Kobayashi–Hitchin korrespondens

I differentialgeometri , algebraisk geometri och mätteori relaterar Kobayashi-Hitchin-överensstämmelsen (eller Donaldson-Uhlenbeck-Yau-satsen) stabila vektorbuntar över en komplex mångfald till Einstein -Hermitian vektorbuntar . Korrespondensen är uppkallad efter Shoshichi Kobayashi och Nigel Hitchin , som självständigt antog på 1980-talet att modulutrymmena för stabila vektorbuntar och Einstein-Hermitiska vektorbuntar över en komplex mångfald var i huvudsak desamma.

Detta bevisades av Simon Donaldson för projektiva algebraiska ytor och senare för projektiva algebraiska grenrör , av Karen Uhlenbeck och Shing-Tung Yau för kompakta Kähler-grenrör , och oberoende av Buchdahl för icke-Kahler kompakta ytor, och av Jun Li och Yau för godtycklig kompakt komplexa grenrör.

Satsen kan betraktas som en stor generalisering av Narasimhan-Seshadri-satsen som rör fallet med kompakta Riemann-ytor och har varit inflytelserik i utvecklingen av differentialgeometri, algebraisk geometri och mätteori sedan 1980-talet. I synnerhet Hitchin-Kobayashi-korrespondensen inspirerade gissningar som ledde till den icke-abelska Hodge-korrespondensen för Higgs-buntar , såväl som Yau-Tian-Donaldson-förmodan om existensen av Kähler-Einstein-mått på Fano-varieteterna , och Thomas-Yau-förmodan om existensen av speciella lagrangianer inuti isotopiklasser av lagrangiska undergrenrör i ett Calabi-Yau-grenrör .

Historia

År 1965 bevisade MS Narasimhan och CS Seshadri Narasimhan-Seshadri-satsen , som relaterar stabila holomorfa (eller algebraiska) vektorbuntar över kompakta Riemann-ytor (eller icke-singular projektiva algebraiska kurvor), till projektiva enhetsrepresentationer av Riemann- gruppens fundamentala grupp. yta. Det insågs på 1970-talet av Michael Atiyah , Raoul Bott , Hitchin och andra att sådan representationsteori för den fundamentala gruppen kunde förstås i termer av Yang-Mills kopplingar , föreställningar som härrör från dåtidens samtida matematisk fysik. Inspirerad av Narasimhan-Seshadri-satsen bildades vid denna tid en folkloristisk gissning att polystabila vektorbuntar med sluttningar medger Hermitian Yang-Mills-kopplingar . Detta beror delvis på Fedor Bogomolovs argument och framgången för Yaus arbete med att konstruera globala geometriska strukturer i Kählers geometri . Denna gissning delades först explicit av Kobayashi och Hitchin oberoende i början av 1980-talet.

Det explicita förhållandet mellan Yang-Mills-förbindelser och stabila vektorbuntar gjordes konkret i början av 1980-talet. En direkt överensstämmelse när dimensionen av baskomplexet är en förklarades i Atiyah och Botts arbete 1982 om Yang-Mills ekvationer över kompakta Riemann-ytor, och i Donaldsons nya bevis för Narasimhan-Seshadri-satsen ur perspektivet av gauge theory 1983. I den miljön kunde en Hermitian Yang-Mills-förbindelse helt enkelt förstås som en (projektivt) platt förbindelse över Riemann-ytan. Föreställningen om en Hermitian-Einstein-koppling för en vektorbunt över ett högre dimensionellt komplext grenrör destillerades av Kobayashi 1980, och 1982 visade han i allmänhet att en vektorbunt som medgav en sådan koppling var lutningsstabil i betydelsen Mumford .

Den svårare riktningen att bevisa existensen av Hermite-Einstein-mått på stabila holomorfa vektorbuntar över komplexa grenrör av dimensioner större än en följde snabbt på 1980-talet. Strax efter att ha tillhandahållit ett nytt bevis för Narasimhan-Seshadri-satsen i komplex dimension ett, bevisade Donaldson existens för algebraiska ytor 1985. Året därpå bevisade Uhlenbeck -Yau existens för godtyckliga kompakta Kähler-grenrör med en kontinuitetsmetod. Strax efter att Donaldson tillhandahöll ett andra bevis skräddarsytt specifikt för fallet med projektiva algebraiska grenrör med hjälp av teorin om determinantbuntar och Quillen-metriken . På grund av deras arbete kallas Kobayashi-Hitchin-korrespondensen ofta också som Donaldson-Uhlenbeck-Yau-teoremet. 2019 tilldelades Karen Uhlenbeck Abelpriset delvis för sitt arbete med förekomsten av Hermite–Einstein-mått, såväl som hennes bidrag till de viktigaste analytiska teknikerna som underbygger beviset för satsen.

