Mabuchi funktionell

Inom matematik , och särskilt komplex geometri , är Mabuchi -funktionella eller K-energifunktioner en funktionell på utrymmet för Kähler-potentialer hos ett kompakt Kähler-grenrör vars kritiska punkter är Kähler-mått med konstant skalär krökning . Mabuchi-funktionen introducerades av Toshiki Mabuchi 1985 som en funktion som integrerar Futaki-invarianten , vilket är ett hinder för existensen av en Kähler-Einstein-metrik på ett Fano-grenrör.

Mabuchi-funktionalen är en analogi av log-norm-funktionen för momentkartan i geometrisk invariant teori och symplektisk reduktion . Mabuchi-funktionalen framstår i teorin om K-stabilitet som en analytisk funktional som kännetecknar existensen av Kähler-mått med konstant skalär krökning. Lutningen i oändligheten för Mabuchi-funktionerna längs vilken geodesisk stråle som helst i Kähler-potentialernas rymd ges av Donaldson-Futaki-invarianten av en motsvarande testkonfiguration .

På grund av Berman–Boucksom–Jonssons variationstekniker i studien av Kähler–Einstein-mått på Fano-varieteter, har Mabuchi-funktionen och olika generaliseringar av den blivit kritiskt viktiga i studiet av K-stabilitet hos Fano-varieteterna, särskilt i miljöer med singulariteter.

Definition

Mabuchi-funktionen definieras på utrymmet av Kähler-potentialer i en fast Kähler- kohomologiklass på ett kompakt komplext grenrör . Låt $(M,\omega )$ vara ett kompakt Kähler-grenrör med en fast Kähler-metrik $\omega$ . Sedan med $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma , vilket annat Kähler-mått som helst i klassen $[\omega ]\in H_ {\text{dR}}^{2}(M)$ i de Rham-kohomologi kan relateras till $\omega$ med en jämn funktion $\varphi \in C^ {\infty }(X)$ , Kählers potential:

$\omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi .$

För att säkerställa att denna nya tvåform är en Kähler-metrik måste den vara en positiv form :

$\omega _{\varphi }>0.$

Dessa två villkor definierar utrymmet för Kähler potentialer

${\mathcal {K}}=\{\varphi :M\to \mathbb {R} \mid \varphi \in C^{\infty }(X),\quad \omega +i\partial {\ bar {\partial }}\varphi >0\}.$

Eftersom alla två Kähler-potentialer som skiljer sig åt med en konstant funktion definierar samma Kähler-metrik, kan rummet för Kähler-mått i klassen [ $\displaystyle [\omega ]}$ identifieras med ${\mathcal { K}}/\mathbb {R}$ , Kählerpotentialerna modulerar konstantfunktionerna. Man kan istället begränsa till de Kähler-potentialer som normaliseras så att deras integral över $M$ försvinner.

Tangentrymden till ${\mathcal {K}}$ kan identifieras med utrymmet för jämna verkliga funktioner på $M$ . Låt $S_{\varphi }$ beteckna den skalära krökningen för den riemannska metriken som motsvarar $\omega _{\varphi }$ , och låt ${\hat {S}}$ betecknar medelvärdet av denna skalära krökning över $M$ , vilket inte beror på valet av $\varphi$ av Stokes sats . Definiera en differentiell enform på rummet av Kähler potentialer genom

$\alpha _{\varphi }(\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}.$

Denna enform är stängd. Eftersom ${\mathcal {K}}$ är ett sammandragbart mellanslag , är denna enform exakt , och det finns en funktionell ${\mathcal {M}}:{\mathcal { K}}\to \mathbb {R}$ normaliseras så att ${\mathcal {M}}(0)=0$ så att $d{\mathcal {M} }=\alpha$ , Mabuchi-funktions- eller K-energin .

Mabuchi-funktionen har en explicit beskrivning som ges genom att integrera enformen $\alpha$ längs en väg. Låt $\varphi _{0}$ vara en fix Kähler-potential, som kan tas som ${\displaystyle \varphi _{0}=0} ,$ och låt $\varphi _ {1}=\varphi$ , och $\varphi _{t}$ är en väg i ${\mathcal {K}}$ från $\varphi _{0}$ till $\varphi _{1}$ . Sedan

${\mathcal {M}}(\varphi )=\int _{0}^{1}\int _{M}{\dot {\varphi }}_{t}({\hat {S} }-S_{\varphi _{t}})\omega _{\varphi _{t}}^{n}dt.$

Denna integral kan visas vara oberoende av valet av väg $\varphi _{t}$ .

Konstant skalär krökning Kähler-mått

Från definitionen av Mabuchi-funktionalen i termer av enformen $\alpha$ , kan man se att för en Kählerpotential $\varphi \in {\mathcal {K}}$ , variationen

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\ mathcal {M}}(\varphi +t\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}$

försvinner för alla tangentvektorer $\psi \in C^{\infty }(M)$ om och endast om ${\hat {S}}=S_ {\varphi }$ . Det vill säga, de kritiska punkterna för Mabuchi-funktionen är just Kähler-potentialerna som har konstant skalär krökning.