Fano sort

  I algebraisk geometri är en Fano-variant , introducerad av Gino Fano i ( Fano 1934 , 1942 ), en komplett variant X vars antikanoniska bunt K _X ^* är riklig . I denna definition skulle man kunna anta att X är slät över ett fält, men det minimala modellprogrammet har också lett till studiet av Fano-varieteter med olika typer av singulariteter, såsom terminal- eller klt -singulariteter. Nyligen har tekniker inom differentialgeometri använts för att studera Fano-varietet över de komplexa talen, och framgång har funnits med att konstruera moduliutrymmen för Fano-varieteter och bevisa existensen av Kähler–Einstein-mått på dem genom studiet av K-stabilitet hos Fano sorter .

Exempel

• Det grundläggande exemplet på Fano-varianter är de projektiva utrymmena : det antikanoniska linjeknippet av P ⁿ över ett fält k är O ( n +1), vilket är mycket gott (över de komplexa talen är dess krökning n+1 gånger Fubini– Studera symbolisk form).
• Låt D vara en jämn kodimension-1 undervarietet i P ⁿ . Adjunktionsformeln innebär att K _D = ( K _X + D ) | _D = (-( n +1) H + deg( D )H)| _D , där H är klassen för ett hyperplan. Överytan D är därför Fano om och endast om deg( D ) < n +1.
• Mer generellt är en jämn fullständig skärning av hyperytor i n -dimensionell projektiv rymd Fano om och endast om summan av deras grader är som mest n .
• ₀₀₀ Vägt projektivt utrymme P ( a ,..., a _n ) är en singular ( klt ) Fano-variant. Detta är det projektiva schemat associerat med en graderad polynomring vars generatorer har graderna a ,..., a _n . Om detta är välformat, i den meningen att inget n av talen a har en gemensam faktor som är större än 1, så är varje fullständig skärning av hyperytor så att summan av deras grader är mindre än a +...+ a _n är en Fano sort.
• Varje projektiv variation i karakteristisk noll som är homogen under en linjär algebraisk grupp är Fano.

Vissa fastigheter

Förekomsten av en riklig linjebunt på X motsvarar att X är en projektiv variant , så en Fano-variant är alltid projektiv. För en Fano-variant X över de komplexa talen, innebär Kodairas försvinnande sats att kärvkohomologigrupperna $)}$${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X$ } av strukturen försvinner för $j>0$ . I synnerhet Todd-släktet ${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}})=\summa (-1) ^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})} är$ automatiskt lika med 1. $j=1,2$ fall av detta försvinnande uttalande också berätta att den första Chern-klassen inducerar en isomorfism $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\ mathbb {Z} )$ .

Enligt Yaus lösning av Calabi-förmodan , medger en jämn komplex variant Kähler-mått för positiv Ricci-kurvatur om och bara om det är Fano. Myers teorem säger oss därför att det universella höljet på ett Fano-grenrör är kompakt, och det kan därför bara vara ett ändligt hölje. Vi har dock nyss sett att Todd-släktet i ett Fano-grenrör måste vara lika med 1. Eftersom detta också skulle gälla för grenrörets universella täckning, och eftersom Todd-släktet är multiplikativt under ändliga täckblad, följer det att vilket Fano-grenrör helt enkelt är anslutet .

Ett mycket lättare faktum är att varje Fano-variant har Kodaira-dimension −∞.

Campana och Kollár – Miyaoka – Mori visade att en jämn Fano-variant över ett algebraiskt stängt fält är rationellt kedjekopplad ; det vill säga två stängda punkter kan kopplas samman med en kedja av rationella kurvor . Kollár–Miyaoka–Mori visade också att de släta Fano-varianterna med en given dimension över ett algebraiskt slutet fält med karakteristisk noll bildar en avgränsad familj, vilket betyder att de klassificeras av ändligt många algebraiska varianter. I synnerhet finns det bara ändligt många deformationsklasser av Fano-varianter av varje dimension. I denna mening är Fano-sorter mycket mer speciella än andra sorters sorter, såsom sorter av allmän typ .

Klassificering i små dimensioner

Följande diskussion gäller jämna Fano-varianter över de komplexa talen.

En Fano-kurva är isomorf till den projektiva linjen .

En Fano-yta kallas även en del Pezzo-yta . Varje del Pezzo-yta är isomorf till antingen P ¹ × P ¹ eller till det projektiva planet uppblåst i högst 8 punkter, som måste vara i allmänt läge. Som ett resultat är de alla rationella .

I dimension 3 finns släta komplexa Fano-varianter som inte är rationella, till exempel kubisk 3-faldig i P ⁴ (av Clemens - Griffiths ) och kvarts 3-faldig i P ⁴ (av Iskovskikh - Manin ). Iskovskih ( 1977 , 1978 , 1979 ) klassificerade den jämna Fano 3-falden med andra Betti nummer 1 i 17 klasser, och Mori & Mukai (1981) klassificerade de jämna med andra Betti nummer minst 2, och hittade 88 deformationsklasser. En detaljerad sammanfattning av klassificeringen av slät Fano 3-veck ges i Iskovskikh & Prokhorov (1999) .

Se även

• Formernas periodiska system ett projekt för att klassificera alla Fano-sorter i tre, fyra och fem dimensioner.

externa länkar

• Fanografi - Ett verktyg för att visuellt studera klassificeringen av tredimensionella Fano-sorter.

• Fano, Gino (1934), "Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli", Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bologna), 4, Zanichelli , s. 115–119
•     Fano, Gino (1942), "Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 202–211, doi : 10.1007/BF02565,02565,1 02565 , 1 02565 , 1 02565, 1 02565 , 10. 445 , S2CID 123641847
•    Iskovskih, VA (1977), "Fano trefaldigt. I", Math. USSR Izv. , 11 (3): 485–527, doi : 10.1070/IM1977v011n03ABEH001733 , ISSN 0373-2436 , MR 0463151
•   Iskovskih, VA (1978), "Fano 3-folds II", Math USSR Izv. , 12 (3): 469–506, Bibcode : 1978IzMat..12..469I , doi : 10.1070/im1978v012n03abeh001994 , MR 0463151
•   Iskovskih, VA (1979), "Antikaniska modeller av tredimensionella algebraiska varianter" , Aktuella problem i matematik, Vol. 12 (ryska) , VINITI, Moscow, s. 59–157, MR 0537685
  •   Iskovskikh, VA (1980). "Antikanoniska modeller av tredimensionella algebraiska varianter". Journal of Soviet Mathematics . 13 (6): 745–814. doi : 10.1007/BF01084563 . S2CID 119602399 .
•    Iskovskikh, VA; Prokhorov, Yu. G. (1999), "Fano varianter", i AN Parshin; IR Shafarevich (red.), Algebraic Geometry, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 , Springer-Verlag , s. 1–247, ISBN 3-540-61468-0 , MR 1668579
•    Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1 , MR 18018
• Kulikov, Vik.S. (2001) [1994], "Fano_variety" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•     Mori, Shigefumi ; Mukai, Shigeru (1981), "Classification of Fano 3-folds with B ₂ ≥2", Manuscripta Mathematica , 36 (2): 147–162, doi : 10.1007/BF01170131 , ISSN 0025-26101 , SSN 0025-26106 , 9MR 16 , 9MR 16 , 96116 516
•     Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (2003), "Erratum: "Klassificering av Fano 3-faldig med B ₂ ≥2" ", Manuscripta Mathematica , 110 ( 3): 407, doi : 10.1007/s00229-002-0336-002 , IS 2611 , MR 1969009 , S2CID 121266346