Under det senare 1980-talet vändes uppmärksamheten mot att etablera korrespondensen inte bara när det gäller kompakta Kähler-grenrör, utan även för godtyckliga kompakta komplexa grenrör. Det är svårt i den här inställningen att ens definiera begreppet stabilitet. För icke-Kähler-grenrör måste man använda ett Gauduchon- mått för att definiera stabilitet, men detta är ingen begränsning eftersom varje mått på ett kompakt komplext grenrör överensstämmer med ett Gauduchon-mått. 1987 visades existens på godtyckliga kompakta komplexa ytor av Buchdahl, och kort därefter för godtyckliga kompakta komplexa grenrör av Li-Yau.

Påstående

Kobayashi-Hitchin-korrespondensen gäller förekomsten av Hermitian Yang-Mills-kopplingar (eller Hermite-Einstein-mått) på holomorfa vektorbuntar över kompakta komplexa grenrör. I detta avsnitt kommer de exakta idéerna att presenteras för inställningen av kompakta Kähler-grenrör.

Stabila vektorbuntar

Huvudartikel: Stabil vektorbunt

Begreppet stabilitet introducerades i algebraisk geometri av Mumford i hans arbete med geometrisk invariant teori , i syfte att konstruera modulrum av olika geometriska objekt. Mumford tillämpade denna nya teorivektorbuntar för att utveckla en uppfattning om sluttningsstabilitet .

Definiera graden av ett holomorft vektorknippe $E\to (X,\omega )$ över ett kompakt Kähler-grenrör för att vara heltal

$\mathrm {deg} (E):=(c_{1}(E)\cup [\ omega ]^{n-1})[X]$

där $c_{1}(E)$ är den första Chern-klassen av $E$ . Lutningen för $E$ är det rationella talet $\displaystyle \mu (E)}$ { definierat av

$\mu (E):={\frac {\mathrm {deg} (E)}{\mathrm {rank} (E)}}.$

Det är möjligt att utöka definitionen av lutning till vilken analytisk koherent bunt som helst över $(X,\omega )$ . I den algebraiska inställningen kodas nämligen rangen och graden av en koherent skarva i koefficienterna för dess Hilbert-polynom , och uttrycken för dessa kvantiteter kan på ett enkelt sätt utökas till inställningen av Kähler-grenrör som inte är projektiva genom att ersätta riklig linjebunt av Kähler-klassen och korsningspar med integraler.

En holomorf vektorbunt $E\to (X,\omega )$ sägs vara lutningsstabil (resp. lutning semistabel ) om för alla korrekta, koherenta delskivor som inte är noll ${ \displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ med $0<\operatörsnamn {rk} ({\mathcal {F}})<\operatörsnamn {rk } (E)$ , är följande olikhet uppfylld:

$\mu ({\mathcal {F}})<\mu (E)\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.$

En vektorbunt är lutningspolystabil om den är isomorf till en direkt summa av stabila holomorfa vektorbuntar med samma lutning. En vektorbunt är lutningsinstabil om den inte är lutningshalvstabil.

Hermitian Yang-Mills-förbindelse

Huvudartikel: Hermitian Yang–Mills-anslutning

Begreppet en Hermitian Yang-Mills-anslutning är en specifikation av en Yang-Mills-koppling till fallet med en Hermitian vektorbunt över ett komplext grenrör. Det är möjligt att formulera definitionen i termer av antingen den Hermitiska metriken själv, eller dess associerade Chern-anslutning , och de två begreppen är i huvudsak likvärdiga upp till mätning av transformation. Givet en hermitisk vektorbunt $(E,h)\to (X,\omega )$ över ett kompakt Kähler-grenrör, är en Hermitian Yang-Mills-anslutning en enhetlig anslutning $A$ för det hermitiska måttet $h$ som uppfyller

${\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatörsnamn {Id} _{E}. \end{cases}}$

Villkoret att $F_{A}^{0,2}=0$ innebär att differentialoperatorn $\nabla _{A}^{0,1}$ är en Dolbeault-operator för en holomorf struktur på den hermitiska vektorbunten $(E,h)$ , och att $A$ i sig är Chern-kopplingen för denna holomorfa struktur. Konstanten $\lambda (E)\in \mathbb {C}$ beror endast på topologin för $E$ , och kan beräknas vara

$\lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{(n-1)!\mathrm {vol} (X)}}\mu (E).$

Om man istället börjar med ett holomorft vektorknippe $E\to (X,\omega )$ och varierar valet av hermitisk metrisk, då en lösning av ovanstående ekvationer, där $A$ är Chern-kopplingen för Hermitian-metriken, kallas en Hermite-Einstein-metrik .

