Idealisk kärve

Inom algebraisk geometri och andra områden av matematiken är en ideal kärv (eller bunt av ideal ) den globala analogen av ett ideal i en ring . De idealiska skivorna på ett geometriskt objekt är nära förbundna med dess underrum.

Definition

Låt X vara ett topologiskt rum och A en bunt av ringar på X . (Med andra ord, ( X , A ) är ett ringmärkt utrymme . ) En idealisk kärva J i A är ett subobjekt till A i kategorin kärvar av A -moduler, dvs. Så att

Γ( U , A ) · Γ( U , J ) ⊆ Γ( U , J )

för alla öppna delmängder U av X . Med andra ord är J en bunt av A -submoduler av A .

Generella egenskaper

• Om f : A → B är en homomorfism mellan två ringskivor på samma utrymme X , är kärnan i f en idealisk kärva i A .
• Omvänt, för varje idealisk kärva J i en bunt av ringar A , finns det en naturlig struktur hos en kärva av ringar på kvoten kärv A / J . Observera att den kanoniska kartan

Γ( U , A )/Γ( U , J ) → Γ( U , A / J )

för öppna delmängder U är injektiv, men inte surjektiv i allmänhet. (Se kärvekohomologi .)

Algebraisk geometri

I samband med scheman ligger vikten av idealskivor huvudsakligen i överensstämmelsen mellan slutna delscheman och kvasikoherenta idealskivor. Betrakta ett schema X och en kvasi-koherent ideal bunt J i O _X . Sedan är stödet Z för O _X / J ett slutet delrum av X , och ( Z , O _X / J ) är ett schema (båda påståendena kan kontrolleras lokalt). Det kallas det slutna underschemat av X definierat av J . Omvänt, låt i : Z → X vara en sluten nedsänkning , dvs en morfism som är en homeomorfism på ett slutet delrum så att den associerade kartan

i ^# : O _X → i _⋆ O _Z

är surjektiv på stjälkarna. Då är kärnan J av i ^# en kvasi-koherent ideal sträng, och i inducerar en isomorfism från Z till det slutna underschemat definierat av J .

Ett speciellt fall av denna överensstämmelse är det unika reducerade underschemat X _röd av X som har samma underliggande utrymme, vilket definieras av nollradikalen av O _X (definierad stjälkvis eller på öppna affina diagram).

  För en morfism f : X → Y och ett slutet delschema Y′ ⊆ Y definierat av en ideal skarv J , definieras förbilden Y′ × _Y X av den ideala skarven

f ^⋆ ( J )O _X = im( f ^⋆ J → O _X ).

Tillbakadragningen av en ideal bunt J till delschemat Z som definieras av J innehåller viktig information, det kallas det konormala knippet av Z . Till exempel kan bunten av Kähler-differentialer definieras som tillbakadragningen av den ideala bunten som definierar diagonalen X → X × X till X . (Anta för enkelhetens skull att X är separerat så att diagonalen är en sluten nedsänkning.)

Analytisk geometri

I teorin om komplexa-analytiska utrymmen , säger Oka-Cartan-satsen att en sluten delmängd A av ett komplext utrymme är analytisk om och endast om den ideala bunten av funktioner som försvinner på A är koherent . Denna idealiska kärve ger också A strukturen av ett reducerat slutet komplext underrum.

• Éléments de géométrie algébrique
• H. Grauert , R. Remmert : Koherenta analytiska skivor . Springer-Verlag, Berlin 1984