Hilbert–Samuel funktion

I kommutativ algebra Hilbert –Samuel-funktionen , uppkallad efter David Hilbert och Pierre Samuel , av en ändligt genererad modul ${\displaystyle M} som inte är noll$ över en kommutativ Noethersk lokal ring $A$ och ett primärt ideal $I$ av $A$ är kartan $\chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ så att för alla $n\in \mathbb {N}$ ,

$\chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)$

där $\ell$ anger längden över $A$ . Den är relaterad till Hilbert-funktionen för den associerade graderade modulen $\operatorname {gr} _{I}(M)$ av identiteten

$\chi _{M}^{I}(n)=\summa _{i=0}^{n}H(\operatörsnamn {gr} _{I}(M),i).$

För tillräckligt stor $n$ sammanfaller den med en polynomfunktion av grad lika med $\dim(\operatörsnamn {gr} _{I}(M))$ , ofta kallad Hilbert-Samuel-polynomet (eller Hilbert-polynomet ).

Exempel

För ringen av formella potensserier i två variabler $k[[x,y]]$ taget som en modul över sig själv och det ideala $I$ som genereras av monomialerna x ² och y ³ har vi

${\ displaystyle \chi (1)=6,\quad \chi (2)=18,\quad \chi (3)=36,\quad \chi (4)=60,{\text{ och i allmänhet }}\chi (n)=3n(n+1){\text{ för }}n\geq 0.}$

Examensgränser

Till skillnad från Hilbert-funktionen är Hilbert-Samuel-funktionen inte additiv på en exakt sekvens. Det är dock fortfarande ganska nära att vara additiv, som en konsekvens av Artin–Rees-lemmat . Vi betecknar med $P_{I,M}$ Hilbert-Samuel-polynomet; dvs den sammanfaller med Hilbert–Samuel-funktionen för stora heltal.

Sats — Låt $(R,m)$ vara en Noethersk lokal ring och I ett m- primärt ideal . Om

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

är en exakt sekvens av ändligt genererade R -moduler och om $M/IM$ har ändlig längd, så har vi:

$P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F$

där F är ett polynom av grad som är strikt mindre än det för $P_{I,M'}$ och med positiv ledande koefficient. I synnerhet, om $M'\simeq M$ , då är graden av $P_{I,M''}$ strikt mindre än den för $P_{I,M}=P_{I,M'}$ .

Bevis: Genom att tensorera den givna exakta sekvensen med $R/I^{n}$ och beräkna kärnan får vi den exakta sekvensen:

$0\to (I^{n} M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M'' \till 0,$

som ger oss:

$\chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')$ .

Den tredje termen till höger kan uppskattas av Artin-Rees. I själva verket, med lemma, för stora n och några k ,

$I^{n}M\cap M'=I^{nk}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{nk}M'.$

Således,

$\ell ((I^{n} M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(nk-1)$ .

Detta ger önskad gradbunden.

Mångfald

Om $A$ är en lokal ring av Krull-dimensionen $d$ , med $m$ -primärideal $I$ , har dess Hilbertpolynom ledande term av formen ${\frac {e}{d!}}\cdot n^{d}$ för något heltal $e$ . Detta heltal $e$ kallas multipliciteten av idealet $I$ . När $I=m$ är det maximala idealet för $A$ , säger man också att $e$ är multipliciteten av den lokala ringen $A$ .

Multipliceringen av en punkt $x$ i ett schema $X$ definieras som multipliciteten av motsvarande lokala ring ${\mathcal {O}}_{X,x }$ .

Se även

• j-mångfald