Korrespondens

Här ger vi uttalandet om Kobayashi-Hitchin-korrespondensen för godtyckliga kompakta komplexa grenrör, ett fall där ovanstående definitioner av stabilitet och specialmått lätt kan utökas.

Teorem (Donaldson–Uhlenbeck–Yau, Budhahl, Li–Yau): Ett holomorft vektorknippe $E\to (X,\omega )$ över ett kompakt komplext grenrör med metrisk 2-form $\omega$ medger en Hermite–Einstein-metrik om och endast om den är lutningspolystabil.

Om man istället begränsar sig till irreducerbara holomorfa vektorbuntar, kan lutningspolystabilitet ersättas med lutningsstabilitet. Kobayashi-Hitchin-korrespondensen innebär inte bara en bijektion av uppsättningar av lutande polystabila vektorbuntar och Hermite-Einstein-mått, utan en isomorfism av modulrum . Två polystabila holomorfa vektorbuntar är nämligen biholomorfa om och endast om det finns en mättransformation som tar motsvarande Hermite–Einstein-mått från den ena till den andra, och kartan $h\mapsto E$ tar en Hermite–Einstein metrisk till dess motsvarande polystabila vektorbunt är kontinuerlig med avseende på att ta sekvenser av hermitiska mått och holomorfa vektorbuntar i lämpliga topologier. Således kan man ange korrespondensen enligt följande:

Sats (Moduli rymdversion): Det finns en homeomorfism av modulutrymmet för polystabila holomorfa vektorbuntar över $(X,\omega )$ med fast underliggande slät struktur ${\ displaystyle E\to (X,\omega )}$ upp till biholomorfism, och modulutrymmet för Hermite–Einstein-mått på det komplexa vektorpaketet $E$ upp för att mäta transformation.

En riktning för beviset för Kobayashi-Hitchin-överensstämmelsen, stabiliteten hos ett holomorft vektorknippe som medger ett Hermite-Einstein-mått, är en relativt enkel tillämpning av principen i hermitisk geometri att krökningen minskar i holomorfa subbuntar . Kobayashi och Lübke gav bevis på denna riktning. Den största svårigheten i denna riktning är att visa stabilitet med avseende på koherenta underskivor som inte är lokalt fria, och för att göra detta visade Kobayashi ett försvinnande teorem för sektioner av Hermite-Einstein vektorbuntar.

Den mer komplicerade riktningen för att visa förekomsten av en Hermite-Einstein-metrik på en sluttning av polystabil vektorbunt kräver sofistikerade tekniker från geometrisk analys . Många av dessa tekniker bygger på de idéer som utvecklats av Yau i hans bevis på Calabi-förmodan , såväl som på Uhlenbecks viktiga arbete med harmoniska kartor på 1970-talet, och hennes viktiga analytiska resultat om Yang-Mills kopplingar från tidigt 1980-tal. Uhlenbeck och Yau bevisade det generella fallet med korrespondensen genom att tillämpa en kontinuitetsmetod och visa att hindret för fullbordandet av denna kontinuitetsmetod kan karakteriseras just av en analytisk koherent underhylsa med vilken lutning destabiliserar vektorbunten. Dessa tekniker byggdes på av Buchdahl och Li–Yau i en miljö där 2-formen $\omega$ inte är stängd, så att det kompakta komplexa grenröret inte är Kähler.

Generaliseringar och inflytande

Kobayashi-Hitchin-korrespondensen var en av de första instanserna av en allmän princip som har kommit att dominera geometriforskningen sedan dess bevis: extrema objekt i differentialgeometri motsvarar stabila objekt i algebraisk geometri . Många resultat har bevisats antingen som förlängningar eller variationer av Kobayashi-Hitchin-korrespondensen, eller i direkt analogi med motsvarigheten till till synes olika delar av geometrin, och alla dessa resultat följer samma princip. Här ges en sammanfattning av dessa generaliseringar eller relaterade resultat:

