Rees algebra

I kommutativ algebra definieras Reesalgebra för ett ideal I i en kommutativ ring R som

$R[It]=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t].$

Den utökade Rees-algebra av I (som vissa författare hänvisar till som Rees-algebra av I ) definieras som

$R[It,t^{-1}]=\bigoplus _{n=-\infty }^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t,t^{- 1}].$

Denna konstruktion har speciellt intresse för algebraisk geometri eftersom det projektiva schemat som definieras av Rees-algebra för ett ideal i en ring är uppblåsningen av spektrumet av ringen längs underschemat som definieras av idealet.

Egenskaper

Antag att R är Noetherian ; då R[It] också Noetherian. Krulldimensionen för Rees-algebra är $\dim R[It]=\dim R+1$ om I inte ingår i något primideal P med $\dim(R/P)=\dim R$ ; annars $\dim R[It]=\dim R$ . Krulldimensionen för den utökade Rees-algebra är $\dim R[It,t^{-1}]=\dim R+1$ .
Om $J\subseteq I$ är ideal i en Noetherian ring R , så är ringförlängningen $R[Jt]\subseteq R[It]$ integral om och endast om J är en reduktion av I .
Om I är ett ideal i en Noetherian ring R , så är Rees-algebra av I kvoten av den symmetriska algebra av I genom dess torsionssubmodul .

Relation med andra sprängande algebror

Den tillhörande graderade ringen av I kan definieras som

$\operatorname {gr} _{I}(R)=R[It]/IR[It].$

Om R är en Noetherian lokal ring med maximal ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}} , så$ ges den speciella fiberringen av I av

${\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]/{\mathfrak {m}}R[It].$

Krulldimensionen för den speciella fiberringen kallas den analytiska spridningen av I .

^ Eisenbud, David (1995). Kommutativ algebra med sikte på algebraisk geometri . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-78122-6 .
^ Eisenbud-Harris, geometrin av intrig . Springer-Verlag, 197, 2000
^ ^a ^b Swanson, Irena ; Huneke, Craig (2006). Integral stängning av ideal, ringar och moduler . Cambridge University Press. ISBN 9780521688604 .

externa länkar

[1] Eisenbud, David (1995). Kommutativ algebra med sikte på algebraisk geometri . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-78122-6 .

[2] Eisenbud-Harris, geometrin av intrig . Springer-Verlag, 197, 2000

[:0-3] Swanson, Irena ; Huneke, Craig (2006). Integral stängning av ideal, ringar och moduler . Cambridge University Press. ISBN 9780521688604 .