n,d}$ är K-stabil för $3\leq d\ leq n+1$ och medger därför ett Kähler–Einstein-mått i dessa fall. Med hjälp av öppenhetsresultaten för enhetlig K-stabilitet och K-semistabilitet kan man dra slutsatsen av detta att den generiska släta hyperytan av grad $3\leq d\leq n+1$ inuti $\mathbb {CP} ^{n+1}$ är K-stabil. I vissa fall är det faktiskt känt att alla grad $d$ hyperytor är K-stabila, såsom alla $d=n,n+1$ släta hyperytor i $\mathbb {CP} ^{n+1}$ .

Förutom studiet av speciella Fano-varianter, kan K-moduli i vissa sammanhang uttryckligen beskrivas i högre dimensioner. Till exempel, när K-modulen medger en "uppenbar" GIT-tolkning, kan de algebraiska verktygen för beta- eller delta-invarianter användas för att verifiera att GIT-stabilitet är ekvivalent med K-stabilitet för det specifika problemet. Till exempel visade Liu att för kubiska fyrfaldiga hyperytor i ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{5}} är$ GIT-modulutrymmet för (möjligen singularis) kubiskt fyrfaldigt isomorft till K-modulutrymmet, och därmed man får en explicit beskrivning av de K-stabila, K-polystabila och K-semistabila kubiska fyrfaldiga i termer av deras GIT-stabilitet och singularitetsstruktur. I synnerhet är varje slät kubisk fyrfaldig K-stabil.