Generaliseringar

• En form av Kobayashi-Hitchin-korrespondensen gäller för strikt sluttande semistabla vektorbuntar som inte är polystabila. På sådana vektorbuntar kan man bevisa förekomsten av en så kallad approximativ Hermite–Einstein-metrik , som är en familj $h_{\varepsilon }$ av Hermitian-metrik för små $\varepsilon >0$ så att $\|\Lambda _{\omega }F(h_{\varepsilon })-\lambda (E)\ operatornamn {Id} _{E}\|_{L^{2}}<\varepsilon$ för varje $\varepsilon$ .
• Kobayashi-Hitchin-korrespondensen har generaliserats av Bando-Siu till singulära holomorfa vektorbuntar, annars kända som reflexkärvar . Detta innebär att definiera en uppfattning om singulära Hermite-Einstein-mått på sådana kärvar och har varit inflytelserik i utvecklingen av singulära Kähler-Einstein-mått över singulära Fano-varianter.
• Korrespondensen generaliserades till fallet med Higgs-buntar av Hitchin, Carlos Simpson , Donaldson och Kevin Corlette. Hitchin visade nämligen en partiell analog till Kobayashi-Hitchin-korrespondensen för Higgs-buntar över en kompakt Riemann-yta, och Donaldson tillhandahöll en del arbete med harmoniska representationer som fullbordade denna korrespondens. Detta generaliserades sedan kraftigt av Simpson till fallet med Higgs-buntar över godtyckliga kompakta Kähler-grenrör, och Corlette bevisade motsvarande resultat om harmoniska representationer i detta fall. Detta har kommit att bli känt som den icke-abelska Hodge-korrespondensen och har djupa relationer till spegelsymmetri och P=W-förmodan av Tamas Hausel , såväl som till integrerbara system . Den icke-abelska Hodge-korrespondensen innebär Kobayashi-Hitchin-korrespondensen för kompakta Kähler-grenrör.
• Korrespondensen generaliserades till Hermite-Einstein-mått på holomorfa huvudbuntar med reduktiv strukturgrupp, vilket medgav en kompatibel minskning av strukturgruppen till en maximal kompakt undergrupp. Annamalai Ramanathan definierade först begreppet en stabil huvudbunt , och i allmänhet bevisades korrespondensen av Anchouche och Biswas . En version av korrespondensen för Higgs-principalbuntar är också känd.
• David Gieseker introducerade ett begrepp om stabilitet, Gieseker stabilitet , som delar många formella egenskaper med sluttningsstabilitet. Gieseker-stabilitet ber om olikheter för hela (normaliserade) Hilbert-polynom för stora argument, medan lutningsstabilitet bara kräver en olikhet av koefficienterna för den ledande ordningen. Således kan Gieseker-stabilitet ses som en generalisering av sluttningsstabilitet, och det finns faktiskt en kedja av implikationer

lutning stabil ⇒ Gieseker stabil ⇒ Gieseker semistabel ⇒ lutning semistabel .

Gieseker-stabilitet är ett begrepp om stabilitet för vektorbuntar som uppstår direkt ur geometrisk invariant teori, och har därefter haft betydande inverkan i algebraisk geometri, där den används för att bilda modulrum av skivor. En generalisering av Kobayashi-Hitchin-överensstämmelsen bevisades för Gieseker-stabila vektorbuntar av Conan Leung, som associerade till varje Gieseker-stabil vektorbunt en så kallad nästan Hermite-Einstein-metrik . Dessa är speciella hermitiska mått som uppfyller en polynomversion av differentialekvationen som definierar en Hermit-Einstein-metrik, och är i själva verket speciella klasser av ungefärliga Hermit-Einstein-mått.

• År 2001 visade Álvarez-Cónsul och García-Prada en stor generalisering av Kobayashi-Hitchin-överensstämmelsen till vridna kogerbuntar över kompakta Kähler-grenrör, som är familjer av holomorfa vektorbuntar utrustade med hjälpfält och bunthomomorfismer mellan dem. Detta inkluderar som specialfall den vanliga Kobayashi-Hitchin-korrespondensen, såväl som den icke-abelska Hodge-korrespondensen och olika versioner av Kobayashi-Hitchin-korrespondensen för dimensionsreduktioner av Yang-Mills-ekvationerna.

Inflytande

Förutom att erkänna många direkta eller omfattande generaliseringar, har Kobayashi-Hitchin-korrespondensen också fungerat som ett vägledande resultat för andra korrespondenser som inte direkt passar in i ramverket för hermitiska mått på vektorbuntar.

• Det finns en korrespondens i Seiberg-Witten-teorin inspirerad av Kobayashi-Hitchin-korrespondensen, som identifierar lösningar av Seiberg-Witten-ekvationerna över en Kähler-yta, monopoler , med vissa divisorer . Detta har använts för att beräkna exempel på Seiberg-Witten invarianter av fyra grenrör och återställa resultat kända från Donaldsons teori .
• Yau gissade 1993 att det borde existera ett begrepp om stabilitet för algebraiska varianter som på ett unikt sätt skulle karakterisera existensen av Kähler-Einstein-mått på jämna Fano-varianter , och att detta begrepp om stabilitet borde vara en analog till lutningsstabilitet hos vektorbuntar. Tian Gang gav en exakt definition av en sådan stabilitetsuppfattning, kallad K-stabilitet , som omformulerades på ett rent algebro-geometriskt sätt av Donaldson. Gissningen att sådana K-polystabila Fano-grenrör överensstämmer med Kähler-Einstein-måtten bevisades av Chen-Donaldson-Sun.
• Med utgångspunkt från Yaus gissningar, antog Donaldson att mer generellt alla jämna K-polystabila projektiva varianter borde tillåta en konstant skalär krökning Kähler metrisk . Denna generalisering av gissningarna för Fano-manifolderna är känd som Yau-Tian-Donaldson-förmodan och är fortfarande öppen i allmänhet. Det har lösts i fallet med toriska varianter av komplex dimension två. Många av de tekniker som utvecklats för att förstå Kobayashi-Hitchin-korrespondensen har tillämpats på inställningen av sorter för att försöka förstå YTD-förmodan. Nämligen användningen av Kähler-Ricci-flödet som en analogi av Yang-Mills-flödet, och av Calabi-funktionella och K-energifunktioner i jämförelse med Yang-Mills-funktionella och Donaldson-funktionella. Studiet av optimala degenerationer av projektiva varieteter med avseende på K-stabilitet har också varit starkt inspirerat av studiet av Harder-Narasimhan-filtreringen av ett holomorft vektorknippe, och det sällsynta beteendet hos metriker på varieteter studeras genom analogi med hur Hermitian metriker urarta längs Yang-Mills-flödet på strikt semistabla holomorfa vektorbuntar.
• Thomas -Yau-förmodan i symplektisk geometri föreslår ett stabilitetstillstånd som exakt bör karakterisera när en isotopiklass av lagrangiska undergrenrör av ett Calabi-Yau-grenrör tillåter en speciell lagrangisk undergrenrör som representant. Denna gissning kan ses som en direkt analogi till Kobayashi-Hitchin-överensstämmelsen, där isotopiklassen ersätts av en mätomloppsbana inuti utrymmet av Hermitiska vektorbuntar, och det speciella lagrangiska tillståndet ersätts med Hermite-Einstein-tillståndet. En karakterisering av det erforderliga stabilitetstillståndet föreslogs av Dominic Joyce för att komma från Bridgeland stabilitetsförhållanden , och en spegelversion av resultatet för den så kallade deformerade Hermitian Yang–Mills-ekvationen har bevisats av Gao Chen.

Ansökningar

Kobayashi-Hitchin-korrespondensen har hittat en mängd viktiga tillämpningar genom algebraisk geometri, differentialgeometri och differentialtopologi . Genom att tillhandahålla två alternativa beskrivningar av modulutrymmet för stabila holomorfa vektorbuntar över ett komplext mångfald, en algebraisk till sin natur och den andra analytisk, har många viktiga resultat om sådana modulutrymmen kunnat bevisas. Den mest spektakulära av dessa har varit studien av invarianter av fyra grenrör och mer allmänt till algebraiska varianter, genom Donaldson-Thomas teori . I synnerhet kommer modulutrymmet för Hermite-Einstein-vektorbuntar naturligt utrustat med en Riemann-struktur, given av ett Weil-Peterson-typ på modulutrymmet. Genom att kombinera denna geometriska struktur med de naturliga algebraiska komprimeringarna av modulutrymmet som uppstår ur Kobayashi-Hitchin-överensstämmelsen, som ges av modulutrymmena för semistabla lutningsskivor eller Gieseker semistabla skivor, tillåter man att integrera karakteristiska klasser över modulutrymmet för att erhålla invarianter av original komplex grenrör. Detta är mest känt i Donaldson-teorin , där invarianter av släta fyra-grenrör erhålls. Liknande tekniker har använts i Seiberg-Wittens teori . I högre dimensioner utvecklades Donaldson-Thomas teori och integration över virtuella fundamentala klasser i analogi med de dubbla beskrivningarna av moduliutrymmen av kärvar som ges av Kobayashi-Hitchin-korrespondensen. Detta är en mening där korrespondensen har haft bestående effekter i numerativ geometri .